2023年12月31日发(作者：泰州中学高考数学试卷)
第40卷第5期Vol.40 No.5
JChongqingTechnol&BusinessUniv(NatSciEd)重庆工商大学学报(自然科学版)2023年10月Oct.2023求解非单调变分不等式问题的修正惯性次梯度外梯度算法方珍洁,龙宪军重庆工商大学数学与统计学院,重庆400067摘 要:变分不等式问题在经济金融、交通运输、数学规划、力学等领域都有着广泛的应用。近年来,变分不等式问题受到许多学者的研究,且这些研究主要集中在求解单调或者伪单调变分不等式问题。文章在实希尔伯特空间中,针对非单调变分不等式问题,提出了求解该问题的算法。借助惯性原理和Mann型方法,构造了一个带Armijo线性搜索的修正惯性次梯度外梯度算法;在没有Lipschitz连续性的假设下,证明了由算法产生的迭代序列强收敛于变分不等式问题的解,值得注意的是,定理的证明并没有要求映射的任何单调性假设;最后,给出了两个数值实验,阐明了文章算法的有效性和优越性,所得结果推广和改进了许多最新的结果。关键词:变分不等式;次梯度外梯度算法;Armijo线性搜索;强收敛;非单调中图分类号:O224 文献标识码:A doi:10.16055/.1672-058X.2023.0005.012ModifiedInertialSubgradientExtragradientAlgorithmsforSolvingNon-monotoneVariationalInequalityFANGZhenjie LONGXianjunSchoolofMathematicsandStatistics ChongqingTechnologyandBusinessUniversity Chongqing400067 ChinaAbstract
Variationalinequalityproblemshaveawiderangeofapplicationsineconomicsandfinance transportation
mathematicalplanning mechanics ntyears theproblemofvariationalinequalitieshasbeenstudiedbymanyscholars andthesestudieshavemainlyfticlepresentedanalgorithmforsolviedinertialsubgradientextragradientalgorithmwithArmijolineaheassumptionofnon-Lipschitzcontinuity itwasprovedthatthesequenceofiterationsgeneratedbythealgorithmcrthnotingthattheproofoy twonumericalexperimentsweregiventoids variationalinequalities subgradientextragradientalgorithm Armijolinearsearch strongconvergence non-monotone1 引 言设H是实希尔伯特空间,C是H上的非空闭凸子集,〈·,·〉和‖·‖分别表示定义在H上的内积和范 数。设A:H→H是一个非线性映射,x∈H,记PC(x)为点x到C上的投影。本文考虑如下经典变分不等式问题(VI):找到点x∈C,使得〈Ax,y-x〉≥0,∀y∈C,记变 收稿日期:2022-07-10 修回日期:2022-08-18 文章编号:1672-058X(2023)05-0089-07庆工商大学科研团队项目(ZDPTTD201908).基金项目:重庆市自然科学基金(CSTC2021JCYJ-MSXMX0721);重庆市教育委员会科学技术研究重点项目(KJZD-K201900801);重作者简介:方珍洁(1998—),女,四川成都人,硕士研究生,从事最优化理论与算法研究.40(5):89—95.引用格式:方珍洁,龙宪军.求解非单调变分不等式问题的修正惯性次梯度外梯度算法[J].重庆工商大学学报(自然科学版),2023,FANGZhenjie edinertialsubgradientextragradientalgorithmsforsolvingnon-monotonevariationalinequality J .JournalofChongqingTechnologyandBusinessUniversity NaturalScienceEdition 2023 40 5 89—ght©博看网. All Rights Reserved.
