2024年4月12日发(作者：出数学试卷最难的老师是)

5.2.3简单复合函数的导数

要点一 复合函数的定义

一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数

为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))

要点二 复合函数的求导法则

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′

x

＝y′

u

·u′

x

，即y对x的导数等于y

对u的导数与u对x的导数的乘积，即若y＝f(g(x))，则y′＝[f(g(x))]′＝f′(g(x))·g′(x)

【重点小结】

(1)复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．

(2)中学阶段不涉及较复杂的复合函数的求导问题，只研究y＝f(ax＋b)型复合函数的求导，不难得到y ′＝

(ax＋b) ′·f ′(ax＋b)＝af ′(ax＋b)．

【基础自测】

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝log

3

(x＋1)是由y＝log

3

t及t＝x＋1两个函数复合而成的．( )

(2)函数f(x)＝e

x

的导数是f′(x)＝e

x

.( )

1

(3)函数f(x)＝ln (1－x)的导数是f′(x)＝.( )

1－x

(4)函数f(x)＝sin 2x的导数是f′(x)＝2 cos 2x.( )

【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√

2．(多选题)下列所给函数为复合函数的是( )

A．y＝ln (x－2) B．y＝ln x＋x－2

C．y＝(x－2)ln x D．y＝ln 2x

【答案】AD

【解析】函数y＝ln(x－2)是由函数y＝ln u和u＝g(x)＝x－2复合而成的，A符合；函数y＝ln 2x是由函数y

＝ln u和u＝2x复合而成的，D符合，B与C不符合复合函数的定义．故选AD.

ππ

3．若函数f(x)＝3cos(2x＋)，则f′()等于( )

32

A．－33 B．33

C．－63 D．63

【答案】B

π

【解析】f′(x)＝－6sin(2x＋

)

3

ππ

ππ3

2×

＋

＝6sin ＝6×＝33.故选B. ∴f′(

)＝－6sin

23

232

－

4．曲线y＝e

x

在点(0,1)的切线方程为________．

－－

【答案】x＋y－1＝0

【解析】∵y＝e

x

∴y′＝－e

x

∴y′|

x

＝

0

＝－1

∴切线方程为y－1＝－x

即x＋y－1＝0

－

－

题型一 求复合函数的导数

【例1】写出下列各函数的中间变量，并利用复合函数的求导法则，求出函数的导数．

1

(1)y＝

；

3－4x

4

(2)y＝cos(2 008x＋8)；

(3)y＝2

1

－

3

x

；

(4)y＝ln(8x＋6)．

【解析】(1)引入中间变量u＝φ(x)＝3－4x.

11

－

则函数y＝是由函数f(u)＝＝u

4

4

4

u

3－4x

与u＝φ(x)＝3－4x复合而成的．

4

－

查导数公式表可得f′(u)＝－4u

5

＝－

5

，φ′(x)＝－4.

u

1

根据复合函数求导法则可得

3－4x

4

′＝f′(u)φ′(x)



41616

＝－

5

·(－4)＝

5

＝

.

uu

3－4x

5

(2)引入中间变量u＝φ(x)＝2 008x＋8，

则函数y＝cos(2 008x＋8)是由函数f(u)＝cos u与u＝φ(x)＝2 008x＋8复合而成的，查导数公式表可得

f′(u)＝－sin u，φ′(x)＝2 008.

根据复合函数求导法则可得

[cos(2 008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sin u)·2 008

＝－2 008sin u＝－2 008sin(2 008x＋8)．

(3)引入中间变量u＝φ(x)＝1－3x，

则函数y＝2

1

－

3

x

是由函数f(u)＝2

u

与u＝φ(x)＝1－3x复合而成的，

查导数公式表得f′(u)＝2

u

ln 2，φ′(x)＝－3，

根据复合函数求导法则可得

(2

1

－

3

x

)′＝f′(u)φ′(x)＝2

u

ln 2·(－3)＝－3×2

u

ln 2

－

3

x

＝－3×2

1

ln 2.

(4)引入中间变量u＝φ(x)＝8x＋6，


更多推荐

函数,复合,导数,求导,变量