2024年2月8日发(作者：陕西九下数学试卷)
高中数学常用公式
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1.元素与集合的关系
x∈A ⇔ x ∉CUA，x∈CUA⇔x∈A.
2.德摩根公式
CU(A∩B)= CUA∪CUB；CU(A∪B)= CUA∩CUB；
3.包含关系
A∩B=A⇔A∪B=B⇔A⊆B⇔CUB⊆CUA⇔A∩CUBФ⇔CUA∪B=R
4.容斥原理
card(A∪B)=cardA+cardB-card(A∩B)
card(A∪B∪C)=cardA+cardB+cardC-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C)
5.集合{a1,a2,…,an}的子集个数共有2n个；真子集有2n-1个；非空子集有2n-1个；非空的真子集有2n-2个.
6.二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式f(x)=ax2+bx+c(a≠0)；
(2)顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)；
(3)零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
7.解连不等式N M-Nf(x)-NM+N11-N 2 |< 2 ⇔ >0⇔ > M-f(x)f(x)-NM-N8.方程f(x)=0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)<0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地,方程b 2a 2 ,或f(k2)=0且 k1+k2<- b<2 2a k2. 9.闭区间上的二次函数的最值 b2x=- 二次函数f(x)=ax+bx+c(a≠0)在闭区间[p,q]上的最值只能在2a 处及区间的两端点处取得，具体如下： bb -(1)当a>0时，若x=- ∈[p,q]，则f(x)=f(min2a2a ) ,f(x)max=max{ f(p), f(q)}； bx=- 若2a ∉[p,q]，则f(x)max=max{ f(p), f(q)} ,f(x)min=min{ f(p), f(q)}. b- (2)当a<0时，若x=2a ∈[p,q]，则f(x)min=min{ f(p), f(q)}， b若x=- 2a ∉[p,q]，则f(x)max=max{ f(p), f(q)} ,f(x)min=min{ f(p), f(q)}. 10.一元二次方程的实根分布 依据：若f(m) f(n)<0，则方程f(x)=0在区间(m,n)内至少有一个实根. 设f(x)=x2+px+q，则 （1）方程f(x)=0在区间(m,+∞)内有根的充要条件为f(m)=0或 p2-4q≥0-p>m2; f(m)>0f(n)>0f(m)=0f(n)=02-4q≥0p（2）方程f(x)=0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m) f(n)<0或或 af(n)>0 或af(m)>0 ; pm<- 2 p. 2 11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间(-∞,+∞)的子区间L（形如[α,β],[-∞,β],[α,+∞]不同）上含参数的二次不等式f(x,t)≥0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min≥0(x∉L). (2)在给定区间(-∞,+∞)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)≥0 (t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man≤0(x∉L). a≥0a<0(3) f(x)=ax4+bx2+c>0恒成立的充要条件是b≥0或 b2-4ac<0 . c>012.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 是 都是 大于 小于 对所有x，成立 对任何x，不成立 14.四种命题的相互关系 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某x，不成立 存在某x，成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有n个 至多有n个 p或q p且q 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有（n1）个 至少有（n1）个 p且q p或q 原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 15.充要条件 （1）充分条件：若p⇔q，则p是q充分条件. （2）必要条件：若q⇔p，则p是q必要条件. （3）充要条件：若p⇒q，且q⇒p，则p是q充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设x1.x2∈[a,b], x1≠x2那么 f(x1)-f(x2)(x1-x2)[ f(x1)-f(x2)]>0⇔ >0⇔f(x)在[a,b]上是增函数； x1-x2f(x1)-f(x2)(x1-x2)[ f(x1)-f(x2)]<0⇔ <0⇔f(x)在[a,b]上是减函数. x1-x2(2)设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果f ′(x)>0，则f(x)为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)为减函数. 17.