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重庆工商大学学报(自然科学版)第40卷分不等式问题的解集为VI(C,A)。近年来,变分不等式在数学规划、经济、工程力学、交通运输、非线性方程等领域有着广泛的应用,许多学者对变分不等式的理论和算法进行了研究[1-5]。1976年,Korpelevich[5]提出了外梯度算法:(VSEA):最近,Cai等[9]提出如下黏性次梯度外梯度算法=(-)ìïynPCxnλnAxnïízn=PTn(xn-λnAyn)ïïx=(1-β)f(x)+βzîn+1nnnn{yn=PC(xn-λAxn)其中,A是单调且Lipschitz连续的,L为Lipschitz常数,λ∈0,xn+1=PC(xn-λAyn)(1)()1。若解集非空,则由式(1)产生的迭代序列L{xn}弱收敛于变分不等式问题的解。值得注意的是,式(1)在每步迭代时,需要计算两次到可行集C上的投影,若可行集C的结构不够简单,则会增加投影的计算成本,从而影响该方法的效率和适用性。为了克服这个不足,Censor等[6]其中,Tn:={z∈H:〈xn-λAxn-yn,w-yn〉≤0},λn=γl且mn是最小的非负整数,m满足:μγlm〈Ayn-Axn,yn-zn〉≤(‖xn-yn‖2+‖yn-zn‖2)2Cai等在伪单调的假设下,证明了算法的强收敛性。mn通过上述文献可以发现,单调性或者伪单调性在证明由算法迭代产生的序列收敛性中起着至关重要的作用。但是,许多函数并不满足单调性或者伪单调性的假设。本文针对非单调变分不等式问题,提出了带Armijo线性搜索的修正惯性次梯度外梯度算法;在没有Lipschitz连续性假设下,证明了由算法产生迭代的序列强收敛变分不等式问题的解。数值实验证明了本文算法的优势。提出了次梯度外梯度算法,其中将第二步到C上的投影替换为到一个半空间上的投影:yn=PC(xn-λAxn)(2)xn+1=PT(xn-λAyn){其中,Tn:={z∈H:〈xn-λAxn-yn,z-yn〉≤0},A是单调且Lipschitz连续的,L为Lipschitz常数,λ∈0,n()Censor等证明了由式(2)产生的迭代序列{xn}弱收敛于变分不等式问题的解。近年来,为了加快算法的收敛速度,Thong等[7]提出如下Mann型惯性次梯度外梯度算法(MISEA):=+-ìïwnxnαn(xnxn-1)ïïyn=PC(wn-λAwn)(3)í=-()zPwλAyTnnnïnïïx=(1-θ-β)x+βzîn+1nnnnn其中,Tn:={z∈H:〈wn-λAwn-yn,z-yn〉≤0},A是单调1。L2 相关定义与引理假设H是实希尔伯特空间,C是H上的非空闭凸子集,记xn⇀x为序列{xn}弱收敛于x,记xn→x为序列{xn}强收敛于x,对任意的x,y∈H和α∈R,有‖αx+(1-α)y‖2= α‖x‖2+(1-α)‖y‖2-α(1-α)‖x-y‖2‖x+y‖2≤‖x‖2+2〈y,y+x〉对任意的x,y,z∈H和α,β,γ∈[0,1],且α+β+γ=1,有且Lipschitz连续的,λ∈0,()(1)—式(3),由于步长与Lipschitz常数有关,当映射不是Lipschitz连续或者Lipschitz常数未知时,上述算法都是不可行的。为了克服这一缺陷,Khanh等[8]提出了如下Mann型次梯度外梯度算法(MTSEA):=(-)ìïynPCxnλnAxnïízn=PTn(xn-λnAyn)ïïx=(1-θ-β)x+βzîn+1nnnnn1。显而易见,对于式L‖αx+βy+γz‖2= α‖x‖2+β‖y‖2+γ‖z‖2-αβ‖x-y‖2- αγ‖x-z‖2-βγ‖y-z‖2任给x∈H,则在C中存在唯一的点PC(x)满足‖x-PC(x)‖≤‖x-y‖,∀y∈C,这里PC被称为H到C上的投影,不难看出PC是非扩张的。定义1[10] 设A:H→H是一个映射,称(1)A是单调当且仅当〈Ax-Ay,x-y〉≥0,∀x,y∈H。(2)A是伪单调当且仅当〈Ay,x-y〉≥0⇒〈Ax,x-y〉≥0,∀x,y∈H。注1 若A是单调的,则A是伪单调的,但反之不成立。定义2 设A:H→H是一个映射,若对任意序列{xn}⊆H,当n→∞时,由xn⇀x可推出Axn⇀Ax,则称A是序列弱连续的。引理1[3] 设H1和H2是两个实希尔伯特空间,映射A:H1→H2在H1的任意有界子集上是一致连续的,其中,Tn:={z∈H:〈xn-λAxn-yn,z-yn〉≤0},λn=γlmnmn是最小的非负整数,m满足γlm‖Axn-Ayn‖≤μ‖xn-敛性。且yn‖,Khanh等在伪单调假设下,证明了算法的强收Copyright©博看网. All Rights Reserved.
