2024年3月16日发(作者：必修4模块数学试卷)
中自秆誊（Ｅ辑）
第３２卷第１期
ＳＣＩＥＮＣＥＩＮ
ＣＨＩＮＡ（ＳｅｒｉｅｓＥ）２００２年２月
四级倒立摆的变论域自适应模糊控制＊
李洪兴①②③
苗志宏①王加银①
（①北京师范大学数学系，北京１００８７５；＠四川师范大学数学系，成都６１００６６
＠清华大学自动化系．北京１０００８４）
ＴＰｌ３
Ａ
摘要
采用变论域自适应模糊控制理论研究四级倒立摆控制问题．首先，结出四
级倒立摆运动的数学模型并验证了它的可控性；然后根据变论域自适应模糊控制理
论设计了关于四级倒立摆的控制器．最后展示了仿真结果．此外，还给出一缎、二圾
和三级倒立摆的硬件（即实物系统）实验结果．
关ｔ词四级倒立撂变论域自适应模糊控制
倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案．一
级倒立摆的背景源于火箭发射助推器；二级倒立摆与双足机器人控制有关；三级倒立摆应当说
由一、二级倒立摆演绎而来，背景相当复杂．一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教
学－１．２１；二级倒立摆控制的仿真或实物系统已见于某些
实验室中旧ｏ；三级倒立摆控制的仿真或实物系统实现
是世界公认的难题，不过１９９３年有人发表了三级倒立
摆控制的仿真实验结果－…，１９９５年叉有人公布了三级
倒立摆控制的实物实验结果－“．事实上，这些结果几乎
４
都使用了模糊控制或近似推理【６圳或某种拟人推
理＿９Ｊ，然而控制的稳定性并不十分理想．至于四级倒
立摆的控制问题，由于难度相当大且三级倒立摆控制
问题的解决尚不令人满意，故在世界范围内还是个空
白．本文采用变论域自适应模糊控制－”Ｊ实现了四级倒
立摆控制的仿真实验，不但具有良好的稳定性和鲁棒
性．还可使倒立摆小车行走到指定的位置（即定位功
能）．
１四级倒立摆的物理模型
Ｄ
【。厂气７
——ｚ—一
图１
导轨
１．１四级倒立摆的结构与记号
四级倒立摆主要由小车、摆１～４组成，它们之间自
由链接，将其置于坐标系后如图１所示．规定顺时针方
四级倒立摆简化结构
＋眢装冒亲昝犟鏊蛩罐篷笃：ｊ：§５器３６）、教育部畴世纪优秀人才培彝计划基金和教育部高等学校骨干教师基金资助
项目
万方数据
中
国科
学（Ｅ辑）第３２卷
向的转角和力矩均为正．此外，约定以下记号：”为外界作用力，ｘ为小车位移，０ｉ为摆ｉ与
竖直方向的夹角，０．，Ｇｉ分别为摆ｉ的链接点与质心的位置，ｍｏ为小车的质量，ｍ，为摆ｉ的
质量，＾为摆ｉ绕Ｇ。的转动惯量，‘为０。到摆ｉ质心Ｇ。的距离，￡。为摆ｉ的长度，，ｎ为小车
与导轨间滑动摩擦系数，＾为摆ｉ绕０。转动的摩擦阻力矩系数（ｉ＝１．２，３，４）．
１．２描述四级倒立摆的微分方程组
先分析摆４的受力情况（图２（ａ））．设ｎ和Ｆ４，分别为摆３对摆４支撑力的分力，矗（０。
