二项式定理-高中数学知识点讲解

2024年3月31日发(作者：温岭二模数学试卷哪里买)

二项式定理

1．二项式定理

【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）

=

方拆开．

例 1：用二项式定理估算 1.01

10

＝ 1.105 ．（精确到 0.001）

解：1.01

10

＝（1+0.01）

10

＝1

10

+C

10

1

•1

9

×0.01+C

10

2

•1

8

•0.01

2

≈1+0.1+0.0045≈1.105．

故答案为：1.105．

这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．

例 2：把( 3푖 ― 푥)

10

把二项式定理展开，展开式的第 8 项的系数是．

解：由题意 T

8

＝C

10

7

× ( 3푖)

3

× ( ― 1)

7

= 120×3 3i＝360 3i．

故答案为：360 3i．

通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一

定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．

【性质】

1、二项式定理

一般地，对于任意正整数 n，都有

n

푛

∁

n

i

a

ni

•b

i

．通过这个定理可以把一个多项式的多次

﹣

푖=0

这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）

n

的二项展开式．其中各项的系数

二项式系数．

注意：

（1）二项展开式有 n+1 项；

（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；

（3）每一项的次数是一样的，即为 n 次，展开式依 a 的降幂排列，b 的升幂排列展开；

（4）二项式定理通常有如下变形：

叫做

1 / 2

① ；

②

（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．

2、二项展开式的通项公式

二项展开式的第 n+1 项

；

叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的

项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应

用．

注意：

（1）通项公式表示二项展开式的第 r+1 项，该项的二项式系数是∁

n

r

；

（2）字母 b 的次数和组合数的上标相同；

（3）a 与 b 的次数之和为 n．

3、二项式系数的性质．

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即

；

푛 + 1

（2）增减性与最大值：当 k＜ 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且

2

푛

2

푛―1

2

푛+1

2

在中间取最大值．当 n 为偶数时，则中间一项퐶的二项式系数最大；当 n 为奇数时，则中间的两项퐶

，퐶

相

푛푛푛

等，且同时取得最大值．

2 / 2