第5期
方珍洁,等:求解非单调变分不等式问题的修正惯性次梯度外梯度算法91若M是H1上的有界子集,则A(M)有界。0,∀y∈C。引理2[2] ∀x∈H,z=PC(x),当且仅当〈x-z,z-y〉≥引理3[2] ∀x,y∈H,有(1)‖PC(x)-PC(y)‖2≤〈PC(x)-PC(y),x-y〉。并回到步骤1。步骤3 计算xn+1=(1-θn-βn)wn+βnzn,令n:=n+1引理8 假设条件(1)—(3)成立,则由算法1定‖x-PC(x)‖2。(2)若y∈C,则‖PC(x)-y‖2≤‖x-y‖2-引理4[11] 设x∈H以及α≥β>0,则α-1‖x-PC(x-αAx)‖≤β-1‖x-PC(x-βAx)‖‖x-PC(x-βAx)‖≤‖x-PC(x-αAx)‖引理5[4] 设{anj}是非负实序列{an}的子列,且义的Armijo线性搜索步长式(4)是有意义的。证 明 若wn∈VI(C,A),则wn=PC(wn-λnAwn),令m=0,则式(4)成立;若wn∉VI(C,A),则假设对任意的m≥1,有γlm〈Awn-APC(wn-γlmAwn),zn-PC(wn-γlmAwn)〉> μ(‖wn-PC(wn-γlmAwn)‖+‖zn-PC(wn-γlmAwn)‖)24由柯西-施瓦兹不等式得γlm‖Awn-APC(wn-γlmAwn)‖× ‖zn-PC(wn-γlmAwn)‖> 即有子列满足对于任意的j∈N,有anj
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重庆工商大学学报(自然科学版)第40卷法1产生的序列,{wnk}是其子序列,若存在{xn}的子序列{xnk}弱收敛于q∈H,且lim‖wnk-ynk‖=0,则q∈VI(C,A)。k→∞因lim‖xnk-q‖=0,由三角不等式得lim‖wnk-q‖=0,表明序列{wnk}弱收敛于q;由lim‖wnk-ynk‖=0得k→∞k→∞k→∞k→∞证 明 由wn=xn+αn(xn-xn-1)知lim‖wnk-xnk‖=limαnk‖xnk-xnk-1‖=0k→∞从而‖zn-p‖≤‖wn-p‖。由{wn}的定义知‖wn-p‖=‖xn+αn(xn-xn-1)-p‖≤‖xn-p‖+αn‖xn-xn-1‖=‖xn-p‖+θn·αnr(q)=0,即q=PC(q-λnAq)。由引理7可知q∈VI(C,A)。证毕。定理1 假设条件(1)—(3)成立,且αnlim‖xn-xn-1‖=0(9)n→∞θn则由算法1产生的序列{xn}强收敛于p∈VI(C,A)。证 明 该证明分为以下4个步骤:步骤1 证明序列{xn}有界。由引理3得‖zn-p‖2=‖PTn(wn-λnAyn)-p‖2≤ ‖wn-λnAyn-p‖2-‖wn-λnAyn-zn‖2= ‖wn-p‖2+λn2‖Ayn‖2-2λn〈wn-p,Ayn〉- ‖wn-p‖2-‖wn-zn‖2+2λn〈Ayn,p-zn〉= ‖wn-zn‖2-λn2‖Ayn‖2+2λn〈Ayn,wn-zn〉= ‖wn-p‖2-‖wn-zn‖2-2λn〈Ayn,yn-p〉+ 2λn〈Ayn,yn-zn〉因为p∈VI(C,A),所以〈Ay,y-p〉≥0,∀y∈C,又由yn∈C,故〈Ayn,yn-p〉≥0,因此‖zn-p‖2≤ ‖wn-p‖-‖wn-zn‖+2λn〈Ayn,yn-zn〉=222‖xn-xn-1‖≤M1成立,因此‖wn-p‖≤‖xn-p‖+θnθnM1。