一目３）为摆３对摆４的阻力矩，ｎ１，４９为摆４的重力．经分析可以得到以下各式：摆４的链接点
坐标和质心坐标表达式为
０４＝（０一。，０４ｙ）＝（ｘ＋∑ＬｉｓｉｎＯ：，∑ＬｉｃｏｓＯ‘），
（１）
（２）
Ｇ４＝（Ｇ４：，Ｇ４ｙ）＝（＊＋∑Ｌｉｓｉｎｏｆ＋／４ｓｉｎ０４，∑ＬｉｃｏｓＯ。＋／４ｃｏｓ０４）；
摆４的动力方程为
Ｆ４。＝ｍ４（Ｇ４；）”，■，一ｍ４９＝“４（Ｇ４，）”；
（３）
摆４绕０ａ点的力矩方程为
（，４＋ｍ４磕）口４＝ｍ４９１４ｓｉｎ０４一＾（０４一如）
一ｍ４（０４，）”ｆ４ｃｏｓ０４＋ｍ４（０４ｙｙｌ４ｓｉｎ０４．（４）
”（４）式中包含惯性力的两个分力ｎ。＝
ｍ（０４，ｙ和如＝ｍ，４（０４，）ｌｒ（相对于参考系
｛ａ）
（ｂ）
ｗ’０４Ｙ’而言，见图２（ｂ））．将（１）式代人（４）式，
可以得到描述摆４运动的微分方程
图２摆４受力图（ａ）和惯性力分析（ｂ）
ａ４：￡ｅＯＳ０４＋∑ａ４如ｏｓ（日４一或）吼＋ｂ４０４
＝ｄ４９ｓｉｎ０４一ｆ４（０４一如）一∑ａ４Ｌｆｓｉｎ（８４一日。）鳄，
（５）
其中已置
８０垒∑砷；嘶垒％ｚ。＋∑崎厶，
』…Ｉ
１≤ｉ≤４；
（６）
（７）
ｂｆ垒＾＋椰；＋∑ｍ正；，
１≤ｉ≤４．
然后，再来分析摆ｋ（１≤ｋ≤３）的受力情况（图３（ａ））．设凡＋ｌ，和ｎ＋１，为摆ｋ＋ｌ对摆Ｉ
的作用力分力，五＋１（以＋－一以）为摆ｋ＋１对摆ｋ的阻力矩，ｍ蟮为摆ｋ的重力，％和％为
摆ｋ一１（或小车，当ｋ＝１时）对摆ｔ支撑力的分力．＾（０Ｉ一０＾一１）为摆ｋ一１（或小车，当ｋ＝ｌ
时）对摆ｋ的阻力矩．约定００＝０．不难得到摆≈的链接点坐标及质心坐标表达式：
ＯＩ：（ｏｈ，ｏｈ）：（￥＋∑厶ｓｉｎｏｆ，∑Ｌｉｃｏｓ０‘），
（８）
（９）
ＧＩ：（％，％）：（＃＋∑Ｌｉｓｉｎｏｆ＋埘ｎ巩，∑Ｌ。ｃｏｓＳｉ＋／ｋｃｏｓ８ｋｊ；
万方数据
第１期李洪兴等：四级倒立摆的变论域自适应模糊控制
６７
摆ｋ的动力方程
凡～ｎｍ＝ｍ＾（Ｇｈ）”，％一凡＋１ｙ～ｍ皤＝ｍｔ（％）”；
摆％绕０＾点的力矩方程
（１０）
（＾＋ｍ以）巩＝ｍＥｇｌｔｓｉｎＯ＊一以（巩一钆一１）
＋＾＋ｌ（巩＋ｌ一钆）一ｎ＋ｌ。如ｃｏｓ０＾
＋Ｆｋ＋】ｒＬｔｓｉｎ０＾一ｍｔ（Ｏｕ）”“ｃｏｓｏｔ
＋“Ｉ（０ｈｙ／ｋｓｉｎｏｔ．
（１１）
（１１）式中包含惯性力的两个分力Ｆｋ－＝
ｍｔ（０ｂ）”和以２＝ｍ（０ｈ）”（图３（ｂ））．由（３）
和（１０）式可得
％＝∑ｍ
ｅ（龟ｙ，
悼‘
三
《８
（ａ）
几景莽Ｇ
Ｆ＾山’＿—石—７｜＼
－，，㈨
／１
（ｂ）
％＝苫ｍｇ＋墨鸭（岛ｙ７．
（１２）
图３摆＆受力图（。）及惯性力分析（ｂ）
将（８）和（１２）式代人（１１）式可以得到描述摆ｋ运动的微分方程
‰２ｃｏｓ０｝＋∑ａ１．Ｌ／ｃｏｓ（巩一Ｏｊ）Ｏｊ＋ｋ巩＋∑？山ｃ。ｓ（Ｏｋ—ｅ）岛
