2024年4月12日发(作者：数学试卷手写卷)
口陈发志蔡小雄
（杭州第十一中学，浙江杭州 ３１００１４）
高考着重考查学生的基础知识、基本能力和思
开，因为能解决例１的方法都能适用于解决例２．
想方法．对于数学解题来说思想是灵魂，方法是关
键，而挖掘题目背后的数学核心本质才是永恒的主
题．高考并不是一味求新、求难、求变的，注重通性
由
Ｊ ｓｉｎｓ＋２ｅｏｓｓ＝Ｘ／２ｉ－０－一，可解得
通法、淡化特殊技巧始终是高考命题趋势．因此很
Ｉｓｉｎ２／０＋ｃｏｓ２／０＝１，
多时候，高考题往往是“旧瓶装新酒”，但却更醇厚、
ｓｉｎ０／＝．３
ｖ Ｔ０－
一
更富有韵味．２０１３年浙江省高考数学理科试卷的
第６题就是对２００８年浙江省高考数学理科试卷第
、
￣ｔａｎｓ＝－｝，
ｊ
ｅｏｓ ： ，
８题的重温．
或３，所以ｔａｎ２ ： ２一
上
ｔ
先看原题：例１．（２０１３年第６题）已知Ｓ∈Ｒ，
ｔａｎ＇
ａｎ０／
ｓ：一
－
｝．ｑ
ｓｉｎ０／＋２ｃ０ｓ ：—ｗｑ －６
一
，
则ｔａｎ２ ＝（）
（２）借助化齐次的方法
由已知（ｓｉ眦＋２ｃｏｓ／０）２＝（ Ｌ）ｚ
，
Ａ．争 Ｂ．｝ ｃ．一手 Ｄ．一争
即ｓｉｎ ＋４ｓｉｎ０／＇ｃｏｓ／０＋４ｃ。ｓ ＝ ５
，
由１＝ｓｉｎ２０ｃ＋ｃ。ｓ 得
例２．（２００８年第８题）若ｃｏｓ０／＋２ｓｉｎ０／＝一、／ ，
Ｚ
ｓ
ｉ
ｎ
／０
＋
４
ｓ
ｉ
ｎ
／０
ｃ
ｏ
ｓ
／０
＋
４
ｃｏｓ
２
０／
—．
５
．．．．．．．．．．． ．． 。．—．．． 。—
则ｔａｎ０／＝（ ）
———．—．——
ｓｉｎ２０／＋ＣＯＳ２０／ 一２’
Ａ．・ Ｂ．２ Ｃ．一 １ Ｄ
０ ＋ ４ｔ
ａｎ
＋４
一
．
２
两边同时除以ｃ０ｓ２／０，￣ｔａｎ
／／
一
＝
ｔ丑
＋
ｌ
手，
这两道题目都是以三角函数为载体，考查学生
解得ｔａｎｓ＝－ｊ１或３１ ３
所以ｔａｎ２ ＝￣１２
ｔ
ａ
ｎ０／
一
，
一
对三角函数公式运用的熟练程度．从试卷位置上
ｔ
ａｎ
｝．
看，都是选择题中档题的位置，难度不大；从形式上
（３）巧用“１”的等价代换
看，两者高度相同，区别在于等式的右边一个是最
由ｓｉｎ２／０＋４ｓｉ１＂１／０￣ＣＯＳ／０＋４ｃ。ｓ ＝手（ｓｉｎ ＋ｃ。ｓ ），
值，一个是一般值；从解题方法上分析，起点低、人口
宽，可以选择不同的解题方法；从考查核心上分析，
所以手（ｃ。ｓ ＿ｓｉｎ ）＝一４ｓｉ呶ＣＯＳ／０即手ｃ。ｓ２ａ：
都注重对三角函数背景下转化与化归思想的考查．
一
２ｓｉｎ２ ，所以ｔａｎ２０／－－：－－３
４．
一
、