再由式(10)得‖zn-p‖≤‖wn-p‖≤‖xn-p‖+θnM1(11)结合{xn}的定义和式(11),得‖xn+1-p‖=‖(1-θn-βn)wn+βnzn-p‖= ‖(1-θn-βn)(wn-p)+βn(zn-p)-θnp‖≤ (1-θn-βn)‖wn-p‖+βn‖zn-p‖+θn‖p‖≤ (1-θn-βn)‖wn-p‖+βn‖wn-p‖+θn‖p‖= (1-θn)‖wn-p‖+θn‖p‖≤ (1-θn)‖xn-p‖+(1-θn)θnM1+θn‖p‖≤ (1-θn)‖xn-p‖+θnM1+θn‖p‖= (1-θn)‖xn-p‖+θn(M1+‖p‖)≤ max{‖xn-p‖,M1+‖p‖}≤…≤ max{‖x0-p‖,M1+‖p‖}上式表明序列{xn}有界,因此序列{zn}和{wn}有界。步骤2 证明βn(1-μ)‖wn-yn‖2+βn(1-μ)‖yn-zn‖2≤‖xn+1-p‖2=‖(1-θn-βn)wn+βnzn-p‖2= (1-θn-βn)‖wn-p‖2+βn‖zn-p‖2+ θn‖p‖2-(1-θn-βn)βn‖wn-zn‖2-αn‖xn-xn-1‖θn由式(9)知,存在常数M1≥0,使得对任意的n≥0, ‖xn-p‖2-‖xn+1-p‖2+θnM3其中,M3>0。事实上,(12) ‖wn-p‖-‖wn-yn‖-‖yn-zn‖- 2〈wn-yn,yn-zn〉+2λn〈yn-zn,Ayn〉=22 ‖(1-θn-βn)(wn-p)+βn(zn-p)+θn(-p)‖2= (1-θn-βn)θn‖wn‖2-βnθn‖zn‖2≤ ‖wn-p‖-‖wn-yn‖-‖yn-zn‖+ 2〈yn-zn,yn-wn+λnAyn〉=222222由于zn∈Tn,故〈wn-λnAwn-yn,zn-yn〉≤0,由此得‖zn-p‖2≤ ‖wn-p‖2-‖wn-yn‖2-‖yn-zn‖2+ 2λn〈Ayn-Awn,yn-zn〉≤ ‖wn-p‖2-‖wn-yn‖2-‖yn-zn‖2+μ (‖wn-yn‖+‖zn-yn‖)2≤2 ‖wn-p‖2-‖wn-yn‖2-‖yn-zn‖2+ μ‖wn-yn‖2+μ‖zn-yn‖2= ‖wn-p‖-‖wn-yn‖-‖yn-zn‖+ 2〈wn-λnAwn-yn,zn-yn〉+2λn〈Ayn-Awn,yn-zn〉 (1-θn-βn)‖wn-p‖2+βn‖zn-p‖2+θn‖p‖2结合式(10)和式(11)得‖xn+1-p‖2≤ (1-θn-βn)‖wn-p‖2+βn‖wn-p2‖+ βn(1-μ)×‖yn-zn‖2+θn‖p‖2≤ βn(1-μ)×‖yn-zn‖2+θn‖p‖2由式(11)知,存在M2>0,使得 ‖xn-p‖2+θnM2 βn(μ-1)‖wn-yn‖2+βn(μ-1)‖yn-zn‖2+θn‖p‖2= (1-θn)‖wn-p‖2-βn(1-μ)×‖wn-yn‖2- ‖wn-p‖2-βn(1-μ)‖wn-yn‖2-‖wn-p‖2≤(‖xn-p‖+θnM1)2≤(13) ‖wn-p‖2+(μ-1)‖wn-yn‖2+(μ-1)‖yn-zn‖2(10) ‖xn-p‖2+2θnM1‖xn-p‖+(θnM1)2≤Copyright©博看网. All Rights Reserved.
