2024年3月31日发(作者：日照小学数学试卷)

高中数学知识点总结---二项式定理

1. ⑴二项式定理：

0n01n1rnrrn0n

(ab)

n

C

n

abC

n

ab

C

n

ab

C

n

ab

.

展开式具有以下特点：

① 项数：共有

n1

项；

② 系数：依次为组合数

C

n

,C

n

,C

n

,,C

n

,,C

n

;

012rn

③ 每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.

⑵二项展开式的通项.

（ab)

n

展开式中的第

r1

项为：

T

r1

C

n

a

rnrr

b(0rn,rZ)

.

⑶二项式系数的性质.

①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；

②二项展开式的中间项二项式系数最大.

．．．．．

I. 当

n

n

n

1

2

是偶数时，中间项是第

2

项，它的二项式系数

C

n

最大；

II. 当

n

n1n1

n1n1

1

22

是奇数时，中间项为两项，即第

2

项和第

2

项，它们的二项式系数

C

n

C

n

最大.

③系数和：

01n

C

n

C

n

C

n

n

2

02413

C

n

C

n

C

n

C

n

C

n

2

n1

附：一般来说

求解. 当

(axby)

n

(a,b

为常数）在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二

．．．．．．．．．．．

A

k

A

k1

,

A

k

A

k1

或

(A

k

为T

k1

AAAA

a1或b1

时，一般采用解不等式组

kk1

kk1

的系数或系数的绝对

值）的办法来求解.

⑷如何来求

(abc)

n

[(ab)c]

n

(abc)

n

展开式中含

a

p

b

q

c

r

r

的系数呢？其中

rnr

p,q,rN,

且

pqrn

nr

把

q

视为二项式，先找出含有

C

的项

C

n

(ab)

，故在

(abc)

n

C

r

，另一方面在

(ab)

rqpqr

C

n

C

nr

abc

中含有

b

的项为

r

C

n

C

n

q

r

qnrqqqpq

C

nr

abC

nr

ab

中含

a

p

b

q

c

r

的项为.其系数为

(nr)!

n!n!

pqr

C

n

C

np

C

r

r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!

.

2. 近似计算的处理方法.

当a的绝对值与1相比很小且n不大时，常用近似公式

的后面部分

(1a)

n

1na

，因为这时展开式

2233nn

C

n

aC

n

aC

n

a

很小，可以忽略不计。类似地，有

(1a)

n

1na

但使用这两个公式时应

注意a的条件，以及对计算精确度的要求.

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