＝毗ｇｓｉｎｏｊ—Ａ（０ｋ～巩一１）＋＾＋１（巩＋１一以）
一∑口也ｓｉｎ（巩一０ｊ）０；＋∑吼ｓｉｎ（０一巩）吩
（１３）
最后分析小车受力情况（见图４，竖直方向的合力为ｏ，
略去）．设Ｆ－，为摆ｌ对小车作用力的水平分力，＾ｍ为导
轨对小车的阻力．因此，小车的动力方程为
ｕ一＾ｔ—Ｆｌ：＝，‰ｇ．（１４）
将（１２）式代人（１４）式可以得到描述小车运动的微分方程
圈４小车受力图
酬＋善ａ／ｃｏｓ叫ｆ－ｎ—ｆｏｔ＋善蛐怫（１５）
ＨＩ￡＝凰ｌ＋Ｈ３，（１６）
综台（５）、（１３）和（１５）式，可以得到描述四级倒立摆运动的微分方程组
其中，ｚ垒（＊。臼１，０２，口３，０４）’，Ｈ３垒（ｕ，ａｌｇｓｉｎ０１，ａ２９ｓ＇ｍ０２，ａ３９ｓｉｎ０３，８４９ｓｉｎ０４）’，
口ｏ（ｔＩｃｏｓｏｌ
。Ｉｃｏｓ口ｌ６Ｉ
ｔｔ２ｃｏｓ０２ａ３ｃｏｓ０３
ａ４ｃ０８以
０４Ｌ１ｃｏｓ（以一日１）ａ２Ｌｌｃｏｓ（０２—０１）
ｂ２
ａ３Ｌｌｃｏｓ（伊３—０１）
日Ｉ垒
ａ２ｃｏｓ０２
ａ３ｃｏｓ０３
ａ２ＬＩｃｏｓ（口２一吼）ａ３Ｌ２（３０８（如一日２）ａ４如ｃ０Ｂ（０４一口２）
ｂ３
ａ３Ｌ】ｃｏｓ（如一日１）ａ３Ｌ２ＣＯＳ（如一日２）ａ４Ｌ３ｃｏｓ（日４一如）
６４
ａ４ｃｏｓ０４。４Ｌｌｃｏｓ（０４一目１）５ｔ４岛ｃｏｓ（０４一日２）ａ４Ｌ３ｃ０Ｂ（吼一０３）
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中
国
科学（Ｅ辑）
第３２卷
ｒ—ｆｏ
０
口Ｉｅｌｓｉｎｏｊａ２０ｚｓｌｎ０２
ｄ２Ｌ１８２ｓｉｎ（如～口１）＋ｆ２
一，２一＾
ａ３０】ｓｌｎＯｊ
ｄ３Ｌ
Ｊ０３ｓｉｎ（如一吼）
ａ４０，ｓｌｎＯ，
ｆ１４Ｌｌｏ‘ｓｉｎ（乩一０１）
～＾一，２
一口２￡－０ｔｓｉｎ（０２一吼）＋＾
一唧￡１０ｓｉｎ（０］一０１）
—ａｊ．１０ｌ∞ｎ（ｅ４一日１）
日ｚ＆ｆ
Ｌ
０
０
ｏ
ａｆｌａ０３ｓｉｎ（０３一Ｏｚ）＋＾
一，】一＾
ａｊａ０，ｓｉｎ（乱一０２）
口．￡３扎ｓｉｎ（０‘一岛）＋＾
一＾
一口３Ｌ≯２ｓｉｎ（０３—０２】＋＾
一ｑ￡２０棚ｎ（ｅ４—０２）Ｌ】ｅｐｈ（日ｄ一０））十，‘
１．３四级倒立摆的线性化模型
为了判定四级倒立摆的可控性，有必要将上述模型线性化．在倒立摆的平衡位置ｚ＝ｔ＝０
附近，对（１６）式进行线性化，可以得到四级倒立摆运动的线性微分方程组
腑＝磁＋Ｇｚ＋ｈｏｕ，
其中，ｈｏ垒（１，０，０，０，０）７，
ａ０１７．１ｎ２Ⅱ３Ⅱ４
（１７）
８ｌ
６ｌ
。２Ｌ１
ａ３Ｌｌ
ａ２Ｌｌ
６２
ａ３Ｌ２
ａ３Ｌｌ
ａ４Ｌｌ
Ｍ尘
ｎ２
０３
０３Ｌ２
ｂ３
ａ４Ｌ３
。４如
ａ４Ｌ３
６４
ＯＯ
０
０
ａ４
—
ａｇＬｌ。４Ｌ２
０
，ｖ直
０
Ｏ
０
一
＾＾０
ｈ—ｈ
ｈ
０
ｆ３
。卜止。
Ｏ
ｒＯ
—ｈ一氛ｈ
ｊ４一氛
Ｇ垒Ｉ
１．４四级倒立摆的状态方程