第5期
方珍洁,等:求解非单调变分不等式问题的修正惯性次梯度外梯度算法93由式(13)有‖xn+1-p‖2≤ (1-θn)2‖tn-p‖2-2〈θnβn(wn-zn)+θnp,xn+1-p〉≤ (1-θn)‖tn-p‖2+2〈θnβn(wn-zn),p-xn+1〉+ 2θn〈p,p-xn+1〉≤ (1-θn)‖tn-p‖2+2θnβn‖wn-zn‖‖p-xn+1‖+ 2θn〈p,p-xn+1〉(17)结合式(16)和式(17)得‖xn+1-p‖2≤ (1-θn)‖xn-p‖2+(1-θn)αnM4‖xn-xn-1‖+ 2θnβn‖wn-zn‖‖p-xn+1‖+2θn〈p,p-xn+1〉≤ ‖xn-p‖2+θnM2-βn(1-μ)‖wn-yn‖2- βn(1-μ)‖yn-zn‖2+θn‖p‖2 ‖xn-p‖2-‖xn+1-p‖2+θnM3步骤3 证明存在M4>0,使得βn(1-μ)‖wn-yn‖2+βn(1-μ)‖yn-zn‖2≤‖xn+1-p‖2≤(1-θn)‖xn-p‖2+αn θn(1-θn)‖xn-xn-1‖M4+θn同理存在M3>0,使得[ 2βn‖wn-zn‖‖p-xn+1‖+2〈p,p-xn+1〉事实上,由{xn+1}的定义知xn+1=(1-θn-βn)wn+βnzn=(1-βn)wn+βnzn-θnwn令tn:=(1-βn)wn+βnzn,则‖tn-p‖2=‖(1-βn)wn+βn(zn-p)‖2= ‖(1-βn)(wn-p)+βn(zn-p)‖2= (1-βn)2‖wn-p‖2+βn2‖zn-p‖2+ 2βn(1-βn)〈wn-p,zn-p〉≤ (1-βn)2‖wn-p‖2+βn2‖zn-p‖2+ 2βn(1-βn)‖wn-p‖‖zn-p‖≤ (1-βn)2‖wn-p‖2+βn2‖zn-p‖2+ (1-βn)‖wn-p‖2+βn‖zn-p‖2≤ βn(1-βn)‖wn-p‖2+βn(1-βn)‖zn-p‖2= (1-βn)‖wn-p‖2+βn‖wn-p‖2=‖wn-p‖2] (1-θn)‖xn-p‖2+θn[αnθn种情形: 2βn‖wn-zn‖‖p-xn+1‖+2〈p,p-xn+1〉](18)步骤4 证明序列{‖xn-p‖}收敛于0。需考虑两(1-θn)‖xn-xn-1‖M4+情形1 假设存在正整数N,当n≥N时,有‖xn+1-p‖≤‖xn-p‖,则lim‖xn-p‖存在。由式(12)可知,n→∞‖zn-yn‖+‖yn-wn‖→0。由式(11)式知lim‖wn-xn‖=limαn‖xn-xn-1‖=n→∞lim‖wn-yn‖=0且lim‖yn-zn‖=0,因此‖zn-wn‖≤n→∞n→∞n→∞ limθnn→∞αnθn‖xn-xn-1‖=0因此由此得(14)‖xn-zn‖≤‖xn-wn‖+‖wn-zn‖→0‖xn+1-xn‖=‖(1-θn-βn)wn+βnzn-xn‖= ‖βn(zn-wn)-(xn-wn)-θnwn‖≤另一方面,‖wn-p‖2=‖xn+αn(xn-xn-1)-p‖2= ‖xn-p‖2+αn2‖xn-xn-1‖2+ 2αn‖xn-p‖×‖xn-xn-1‖≤ ‖xn-p‖+αn‖xn-xn-1‖M4222 ‖xn-p‖2+αn2‖xn-xn-1‖2+2αn〈xn-p,xn-xn-1〉≤ ‖xn-p‖2+αn‖xn-xn-1‖× [2‖xn-p‖+αn‖xn-xn-1‖]≤其中,M4>0,由式(14)和式(15)得 βn‖zn-wn‖+‖wn-xn‖+θn‖wn‖→0因为{xn}有界,则存在{xn}的子序列{xnj},使得xnj⇀q∈H,则n→∞又因为‖wn-xn‖→0,故wnj⇀q。注意到‖wn-yn‖=n→∞limsup〈p,p-xn〉=lim〈p,p-xnj〉=〈p,p-q〉j→∞(15)‖wn-PC(wn-λnAwn)‖→0,由引理9得q∈VI(C,A)。由p=PVI(C,A)0知limsup〈p,p-xn〉=〈p,p-q〉≤0,由‖xn+1-xn‖→0得limsup〈p,p-xn+1〉≤0,结合引理6和式(18),得lim‖xn-p‖=0。n→∞n→∞因此‖tn-p‖≤‖xn-p‖+αnM4‖xn-xn-1‖(16)注意到tn=(1-βn)wn+βnzn,则wn-tn=βn(wn-zn),xn+1=tn-θnwn=(1-θn)tn-θn(wn-tn)= (1-θn)tn-θnβn(wn-zn)情形2 对于任意的j∈N,存在{‖xn-p‖}的子序列{‖xnj-p‖},使得‖xnj-p‖<‖xnj+1-p‖。由引理5知存在一个非减序列{mk},使得limmk=∞,以及对于任意的k≥1,‖xmk-p‖≤‖xmk+1-p‖,且‖xk-p‖≤‖xmk+1-p‖。由式(12)知(1-μ)βmk‖wmk-ymk‖2+(1-μ)βmk‖ymk-zmk‖2≤k→∞上式表明‖xn+1-p‖2=‖(1-θn)tn-θnβn(wn-zn)-p‖2= ‖(1-θn)(tn-p)-[θnβn(wn-zn)+θnp]‖2≤Copyright©博看网. All Rights Reserved.
