2023年北京市门头沟区高三一模数学试卷(含答案)

2024年4月3日发(作者：数学试卷的横线怎么画)

2023年北京市门头沟区高三一模数学试卷

2023．4

1

．本试卷答案共

12

页，共

3

道大题，

21

个小题．满分

150

分．考试时间

120

分钟．

考

生

须

知

2

．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将考试编号填写（或条形码粘贴）在答题

卡相应位置处．

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．选择题、作图题用2B铅

笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．

4

．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．

第一部分

（选择题

求的一项．）

共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

（1）已知集合

A{4,3,2,1,0,1,2,3,4}

，

B{x|x|2}

，则

AB

（A）

{4,3,3,4}

（C）

{2,1,0,1,2}

（2）复数

z(1i)(2+i)

，则

|z|

（A）

5

（C）

2

（B）

10

（D）

3

（B）

(,2)U(2,)

（D）

[2,2]

y

2

x

2

（3）双曲线

2



2



1(

a



0,

b



0)

的离心率为

2

，则其渐近线方程为

ab

（A）

y2x

（C）

y

3

x

3

（B）

y3x

（D）

y2x

（4）中国古代数学著作《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰.书里记载了这样一个问题“今

有女子善织，日自倍，五日织五尺.问日织几何？”译文是“今有一女子很会织布，每日加倍增长，5天共

织5尺，问每日各织布多少尺？”，则该女子第二天织布

（A）

（C）

5

尺

31

15

尺

16

（B）

（D）

10

尺

31

5

尺

16

（5）若点

M

是圆

C:x

2

y

2

4x0

上的任一点，直线

l:xy20

与

x

轴、

y

轴分别相交于

A

、

B

两点，

则

MAB

的最小值为

（A）

（C）

π

12

π

3

（B）

（D）

π

4

π

6

（6）在平面直角坐标系中，角



与



的顶点在原点，始边与

x

轴正半轴重合，终边构成一条直线，且

sin





3

，则

cos(







)

3

（A）

1

（C）



1

3

（B）

1

3

（D）

1

p

，其中

L

p

是音量（单位为

dB

），

p

0

是基准声压为

p

0

（7）在声学中，音量被定义为：

L

p



20lg

2×10

−5

p

a

，

p

是实际声音压强.人耳能听到的最小音量称为听觉下限阈值.经过研究表明，人耳对于不同

的听觉下限阈值为0

dB

，则下列结论正确的是

频率的声音有不同的听觉下限阈值，如下图所示，其中

240Hz

对应的听觉下限阈值为20

dB

，1000

Hz

对应

（A）音量同为

20

dB

的声音，

30100Hz

的低频比

100010000Hz

的高频更容易被人们听到

.

（B）听觉下限阈值随声音频率的增大而减小.

（C）

240Hz

的听觉下限阈值的实际声压为

0.002Pa

.

（D）

240Hz

的听觉下限阈值的实际声压为

1000Hz

的听觉下限阈值实际声压的

10

倍.







（8）已知非零向量

a,b

，则“

a

与

b

共线”是“

|ab|≤||a||b||

”的

（A）充分不必要条件

（C）充要条件

（B）必要不充分条件

（D）即不充分也不必要条件

（9）已知函数

f

(

x

)



e

x

，若存在

x

0

[1,2]

使得

f(t)x

0

f(x

0

)t

恒成立，则

bf(x

0

)t

的取值范围

1

（A）

[0,



1]

e

1

（B）

[



1,e

2



2]

e

1

（C）

[1,



1]

e

（D）

[1,e

2

2]

2

（10）已知数列

{

a

n

}

满足

a

1

1

，

a

n



1



a

n



a

n

.

1

2

①数列

{

a

n

}

每一项

a

n

都满足

0



a

n

≤

1(n

N



)

②数列

{

a

n

}

的前

n

项和

S

n

2

;

③数列

{

a

n

}

每一项

a

n

都满足

a

n

≤

2

成立;

n

1

1

2

.



n



1

④数列

{

a

n

}

每一项

a

n

都满足

a

n

≥

()(

n

N

)

其中，所有正确结论的序号是

（A）①③

（C）①③④

（B）②④

（D）①②④

第二部分

（非选择题

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）

（11）在

(2x

2

1)

6

的展开式中，

x

2

的系数为

共110分）

．（用数字作答）



（12）在边长为4的正

△ABC

中，点

P

是边

BC

上的中点，则

ABAP

．

（

13

）同一种产品由甲、乙、丙三个厂商供应．由长期的经验知，三家产品的正品率分别为0.95、0.90、

0.80

，甲、乙、丙三家产品数占比例为

2∶3∶5

，将三家产品混合在一起．从中任取一件，求此产品为正

品的概率

.

π

（14）设函数

f

(

x

)



sin(



x

)(





0)

.

3

①给出一个



的值，使得

f(x)

的图像向右平移

π

后得到的函数

g(x)

的图像关于原点对称，





6

．

；

②若

f(x)

在区间

(0,π)

上有且仅有两个零点，则



的取值范围是

（15）在正方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，棱长为

1

，已知点

P

，

Q

分别是线段

AD

1

，

AC

1

上的动点

(

不含端点

).