记。ｌ垒ｚ，。２垒８１’。‘＋１垒Ｏｉ一日。一
ｑｇ
０２９
ｎ３９
口４９
２
‘
．４
△一
．￥
（
≤≤
＂
再记
ｙ
△一
＊
奶
ｒ
Ｙｌ垒（‰，…，。ｌｏ）’，ｚ垒（。Ｉ＇…，４５，“６．
≤ｘ
１
０
０
≤广
；
Ｌ规奶定
Ｏ
ｌ
ｌ
１
１
０
０
０
１
１
０
０
０
０
１
Ⅳ量Ｏ
Ｏ
０
于是便有
ｚ：脚，ｉ：哂，；：酊
将（ｉｓ）式代入（１７）式，可得
（１８）
Ｍ耐：Ⅳ商＋Ｇ阿＋ｈｏ“
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第１期
李洪兴等：四级倒立摆的变论域自适应模糊控制
６９
ＭＷＹｔ＝Ｎ盼１＋ＧＷｙｈｏｕ，
ｊｌ＝Ｗ一１Ｍ～ＮＦ／ｙＩ＋舻～１Ｍ’１Ｇ聊＋Ｗ一１Ｍ～ｈｏｕ．
这样便得到四级倒立摆线性化的状态方程
ｊ＝船＋Ｂｕ，
其中
（１９）
一垒【Ⅳ一，：：；ＧⅣ形一，‘：
这里０５为５阶零矩阵，，５为５阶单位阵，０５。
Ⅳ垒
日
垒
彤
０
ｍ山
‰坼
ｂ
一∞
０
２变论域自适应模糊控制器
变论域自适应模糊控制思想最早在文献［１１，１２］中提出，文献［１０］详细地研究了几种类
型的变论域自适应模糊控制器，为变论域自适应模糊控制的应用奠定了理论基础．变论域自
适应模糊控制器能很好地应付非线性控制系统．本节简述变论域自适应模糊控制器的基本结
构，详细的内容见文献［１０］．关于自适应、不确定性推理以及有关概念可见文献［６—９，１３］．
设Ｘ．＝ｌ—Ｅ，Ｅ］（ｉ＝１，２，…，ｎ）分别为Ａｉ输入变量糍（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ）的论域，ｒ＝［一ｕ，
ｕ］为输出变量Ｙ的论域；堋＝Ｉ
Ａ“｝（Ｉ；ｆ；。）为置上的模糊划分。“１（江１，２，…，ｎ），留＝
｛毋｝Ｉ；，；。为｝，上的模糊划分．视彳，劈为语言变量，可以形成模糊推理规则库Ｒ：
ＩｆⅨｌ
ｉｓ
Ａｌ
ａｎｄ
Ｘ２ｉｓ
Ａ２ｊ
ａｎｄ’“ａｎｄ靠ｉｓ
Ａｗ
ｔｈｅｎ
Ｙ
ｉｓ
８ｆ，，＝１，…，ｍ．（２０）
设ｘ０分别为Ａｉ的峰点【”“２·”１”１（ｉ，ｊ＝１，２，…，ｍ），ＹＪ分别为Ｂｉ的峰点．根据文献［１４］的结
果，基于（２０）式的模糊逻辑系统（即模糊控制器）表现为一个ｎ元分片插值函数
ｙ（＊１，ｘ２，…焉）＝Ｆ（ｘｌ，＃２，…＾）垒∑ⅡＡ“（≈）ｙｊ．
（２１）
所谓变论域是指论域置与ｙ可以分别随着变
量轧与Ｙ的变化而自行调整，记之为
置（批）＝［一ｑ（越）Ｅｆ，口‘（趣）Ｅｆ］，（２２）
Ｙ（Ｙ）＝［一ｂ（ｙ）Ｕ，ｂ（Ｙ）Ｕ］，
（２３）
其中嘶（≈）（江１，２，…，ｎ）与口（Ｙ）叫做论域
的伸缩因子－ｌ…．相对于变论域。原来的论域
置与ｙ便叫做初始论域．论域的变化情况见
图５．
｜耋ｌ
邀
嫩
【ｃｊ
建
一般地讲，一个函数口：ｘ一［ｏ，１］，ｗ