解法剖析。左右逢源
（４）运用合一变形公式
１．通性通法分析（两题都适用的解法）
因为ｓｉｎ０／＋２ｃｏｓ／０＝ ＼／ （ｓｉｎ ｃ０ｓ ＋ｃ０ｓ ｓｉｎ ）
比较两道题目，不难发现，例２的取值更为特
ｓｉｎ（ ＋ ）：下Ｖｑｂ－（其中ｃ０ｓ ：
殊（取最值），故对通性通法的分析都围绕例１展
ｚ
—
、／５＿Ｉ ， ｓｉｎｔｏ：
● —一。
叠
—
，
ｘ／５
即ｔａｎｑ￣＝２），即ｓｉｎ（ ＋ ）： ／＿ 一，所以 ＋ ：
２
，
（８）构造等差数列
因为ｓｉｎ ＋２ｃ嗍＝２× ４，所以ｓｉｎａ，
，ＩＴ＋２ｋ１Ｔ
或 孚＋２ｋ＇ｒｒ（ｋ ＥＺ），所以ｔａｎ２ ＝
４ ，２ｃ。ｓ 成等差数列，所以可设等差数列公差
为ｄ， ｎ ＝ ４一ｄ＇２ｃ。ｓ ＝ ＋ｄ＿
ｔａｎ（２ 一 ）＝ｔａｎ（子 ）＝面１＝÷．
（５）利用斐波那契恒等式
由斐波那契恒等式（ａ２＋ｂ２）（ｃＺ＋ｄ２）＝（ａｃ＋ｂｄ） ＋
自ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ｌ知（孚 ＋｝（孚
（ 一６ｃ） ，得［‘ ：
、／５
＋‘
、ｖ／５
］（ｓｉｎ ＋ｃ。ｓ ）＝
（ 一 ｉ
５
删＋ ｜＿
５
ＣＯｇ＠）ｚ＋（ —Ｃ
＾＼，５
ＯＳ￣－ ＿
ｘ／５
． ｉｎａ）
由 ｓ、／５ 、ｉｎ叶去５／ ｃｏｓ ２，得（去ｃ、／５ ｏｓ
去ｓｉｎ ＝｝ Ｉ ｃｏｓ 一去ｓｉｎ ｌ＿
ｌ 、／ ｓｉ眦＋去ｃ＼／ ｏ ＩＩ，’ 由此解得ｔ’ ａｎ“ 一一一 ’３１ ３或ｉ：，
所以ｔａｎ２ ＝一｝．
（６）构造对偶式
令ｃ０ｓ 一２ｓｉｎａ＝Ａ，贝０对 ｓｉ眦＋２ｃ。ｓ ＝ ２１Ｑ
．
ｃｏｓ 一２ｓｉｎａ＝Ａ．
－
两式平方得５：Ａ ＋ ５
所以Ａ＝±—ｖ Ｔ６
，
．
若Ａ＝
ｖ
Ｔｏ－
则ＣＯＳ￣－－２ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ＋２ＣＯＳ￣，即ｔａｎ 一丁１
．
２
，
若
Ａ一丁ｖＴｏ－
，
则ｃ 一２ｓｉｎ ＝一（ｓｉｎ ＋２ｃ０ｓ ），即ｔａｎ
＝
３．所以ｔａｎ２ ＝一｝
（７）直接运用定义
设 角终边上任一点Ｐ（ｍ，ｎ）（ｍ≠０），Ｐ到原
点０的距离为ｒ＝、／ ， 则ｓｉｎａ＝ｎ，ｃｏｓ ＝旦，
ｒ ｒ
可知 ＋ ：—ｖ Ｔ６
一
，
所以两边平方得（旦＋ ） ：
（ｘ／
ｌ
＿＿
ｏ０）
，）
，
即ｍ＋ｎ） ＝（ ） （ｍ２＋ｎ ），化简得
３ｍＺ＋８ｍ／ｔ－３ｎ２＝０，所以生：３或一下１解得ｔａｎａ＝－了１
．
，ｎ ｊ ｊ
或３，所以ｔａｎ２０ｌ￣－－３ｄ