其中所有正确结论的序号是

①

PQ

与

B

1

C

垂直;

②直线

PQ

与直线

CD

不可能平行;

③二面角

PACQ

不可能为定值;

④则

PQQC

的最小值是

4

.

3

.

其中所有正确结论的序号是

.

三、解答题（本大题共6小题，满分85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明．）

（16）（本小题满分12分）

已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且

3bcosAasinB0

.

D

是

AB

的中点，

AC2

，

CD23

.

（Ⅰ）求

A

的大小；

（Ⅱ）求

a

的值.

（17）（本小题满分13分）

周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比

赛，而且三场比赛相互独立.根据李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比赛的情况，得到如下统计表：

父亲

比赛的次数

李梦获胜的次数

50

10

母亲

60

30

弟弟

40

32

以上表中的频率作为概率，求解下列问题.

（Ⅰ）如果按照第一场与与父亲比赛、第二场与母亲比赛、第三场与弟弟比赛的顺序进行比赛.

（i）求李梦连胜三场的概率；

（ii）如果李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为

X

，求

X

的分布列与期望；

（Ⅱ）记“与父亲、母亲、弟弟三场比赛中李梦连胜二场”的概率为

p

,此概率

p

与父亲、母亲、弟弟出

场的顺序是否有关？如果有关，什么样的出场顺序此概率

p

最大（不必计算）?如果无关，请给出简要说

明.

（18）（本小题满分15分）如图，在三棱锥

PABC

中，

ABBC2

，

PAPBPC2

，

O

为

AC

的

中点.

（Ⅰ）证明：

PBAC

（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角

BPCA

的余弦值及点

A

到平面

BPC

的距离．

①

AC22

②

POBC

（19）（本小题满分15分）

已知

f

(

x

)



1

2

x

ln(

x

1)

ax

(

a

R)

．

2

（Ⅰ）当

a2

时，求函数

f(x)

在

(0,0)

处的切线方程；

（Ⅱ）求证:

1

2

xx≥

ln(

x

1)

；

2

（Ⅲ）若

f(x)≥0

在

x[0,)

恒成立,求

a

的取值范围．

（20）（本小题满分15分）

x

2

y

2

1

已知椭圆

C

：

2



2



1

(ab0)

的离心率为，长轴的左端点为

A(2,0)

．

ab

2

（Ⅰ）求

C

的方程；

（Ⅱ）过椭圆

C

的右焦点的任一直线

l

与椭圆

C

分别相交于

M,N

两点，且

AM，AN

与直线

x4

，分别相

交于

D,E

两点，求证：以

DE

为直径的圆恒过

x

轴上定点，并求出定点.

21.（本题满分15分）

已知集合

M{1,2,3,,n}(n3)

．若对于集合

M

的任意

k

元子集

A

，

1

，则称这样的正整数

k

为“好数”，所有好数的最小值记作

g(M)

．

（Ⅰ）当

n3

，即集合

M{3,2,1,1,2,3}

．

（i）写出

M

的一个子集

B

，且

B

中存在

4

个元素的和为

1

；

(ii)写出

M

的一个5元子集

C

，使得

C

中任意

4

个元素的和大于

1

；

（Ⅱ）证明：

g(M)n2

；

（Ⅲ）证明：

g(M)n3

．

A

中必有

4

个元素的和为

参考答案

第一部分

（选择题共40分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项．）

（1）解：A；易得A

（2）解：B；

z3iz10

，也可直接计算

z1i2i2510

ca

3



2



b

2



3

a

2



y



x



y



x

ab

3

a

1

(1



q

5

)

10

5

（4）解：B；设第一天织布为

a

1

尺，公比为

q

，则

q2

，

5



a

2





a

1



31

1



q

31

（3）解：C；由题意得：

（5）解：A；由题意可知，



CAB





4

，若

MAB

最小，则

AM

应是圆

C

的切线，

AC



4,

MC



2



CAM





6





4612

3

（6）

解：C；由题意得：









π



sin





，若

3

所以最小值为

(



MAB

)

min



CAB



CAM



cos





66



cos





33

cos





66



cos





33

或

，

cos(







)



cos



cos





sin



sin





1

3

（7）解答：D；音量为20

dB

，

30100Hz

的低频下限阈值比

100010000Hz

的高频下限阈值要大，所以

更不容易被人们听到，故

A

错误；

B

显然错误；根据音量公式，计算得

240Hz

=2×10

−4

Pa

，故

C

错误；

计算得

1000Hz

=2×10

−5

Pa

，前者为后者的

10

倍，

D

正确

.





（8）解：B；

a

与

b

共线但反向，显然“

abab

”不成立；





“

abab

”成立，则

a

与

b

方向相同，可推出它们共线。也可利用数量积推理





abab2ab2ababab

a

与

b

方向相同

（9）解：设

h

(

x

)

f

(

x

)

x

e

x

xh

(

x

)

，

则递增，由题意

f(t)tf



x

0



x

0

h(t)h(x

0

)tx

0

，

则

bf(x

0

)x

0

，设

m

(

x

)



e

x

xx

[



1,2]

m

/

(

x

)



e

x



1



0

x

0

，

m(x)

在

[1,0]

递减，

在

[0,2]

上递增，

m(x)

min

m(0)1

，

m(x)

max

e

2

2

，D正确

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