子。如果满足下述公理：
ｒ＋
ａ（＃）叫做论域Ｘ＝［一Ｅ，Ｅ］的一个伸缩因
（ｉ）对偶性：（Ｖｇ∈Ｘ）（ｎ（ｚ）＝
口（一ｘ））；
（ｎ）避零性：ａ（０）＝￡，￡为一充分小的
图５论域变化情况
（ａ）初始论域；（ｂ）、（ｃ）论域压缩与膨胀
万方数据
中
国
科
学
（Ｅ辑）第３２卷
正数；
（ｉｊｉ）单调性：口在［０，Ｅ］上严格单调增；
（１ｖ）协调性：（Ｖ
ｚ∈ｘ）（Ｉ
ｚＩ≤口（＊）Ｅ）；
从上述协调性不难推出伸缩因子还满足下面的性质：
（Ｖ）正规性：口（±Ｅ）＝１．
我们建议下面两个实用的伸缩因子：
口（Ｘ）＝（１
Ｘ
ｌ／Ｅ）７，ｒ＞０；（２４）
（２５）
口（＊）＝１一＾ｅｘｐ（一ｈ２），Ａ∈（０，１），ｋ＞０．
值函数：
根据文献［１０］的结论，基于（２０）式的变论域自适应模糊控制器表示为如下的ｎ元分片动态插
小¨１））州小㈤））善垂Ａｏ（淼ｋ
出㈨，垒善ｉ鼽ｉ
ｍ、Ⅱ、ｏｎ‘，，，
（㈤
式中ｘ（ｔ）垒（＊１（￡），Ｔ２（ｔ），…，ｘ。（ｔ））’．
注１为了简洁起见，置
ｉ（淼ｉ—
ｃ”，
进而，注意到输人论域Ｙ＝［一ｕ，Ｕ］＝Ｕ［一１，１］，如果把模糊集Ｂ定义在对称区间［一１，１］
（从而｝ｙｆ｝ｃ［一１，１］），那么（２７）式可写为更便于设计的形式
山㈤，垒ｕ薯垂Ａｇ（淼ｋ
口ｆ（ｅｉ（ｔ））＝１—０．９９ｅｘｐ（一Ⅱ声；（ｔ）），
ｃ鸽，
其中ｕ亦可视为一个设计参数；它的大小决定了施加控制量的范围．
设Ｘ＝（４１．。２，…，ｚ。）７垒（＊，；，…，ｘ（“一１’）’为系统的状态变量，ｒ（ｔ）为参考输入．置
ｅ（￡）＝ｒ（￡）一ｙ（ｔ），记ｅ＝（ｅ１，８２，…，Ｐ。）７垒（ｅ，；，…，ｅ（“一１’）’．目的是采用变论域自适应模
糊控制器使被控对象的输出ｖ（ｔ）能渐近地跟踪参考输人ｒ（ｔ），即ｌｉｒａ【｜ｅ（ｆ）０＝ｏ．显然控
制器（２６）式的白适应律反映在伸缩因子毗（ｅｉ（ｔ））（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ）及１９（ｔ）；然而诸ｑ（吼（ｔ））
已有固定的调节规律如（２４）或（２５）式，比如取
（２９）
式中嘶＞０为设计参数，因此，口（ｆ）便成为控制器与系统进行信息交换的主要“接口”，恰当
地选择．９（ｔ）可达到优化自适应律的目的．
从控制目标ｌｉｒａ｜｜＃（ｔ）１＝ｏ出发诱使我们要考虑口（￡）与ｅ（ｔ）之间的联系，一个自然的
原则是卢（ｔ）的变化率声（￡）应当与ｅ（￡）成正比，由于ｅ（ｔ）是个向量，故可找一个常数向量
一＝（Ｐｌ，Ｐ２，…．ｎ）’作用于ｅ（ｔ），使其变为标量ｅ＋（ｔ）垒ｅ１（￡）Ｒ，从而ｐ（ｔ）与Ｐ（￡）的关系
表示为
口（ｔ）＝局ｅ‘（ｔ）＝印１（＃）只＝瞄∑Ｐｌ吼（ｔ），
式中目为比例常数，可视其为设计参数．然后对口（ｔ）在［０，ｆ］上积分便有
（３０）
万方数据
第１期李洪兴等：四级倒立摆的变论域自适应模糊控制