．
皿 ．
＋ｄ）
１‘“，一 ’
：ｌ
，
化简得４０ａｎ一１２ｘ／Ｔ０Ｊ ，ｌ寸 一 －ｄ一７：０，可解得ｄ： 一 一 ’ 肝 ‘寸“一
ｓｉｎ 一 ，
７Ｖ ％－
或ｄ一 ｖｑ －６－
，，
所以
或
ｃ。ｓ ＝—
３Ｘ ／］￣
，
３ｖＴ６－
’
得 ：一 或３，所以 ：
＝
ｘ／］￣－
３
．
！皇 三一
１－ｔａｎ：ａ ４‘
２．特殊方法分析（仅适用一题的解法）
除了上述的８种解法，例２还有特殊的方法可
以解决，通过对这些特殊解法的研究，能进一步揭
示问题的数学本质．对于例２，因为ｃｏｓ￣ｔ＋２ｓｉｎａ＝
一
，
所以一ｃｏｓ 一２ｓｉｎａ＝ ，即ＣＯＳ（百＋ ）
＋２ｓｉｎ（１『＋ ）＝ ，记 ＋ ＝ ， 由于ｔａｎ（叮『＋ ）
＝ｔａ ，所以原题即为已知ｃｏｓｘ＋２ｓｉｎｘ＝ ，求ｔａｎｘ．
（１）构造直角三角形
如图１，
Ｃ
作Ｒ
使ＡＣ＝Ｉ，
ｔ ＡＡＢＣ，
ＢＣ＝
２，则ＡＢ ， Ａ
Ｄ
作ｃＤ＿ＬＡＢ于
图１
点Ｄ，设 Ａ＝Ｏｌ， （ ＝ ．
因为ＡＤ＋ＢＤ＝ＡＣｃｏｓｏｔ＋ＢＣｓｉｎｏｔ＝ＡＢ，
即ｃ０ｓａ＋２ｓｉｎ ＝、／ ．所以 为方程ｃｏｓｘ＋２ｓｉｎｘ＝
、／ 的一个解，于是ｔａｎ（ｘ＝ ＝２．
（２）运用托勒密定理
如图２，易知ａｏｓ．￣＞０，ｓｉｎｘ＞０．作直径为ＡＣ＝Ｉ
的圆，并作弦ＡＢ＝一 ，ＢＣ＝ ，ＣＤ＝ｃｏｓｘ，
学｛式研究
＞＜ Ｄ知ＡＡ＝ｓＢｉｎ・ｘＣ．Ｄ由＋Ａ托Ｄ勒・Ｂ密Ｃ＝定ＡＣ理・
、／５ 、／５
ｓｉｎｘ＝ｌ・ＢＤ．
ｔａｎｏ￣．因为、 ｒｓｉｎ（０［＋ ）＝ｍ（ｔａｎ￣ｏ＝ ），
ｉｎ（ａ＋ ） 丽ｍ、／ （ｓｉｎｑ￣＝丽ｂ，ｃｏｓ￣
ＢＤ，得， ＝ｃｏｓｘ＋ ＿＿
所以ｓ
６ 、／ ６
由已知条件知 图２
—
斋、／ ６ ，所 ［ｓｉｎ（ ） ］ 面ｍ、／ ６
—
ｃｏｓｘ＋— ｉｎｘ＝１，所以ＢＤ：１，即ＢＤ为圆的
、／
＋
Ｎ／／ａ２＋ｂ２－ｍ２
、 、／
一
同理求出 。
～…’
，
、／５ 、／５
直径，所以四边形ＡＢＣＤ为矩形，故ＣＯＳｄ／；＝ ，
Ｖ ５
，’
ｓｉｎｘ＝ ，从而ｔａｎｘ＝２．
、／５
（３）运用均值不等式
ｒ上２＋Ｃ０Ｓ２￣
因为ｌ因为 ＝ｅｏＣＯＳＸ＋ 七、／
５
ｓｉｎｘ≤ ≤— 广
ｚ
—一＋
（ ） ＋ｓｉｎ
厂＿１，等号当且仅当ｅｏ懿 ，
ｉｎｘ＝—２一时取到，所以可知ｔａ似：２． ，
５
（４）利用直线与圆的位置关系
， Ｌ
如图３，给定圆０：
、
＋ｙ ＝１和直线Ｚ： ＋２ｙ＝
、／ ，可知Ｐ（ｃｏｓｘ，ｓｉｎｘ）即
０
为圆０与直线Ｚ的交点坐