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)+g(x)也是减函数; 如果函数y=f(u)和u=g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y=f[g(x)]是增函数. 18．奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数． 19.若函数y=f(x)是偶函数，则f(x+a)=f(-x-a)；若函数y=f(x+a)是偶函数，则f(x+a)= f(-x+a). a+bx=20.对于函数y=f(x)(x∈R), f(x+a)=f(b-x)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数2 ;两个函数y=f(x+a)与y=f(b-x)的图象关a+bx=于直线2 对称. a21.若f(x)=-f(-x+a),则函数y=f(x)的图象关于点(2 ,0)对称; 若f(x)=-f(x+a),则函数y=f(x)为周期为2a的周期函数. 22.多项式函数P(x)=anxn+ an-1xn-1+…+a0的奇偶性 多项式函数P(x)是奇函数⇔P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数⇔P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数y=f(x)的图象的对称性 (1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x)⇔f(2a-x) =f(x). a+b(2)函数y=f(x)的图象关于直线x=2 对称⇔f(a+mx)=f(b-mx)⇔f(a+b-mx) =f(mx). 24.两个函数图象的对称性 (1)函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0 (即y轴)对称. a+b(2)函数y=f(mx-a)与函数y=f(b-mx)的图象关于直线x=2m 对称. (3)函数y=f(x)和y=f -1(x)的图象关于直线y=x对称. 25.若将函数y=f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y=f(x-a)+b的图象；若将曲线y=f(x,y)=0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(x-a, y-b)=0的图象. 26.互为反函数的两个函数的关系f(a)=b⇔f -1(b)=a. 127.若函数y=f(kx+b)存在反函数,则其反函数为y=k [f -1(x)-b],并不是y=[f -1(kx+b), 1-1而函数y=[f (kx+b)是y=k [f (x)-b]的反函数. 28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数f(x)=cx,f(x+y)=f(x)+f(y),f(1)=c. (2)指数函数f(x)=ax,f(x+y)=f(x)f(y),f(1)=a≠0. (3)对数函数f(x)=logax,f(xy)=f(x)+f(y),f(a)=1(a>0,a≠1). (4)幂函数f(x)=xa,f(xy)=f(x)f(y),f ′(1)=a. (5)余弦函数f(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx，f(x-y)= f(x)f(y)+ g(x)g(y), g(x)F(0)=1,limx=1. x→029.几个函数方程的周期(约定a>0) （1）f(x)=f(x+a)，则f(x)的周期T=a； 11f(x+a)=f(x+a)=-（2）f(x)=f(x+a)=0，或f(x) (f(x)≠0)，或f(x) (f(x)≠0)， 1或2+f(x)+f 2(x)=f(x+a),(f(x)∈[0,1]) ,则f(x)的周期T=2a； 1(3)f(x)=1-f(x+a)(f(x)≠0) ，则f(x)的周期T=3a； f(x1)+f(x2)(4)f(x1+x2)= 且f(a)=1(f(x1).f(x2)≠1,0<|x1-x2|<2a)，则f(x)的周期T=4a； 1-f(x1)f(x2)(5)f(x)+f(x+a)+f(x+2a)f(x+3a)+f(x+4a) =f(x)f(x+a)f(x+2a)f(x+3a)f(x+4a),则f(x)的周期T=5a； (6)f(x+a)=f(x)-f(x+a)，则f(x)的周期T=6a. 30.分数指数幂 m1(1)n = （a>0,m,n∈N*,且n>1). anamm1- (2)n=m （a>0,m,n∈N*,且n>1). aan 31．根式的性质 n（1）(a)n=a. （2）当n为奇数时，an=a； nn=|a|=a，a≥0a当n为偶数时， . -a，a<032．