７ｌ
卢（￡）＝Ｋ，Ｊ。ｅ。（ｒ）ｄｒ＋ｐ（ｏ）＝硒Ｊ。ｅＴ（ｆ）Ｐ。ｄｒ＋卢（ｏ）
＝目∑儿ｈ（ｒ）ｄｒ＋卢（ｏ），
形如（２６）式的控制器（这里记为Ⅱ。（ｔ））可设计为下列具体形式：
（３１）
式中初值１９（ｏ）作为一个设计参数，要根据实际情况来确定，通常可试取ｐ（ｏ）＝１．这样一来，
“叭（ｍ７㈩聃州。，）ｕ善鼽（淼ｋ
ｃ弛，
３四级倒立摆控制方案
３．１变论域自适应模糊控制器的设计
对于四级倒立摆系统，控制目标是通过对小车施加作用力ｕ，使摆１．４的转角０，～日。趋
于０，与此同时，小车要移动到指定位置¨处．在仿真实验中，四级倒立摆系统中诸参数分别
取为ｍ＝１．３２８２，ｍ１＿ｍ２＝ｍ３＝０．２２００，ｍ４＝０．１８７０（单位：ｋｇ），ｇ＝９．８（单位：ｍ／ｓ２），＾＝＾
＝＾＝０．００４９６３，Ｊ４＝０．００４８２４（单位：ｋｇ·ｍ２），ｚｌ－２２＝ｂ＝０．３０４，ｆ４＝０．２２６，Ｌｌ＝Ｌ２＝如＝
０．４９（单位：ｍ），Ｔｏ＝２２．９１４７（单位：Ｎ·ｓ／ｍ），，１＝０．００７０５６，，２＝ｆ３＝＾＝０．００２６４６（单位：
Ｎ·ｓ·ｍ）．系统的状态变量为
ｘ＝（。ｌ，“２，－“，２１０）１
＝（＊一。ｄ，日ｌ，０２—０１，０３—０２，日４一日３。；，口１，ｄ２一自１，自３一口２，０４一ａ３）
将前面所给的参数取值代人（１９）式，得到
Ｘ＝ＡＸ＋Ｂｕ．
（３３）
其中Ｂ＝（０，０，Ｏ，０，０，０．７２７７１，一１．７９０７２，２．１５８９３，一０．４４２４，０．０９０９４）７
０
０
—５．７１２７
３８．１７２７
Ｏ．８５２６
—７８．８８８１
１９５．９２９ｌ
—１４０．６４３２
２８．９０７４
一Ｏ．１０８３８
１０．０２７２２
—６９．２７８６５
１４１．５６１１
—１００．８４１４
０．００６９２
—０．６４０３６
４．４２４３
—２２．３０８８２
６９．４７３５
一＝∞》挑
—１６．６７５４
４１．０３３８
０—４６．０２１８
０
０
９．４３１４
—１．９３８５
０．０１２６３５
—０．２２５２８
—０．∞５７１３
Ｏ．１７４６２
—０．４４３５
０．３９４４３
—０．１５３８１
０．∞１１７
一Ｏ．１０８３ｌ
０．３９４４３
—０．５６５２４
—０．０００２４１
０．０二狮１８
—０．１５３８１
０．４２１６５５
—０．７３３９５
Ａ２垒
—４９．４７１２
１０．１３８２５
２．０８３７８
０．４６５６５
—０．２８８８３
Ｏ．嘞６５
Ｏ．４２１舒５
由可控性判据容易验证，（３３）式对应的状态方程为完全可控的．
考虑到被控对象是～个多变量系统。为了方便，将１０个状态变量进行降维处理．例如将
其转换为综合误差和综合误差变化率，记之为Ｅ和ＥＣ，则
万方数据
』一
！里翌兰！！塑！
苎兰童
Ｘ１
Ｘ２
Ｅ垒（ｋｌ，ｋ２，ｋ３，ｈ，ｋ５）
，ＥＣ垒（≈６，ｋ７，ｋ８，ｋ９，ｋＩｏ）