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重庆工商大学学报(自然科学版)第40卷由此得lim‖wmk-ymk‖=0且lim‖ymk-zmk‖=0。k→∞k→∞k→∞ ‖xmk-p‖2-‖xmk+1-p‖2+θmkM3≤θmkM3修正次梯度外梯度算法(MSEM)。数值结果见表1,其中“Iter”和“Sec”分别表示迭代次数和CPU运行时间(单位:s),所有代码在MATLABR2019b和Windows10系统下运行,计算机基本参数为Intel(R)Core(TM)i5-10210UCPU@1.60GHz2.11GHz。例1 令A(x)=Mx+q,A:Rm→Rm,其中q∈Rm,且M=NNT+S+D,N∈Rm×m,S∈Rm×m是一个对称矩阵,D∈Rm×m是对角矩阵,且对角线上的元素非负,显然,M+是一个正定矩阵,可行集是Rn,映射A是单调且Lipschitz连续的,Lipschitz常数L=‖M‖。各参数选取如下:1算法1:μ=0.5,γ=0.1,l=0.5,αn=0.1,θn=,n+1βn=0.1·(1-θn);VSEM:μ=0.5,γ=0.1,l=0.5,βn=11,f(x)=0;MISEM:αn=0.5,θn=,βn=0.1·n+2(n+1)21(1-θn);MTSEM:μ=0.5,γ=0.1,l=0.5,θn=,β=n+1n10.1·(1-θn);SMSEM:μ=0.5,θn=,β=0.1·n+1n(1-θn)。limsup〈p,p-xmk+1〉≤0。由式(18)知‖xm+1-p‖2≤k类似于情形1的证明,可得‖xmk+1-xmk‖→0,αmk (1-θmk)‖xmk-p‖+θmk[(1-θmk)M4‖xmk-xmk-1‖+θmk2 2βmk‖wmk-zmk‖‖p-xmk+1‖+2〈p,p-xmk+1〉]≤2αmk (1-θmk)‖xmk+1-p‖+θmk[(1-θmk)M4‖xmk-xmk-1‖+θmk由此得 2βmk‖wmk-zmk‖‖p-xmk+1‖+2〈p,p-xmk+1〉]‖xk-p‖2≤‖xmk+1-p‖2≤ αmkθmk(1-θmk)M4‖xmk-xmk-1‖+ 2βmk‖wmk-zmk‖‖p-xmk+1‖+综上可得lim‖xk-p‖=0。证毕。k→∞ 2〈p,p-xmk+1〉注2 定理1从以下3个方面改进了Thong等[7]的定理3.2:性。事实上,Lipschitz连续性可推出一致连续,反之不可行。例如,定义A:[0,1]→[0,+∞)为Ax=x,可知A是一致连续的,但A不满足Lipschitz连续。(1)映射A的Lipschitz连续性推广为一致连续令q=0,初始点x0=(1,1,…,1)T∈Rm,m=20,‖xn+1-xn‖≤error作为终止条件,测试结果见表1。表1 例1算法结果对比表Table1 Comparisonofalgorithmresultsofexample1error=10-4Iter算法1MTSEMMISEMVSEMSMSEMSecerror=10-5IterSecerror=10-6IterSecerror=10-7Iter390.0154步长选取更优,其步长的选取与Lipschitz常数有关。众所周知,Lipschitz常数往往难以估算,然而算法1利用Armijo线性搜索得到步长,避免了Lipschitz常数。此外,{xn+1}的迭代与文献[7]中的迭代不同。(3)去掉了映射A的单调性假设。(2)算法1的步长选取比文献[7]中算法3.2的140.0047210.0056290.0097Sec160.0052500.01561440.01094150.0198190.0078540.01591490.01104820.0202840.01241070.01641280.01811500.0179870.01432370.05077380.155821100.3843为加快收敛速度的一种方法,算法1优于Khanh等[8]这使得收敛速度加快。注3 算法1中利用了惯性项,增加惯性项常被视通过表1可以发现,算法1比文献[7,8,9,13]中的算法收敛效果更好。例2 令H=l2,C:={x=(x1,x2,…,xi,…)∈H:|xi|≤1,i=1,2,…,n,},定义映射A:C→H,A(x)=(‖x‖+i1)x,其中,c>0,显然,A在H上伪单调,在C上‖x‖+c一致连续且序列弱连续,且在H上是非Lipschitz连续的。令c=0.5,m=20,‖xn‖≤error作为终止条件,可行集C可变为-11C=x∈Rm:≤xi≤,i=1,2,…,mii提出的算法3.3,这是由于我们的算法增加了惯性项,4 数值实验为了体现本文提出算法的有效性,本节通过例子将算法1与下列文献中的算法进行比较:文献[7]中的Mann型惯性次梯度外梯度算法(MISEM),文献[8]中的Mann型次梯度外梯度算法(MTSEM),文献[9]中的黏性次梯度外梯度算法(VSEM),文献[13]中的自适应Mann型次梯度外梯度算法(SMSEM),文献[14]中的{}Copyright©博看网. All Rights Reserved.