标．因为圆心到直线的距离
图３
堕 Ｌ：１
，
所
、／５
以直线Ｚ与圆０相切．所以ｋｏｐ・ｋ卢一１，
得 ・（一 ）一１，即ｔａｎｘ＝２．
ＳｌｌＸｇＣ
（５）运用导数知识
因为ｃｏｓａ＋２ｓｉｎａ＝、／ ｓｉｎ（ｏｔ＋ｑ￣）＝一、／ ，所以
是函数ｆ（ ）＝ｃｏｓｘ＋２ｓｉｎｘ取得最小值一、／ 时
的取值，即 ＝ 为函数 ）的极小值点，所以 （ ）
＝
０．所以厂（ ）＝一ｓｉｎａ＋２ｃｏｓｔｘ＝０，所以ｔａｎｏｔ＝２．
二、追本溯源。探寻本质
我们可以对上述两道问题一般化，可变为问题：
例３．嬲ｉｎ ＋６ｃ０ｓ ＝ｍ（ｍ若为常数），求ｔａｎｃ￣．
解决的一般方法：该题可以转化为典型的“给
角求角”问题，若、／ ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｍ（ｔａｎ ＝ ），求
后即可求出ｔａｎａ．
而这个问题的原型实际为人教版必修４第２５
页Ａ组第１２题：已知ｔａｎｏｔ＝、／丁， ＜ ＜ 叮Ｔ求
ＣＯＳＯ／一ｓｉｎａ的值．只不过是将已知与所求换个位置．
对于这种类型问题，我们知其背景后，我们可以剥
去“三角函数”这个美丽的外装，从方程、解析几何、
不等式等角度探寻其本质，我们可以发现很多题目
都是可以触类旁通的，很多方程、解析几何、不等式
等问题，三角函数可起到一定的作用，联想到这些
知识的内在联系在解决很多问题的时候可以事半
功倍．
１．方程的角度
可知例３可以转化为问题：已知关于 ，Ｙ的不
等式组Ｉ（Ｘ
ａｘ＋ｂｙ＝ｍ，
２＋￣－ ，求上．
经过这样转化后，就可将
一
道高中知识的三角函数问题，转化为初中生都能
解决的解方程组问题，难度降低不少．
２．解析几何的角度
可知例３可以转化为问题：若Ｐ（ ，Ｙ）为圆
０：Ｘ２＋ １和直线ｚ：ａｘ＋ｂｙ＝ｍ的交点，求卫．也就
是说三角函数的问题可以转化为解析几何的问
题，那么反过来解析几何的问题当然就可以转化
为三角函数的问题，因此我们在解决一些解析几
何问题的时候，就可以借助这两者的互通性而相
互转化．
例４．求椭圆上 ＋ ＝１任意一点Ｐ到直线
２＋２ｙ＝６的距离的最小值．
分析：这是常见的解析几何问题，方法很多，但
是初解此题，很多学生未必能马上想起三角函数换
元，或者只知道三角函数换元的方法，却不知道为
什么可以用这种方法．因此如果能知道三角函数的
本质，该题就可轻松转化为：求点到直线距离的最
．
．
＿＿ｊ商 ２教学参考 年第０ １３ １ 期—１固 一
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