Ｘ３
Ｘ＾
（３珥）
ｚ５
其中ｋ∥一，＾ｌｏ视为综合系数．
以下利用线性二次型最优控制理论来为状态方程（３３）设计一个状态反馈矩阵．为此给定
最优控制泛函指标
１ｒ‘
，＝÷Ｉ．（ｚ１（￡）啦＋ｕ’（ｆ）Ｒｕ（ｆ））ｄｔ．
‘ｏ
半正定矩阵Ｑ＝ｄｉａｇ（１０，１００，２００，３００，４００，０，０，０，０，０），对称正定矩阵Ｒ：１（这里该矩阵蜕化
为常数）；求解如下的Ｒｉｃｅａｔｉ方程
一ＰＡ—Ａ’Ｐ＋Ｐ鼢一１Ｂ’Ｐ一０：０，
可以得到状态反馈矩阵
丘’：只一１Ｂｒｐ
＝（３．１６，３３９．９１，１１６６．４６，一４０５７．２６６，６１２６．１６９，４．６２０８，２５７．４１ｌ，２３１．４１６，９１．０３８，７５４．５４），
于是取综合系数为
（ｋｌ，％２，…，ｋｌｏ）＝Ｋ’／｜｜芷｜｜２，
其中｜｜Ｋ忆＝７４９４．３３．
取综合误差Ｅ和综合误差变化率即的初始论域分别为Ｘ＝［一１，１］，ｒ＝［一１，１］，输出
论域为ｚ＝［一ｌ，１］．基于综合误差Ｅ和综合误差变化率们的模糊控制规则见表１
表１
基于综合误差Ｅ和综台误差变化率髓的模糊控制规则表
Ｂ２
Ｂ３
Ｂ４
—０８３３３
—０．６３３３
—０５
—０
—０
５—０．３３３３
—０．１６６７
０
０
０
１６６７
３３３３
—０．１６６７
０
０．１６６７
０．３３３３
０５
０
０１６６７
０．３３３３
０５
０．６３３３
０１６６７
—０６３３３
３３３３
０．３３３３
０
５
０．６３３３
０．８３３３
—０
５—０．３３３３—０．１６６７
毋
蚝
一０．３３３３
一０．１６６７
—０．１簖０
００１６６７
鱼
Ｑ！：！！盟殳：：翌！！：ｉ！：箜翌！：！！ｉｉ
！：！ｊ翌
表１内的值是输出论域上模糊集（共有１１个）的峰点．Ａ１，Ａ２，…，Ａ７是论域工＝［一１，１］
上的模糊集，依次表示“负大、负中、负小、零、正小、正中、正大”等语言值．Ｂｌ，Ｂ２，…，Ｂ７是论
域Ｙ＝［一ｌ，１］上的模糊集，它们所表示的语言值和前面相同．这里模糊集取为“三角型”隶属
函数，并且两论域上均作等距划分．
采用变论域自适应模糊控制器来控制四级倒立摆，该控制器的输出为ｕ。（￡），即
ｕ。（￡）垒卢（‘）ｍ（Ｅ，ＥＣ），
其中
万方数据
第１期
李洪兴等：四级倒立摆的变论域自适应模糊控制
７３
ｊ＝】ｌ：、ｕ、Ｌ，，…ｏ，，
。（Ｅ．ＥＣ，＝ｕ耋驯１志１
Ｈ嵩２
ｈ
这里取Ｕ＝ＪＪ
Ｋ
２＝７４９４．３３，。Ｉ，。２分别是误差论域和误差变化率论域上的伸缩因子，而ｐ
是输出论域上的伸缩因子．ｎ】，ａ２可以取已有的调节规律，比如取
ｎ】（Ｅ）：１—０．６ｅｘｐ（一１０Ｅ２），。２（ＥＣ）＝ｌ一０．５ｅｘｐ（一１０ＥＣ２），
而卢按加权积分原理（或积分调节原理）来设计，即
１８（ｆ）＝—ｂ
Ｊ纠（￡，昱ｃ）Ｐ。（ｒ）ｄｒ＋ｙ（ｏ），