第5期
方珍洁,等:求解非单调变分不等式问题的修正惯性次梯度外梯度算法1515.95数达到35000时,用“Max”来代替,各参数选取如下:算法1:μ=0.8,γ=0.3,l=0.5,αn=0.1,θn=1测试结果见例2算法结果对比表(表2),当迭代步, 5 ragradientmethodforfindingn+1βn=0.1·(1-θn);VSEM:μ=0.8,γ=0.3,l=0.5,βn=1x,f(x)=;MTSEM:μ=0.8,γ=0.3,l=0.5,θn=n+28 6 CENSORY GIBALIA convergenceof1976 12 4 747—pointsandotherproblems J .EkonMatMetody
subgradientextragradientmethodsforthevariationalinequalitySoftware 2011 26 4-5 827—minHilbertspace J .OptimizationMethodsand 7 THONGDV VINHNT ratedsubgradient1xβn=,f(x)=。n+28Table2 1,β=0.1·(1-θn);MSEM:μ=0.8,γ=0.8,l=0.1,n+1nextragradientmethodsforvariationalinequalityproblems J . 8 KHANHPQ THONGDV nsoftheJournalofScientificComputing 2019 80 3 1438—1462.表2 例2算法结果对比表Comparisonofalgorithmresultsofexample2subgradienterror=10-2Iter算法1MTSEMMSEMVSEM9Secerror=10-3IterSecerror=10-4Itererror=10-5Iter200.02581500.266721482.63451122313.8100.0003160.0089240.0112Sec350.0213Sec 9 CAIG DONGQL convergencetheoremsfor2020 170 1 319—ionalinequalities J .ActaApplicandaeMathematicae
extragradientmethodforpseudomonotonesolvingvariationalinequalityproblemswithpseudo-monotoneandnon-Lipschitzoperators J .JournalofOptimizationTheoryandApplications 2021 188 1 447—472.1990.008422310.0212Max0.1833Max1.7476430.0005740.01141080.01931430.1043 10 KARAMARDIANS indsofmonotone通过表2可以发现,算法1比文献[8,9,14]中算法的收敛效果更好。 11 DENISOVSV
1990 66 1 37— J .JournalofOptimizationTheoryandApplications
ConvergenceofthemodifiedextragradientmethodforSEMENOVVV CHABAKLM.5 结 论结合惯性原理和Mann型方法,提出了带有Armijo线性搜索的修正惯性次梯度外梯度算法求解非单调变分不等式问题。在没有Lipschitz连续性假设下,证明了由算法产生的迭代序列强收敛于变分不等式问题的解。数值实验验证了本文提出算法的有效性和优越性。参考文献 References
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14 THONGDV SHEHUY dstrong38 3 136—156. 1 FACCHINEIF -dimensionalvariationalinequalitiesandcomplementarityproblems M .NewYork
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mconvexity hyperbolic 15 贺月红 龙宪军.求解伪单调变分不等式问题的惯性收缩投影算法 J .数学物理学报
2021 41 6 1897—thms 2020 84 2 795—gs J .Numerical 3 IUSEMAN evich
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