有理指数幂的运算性质 (1)=ar+s(a>0,r,s∈Q). (2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q). (3) (ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 注:若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式 logaN=b⇔ab=N(a>0,a≠1,N>0). 34.对数的换底公式 n logaN=logmN(a>0,且a≠1,且m>0,m≠1,N>0) . logma推论 logambn=nlogab(a>0,且a>1,m,n>0,且m≠1,n≠1,N>0) m35．对数的四则运算法则 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)=logaM+logaN; M(2)logaN=logaM-logaN; (3)logaMn=nlogaM(n∈R). 36.设函数f(x)=logm(ax2+bx+c)(a≠0),记△=b2-4ac.若f(x)的定义域为R,则a>0，且△<0;若f(x)的值域为R,则a>0，且△≥0.对于a=0的情形,需要单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 1若a>0,b>0,x>0,x≠a ,则函数y=logax(bx) 11(1)当a>b时,在(0,a) 和(a ,+∞) 上y=logax(bx)为增函数. 11(2)当a 推论:设n>m>1,p>0,a>0,且a≠1，则 （1）logm+p(n+p) m+n2（2）logamlogan 38. 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有y=N(1+p)x. 39.数列的同项公式与前n项的和的关系 S1，n=1an= (数列{an}的前n项的和为Sn=a1+a2+…+an). Sn-Sn-1，n≥240.等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d=dn+a1-d(n∈N*)； 其前n项和公式为 n(n-1)dSn=n(a1+an)=na1+d=n2+(a1 - 1d)n. 222241.等比数列的通项公式 an=a1qn-1=(n∈N*)； q其前n项的和公式为 n a1-anq，q≠1 a1(1-q)，q≠1Sn=1-q或 Sn=1-q. na1，q=1na1，q=1 42.等比差数列{an}:an+1=qan+d,a1=b(q≠0)的通项公式为 b+(n-1)d，q=1an=bqn+(d-b)qn-1-d ； ，q≠1q-1其前n项和公式为 =nb+n(n-1)d，(q=1)an(b-d1-qnd1-q)q-1+1-qn，q≠1 ； 43.分期付款(按揭贷款) 每次还款ab(1+b)n(1+b)n-1 元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). 44．常见三角不等式 (1)若x∈(0,π2), 则sinx (2)若x∈(0,π2), 则1 (3)|sinx|+|cosx|≥1. 45.同角三角函数的基本关系式 sin2θ+cos2θ=1,tanθ=sinθcosθ ,tanθ.cotθ=1. 46.正弦、余弦的诱导公式 nnsin(nπ+(-1)2sinα，(n为偶数)nπ (-1)2cosα，(n为偶数)2α)= n-1 (-1)2cosα，(n为奇数) ；cos( 2+α)= n+1 (-1)2sinα，(n为奇数)47.和角与差角公式 sin(α±β)= sinαcosβ±cosαsinβ； cos(α±β)= cosαcosβ sinαcosβ； tanα±tanβ=tanα±tanβ 1 tanαtanβ . sin(α+β) sin(α- β)= sin2α- sin2β；(平方正弦公式); ； cos(α+β) cos(α- β)= cos2α- sin2β. basinα+ bsinα=a2+b2sin(α+ϕ) (辅助角ϕ所在象限由点(a,b)的象限决定, tanϕ=a ). 48.二倍角公式 sin2α=2sinαcosα. cos2α= cos2α-sin2α= 2cos2α-1=1-2sin2α. tan2α=2tanα 1-tan2α 49. 三倍角公式 sin3θ=3sinθ-4sin3θ=4sinθsin( 3- θ)sin( 3+ θ). 3πππππcos3θ=4cos3θ-3cosθ=4cosθcos( - θ)cos( + θ). 3πcos3θ=4cos3θ-3cosθ=4cosθcos( 3- θ)cos( 3+ θ). 3tanθ-tan3θtan3θ== tanθtan( π- θ) tan( π+ θ) 331-3tan2θ50.三角函数的周期公式 2π函数y=sin(ωx+ϕ)，x∈R及函数y=cos(ωx+ϕ)，x∈R(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T= ω; ππ函数y=tan(ωx+ϕ)，x≠kπ+2 ，k∈Z (A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T= ω . 51.正弦定理 a=b=c=sinAsinBsinC2R . 52.余弦定理 a2=b2+c2-2bc cosA; b2=c2+a2-2ca cosB; c2=a2+b2-2ab cosC;
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