其中ｅ＋（ｒ）＝（Ｅ，即）一，Ｐｎ＝（Ｐ１，Ｐ２）１是一个常数向量，在仿真实验中取ｐ（０）＝１，ｑ＝
５～１００，Ｒ＝（５，５）’．
３．２四级倒立摆控制仿真实现
使用上面设计的变论域自适应模糊控制器，我们成功地实现了四级倒立摆控制仿真实
验，结果表明采用变论域自适应模糊控制器对四级倒立摆运动进行控制，不但具有良好的稳定
性和鲁棒性，还可使倒立摆小车行走到指定的位置（即定位功能）．不难理解，在倒立摆控制系
统中，小车位移及诸摆与竖直方向的夹角的初始值对倒立摆稳定情况影响很大，其中倒立摆稳
定性对夹角的初始值尤为敏感．四级倒立摆的偏角变量０，～０。的初始值关于偏离方向有以
下１６种情况：１）０Ｉ≥０，０２≥０，０３≥０，０４≥Ｏ；２）０１≥０，０２≥Ｏ，０３＞１０，０４＜０；３）０ｌＩ＞０，０２≥
０，０３＜０，０４≥０；…；１６）０Ｉ＜０，０２＜０，０３＜０，０４＜０；其中，情况６）０１≥０，０２＜０，０３≥０，０４
＜０和情况“）目ｌ＜Ｏ，０２≥０，以＜０，目４Ｉ＞０最难控制．因情况６）与１１）是对称的，故仅就情况
６）进行仿真．例如取ｚ（０）＝２，０ｌ（０）＝７ｒ／１８０，０２（０）＝一Ⅱ／２７０，０３（０）＝“／２７０，０４（０）＝
一ｒ，Ｊ１８０，并要求小车行走到指定位置粕＝０．仿真结果见图６～９（仿真时间：】９
ｓ）．
４结论
本文采用变论域自适应模糊控制器实现了四
级倒立摆控制的仿真实验，它不但具有良好的稳
定性和鲁棒性，还可使倒立摆小车行走到指定的４
位置（即定位功能）．变论域自适应模糊控制是我
们１９９５年提出的控制理论ｕ“，较详细的前期成
果见文献［１０，１２，１４，１５］．变论域自适应模糊控
制囊括了通常所说的模型自适应、规则自组织与
白调整、隶属函数自生成等优点，极大地提高了控
制品质，它的精度很高，无振荡，几乎无超调；特别
地，其调整时间仅为常规模糊控制或经典控制的１／５００～１／２００”．变论域自适应模糊控制器
是处理非线性系统的有效工具之一．多级倒立摆为多变量的非线性系统，它的运动控制十分
困难．本文的结果表明，采用变论域自适应模糊控制器来控制多级倒立摆是非常有效的方案．
１）辛洪辨，苗志宏，王加银．非线性系统的变论域自适应摸糊控制中国科学，Ｅ辑（待发表）
图６位移ｘ的仿真曲线
万方数据
一０５
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万方数据
四级倒立摆的变论域自适应模糊控制
作者：
作者单位：
刊名：
英文刊名：
年，卷(期)：
被引用次数：
李洪兴， 苗志宏， 王加银
李洪兴(北京师范大学数学系,北京,100875；四川师范大学数学系,成都,610066；清华大学
自动化系,北京,100084)， 苗志宏,王加银(北京师范大学数学系,北京,100875)
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