高中数学常用逻辑用语知识点

2023年12月14日发(作者：高三联考湖南数学试卷答案)

高中数学常用逻辑用语知识点

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫

做命题.

(1)

命题由题设和结论两部分构成.命题通常用小写英文字母表示，如

P.

q, r, m, n

等.

(2)

命题有真假之分，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.

数学中的定义、公理、定理等都是真命题

(3)

命题FT广的真假判定方式：

(D若要判断命题广是一个真命题，需要严格的逻辑推理；有时在 推导时加上语气词“一定”能帮助判断。如：P-定推出J

② 若要判断命题\"Tq”是一个假命题，只需要找到一个反例即可.

注意：“P不一定等于3”不能判定真假，它不是命题.

2.

逻辑联结词：

“或”且”非”这些词叫做逻辑联结词.

(1)

不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成 的命题叫复合命题•

(2)

复合命题的构成形式：

①P或q；②P且q；③非P

(即命题P的否定)・

(3)

复合命题的真假判断(利用真值表)：

P

q 非P P且？

真

真

假

真

假

真

假

假

真

真

真

真

真

假

假

假

假 真 假 假

① 当p、q同时为假时，k或q”为假，其它情况时为真，可简称为J 真必真”；

② 当p、q同时为真时，L且Cr为真，其它情况时为假，可简称为U- 假必假”

O

③ “非P与P的真假相反.

注意：

W(D逻辑连结词“或”的理解是难点，“或”有三层含义，以L或q”

为例：一是P成立

且q不成立，二是P不成立但q成立，三是P成立且q也成立。可以

类比于集合中叭\"或\"・

(2)

“或”、“且”联结的命题的否定形式：

UP或q”的否定是F且7” ；

P且q的否定是IP或詔\'・

UM(3)

对命题的否定只是否定命题的结论；否命题，既否定题设，又否定 结论。

知识点二:

种命题

1.

种命题的形式:

用P和q分别表示原命题的条件和结论，用¥和7分别表示P和q的否 定，则四种命题的形式为：

原命题：若P则q；逆命题：若q则P；

否命题：若「P则7；逆否命题：若7则∙Ψ∙

2.

种命题的关系

逆命惡

逆否命題 若-

测① 原命题Q逆否命题•它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途径 之—.

② 逆命题=否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是 命题转化的另一依据和途径•

除①、②之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系.

命题与集合之间可以建立对应关系，在这样的对应下，逻辑联结词和集合 的运算具有一致性，命题的“且\"「或”「非”恰好分别对应集合的“交”、 “并”「\'补因此，我们就可以从集合的角度进一步认识有关这些逻辑 联结词的规定。

知识点三：充分条件与必要条件

1.

定义：

对于“若P则q”形式的命题：

从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条

件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件与结论y之间的 关系.

① 若PF,则P是q的充分条件，q是P的必要条件；

② 若p=≈q,但qRp,则P是q的充分不必要条件，q是P的必要不充

分条件；

③ 若且卩4/,贝Ib是“成立的必要不充分条件；

④ 若既有P=＞q,又有qf

记作poq,则P是q的充分必要条件（充 要条件）•

⑤ 若讦＞（/且汗贝I]\"是（/成立的既不充分也不必要条件.

从集合的观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要 条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断八“相应的集合关系. 建立与八g相应的集合,即“

M = {jr∣p何成立},

M={Mg（x）成立}・ 若化〃，则P是?的充分条件,若月动,则\"是g成立的充分不必要条件; 若S 则P是\'的必要条件,若〃刘，则\"是＜/成立的必要不充分条件; 若仁叭则”是（/成立的充要条件；

若A述且B\",贝Ib是9成立的既不充分也不必要条件.

2.

理解认知：

（1）

在判断充分条件与必要条件时，首先要分清哪是条件，哪是结论；

然后用条件推结论，

再用结论推条件，最后进行判断.

（2）

充要条件即等价条件，也是完成命题转化的理论依据•“当且仅当”. “有且仅有”・

“必须且只须” •“等价于” 反过来也成立”等均为充要条件的同

义词语.

3.

判断命题充要条件的三种方法

（1）

定义法：

（2）

等价法：由于原命题与它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价，

因此，如果原

命题与逆命题真假不好判断时，还可以转化为逆否命题与否命题来 判断.即利用 与Mh心与虫\"与∙∕oM的等价关系，对于 条件或结论是不等关系(或否定式)的命题，一般运用等价法.

(3)利用集合间的包含关系判断，比如ACB可判断为A=B； A=B可判

断为A=B,且

B.A,即

AuB.

如图：

F\" O “心=心,且0疋4是让£的充分不必要条 件.

S詡” O 是的充分必要条件.

知识点四：全称■词与存在•词

1.

全称■词与存在■词

全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词。表示形式为“所有”、

“任意”、\'\'每一个”等，通常用符号表示，读作“对任意”

O含 有全称量词的命题,叫做全称命题。全称命题“对M中任意一个X,有P(X)

成立”可表示为,其中M为给定的集合，P(X)是关于X的命 题.

(II)存在量词及表示：表示部分的量称为存在量词。表示形式为“有一

个”,“存在一个”，

“至少有一个”

I “有点”，“有些”等，通常用符号“屮表示，读

作“存在”

O含有

存在量词的命题，叫做特称命题 特称命题“存在M中的一个X,使

P(X)成立”可表示

7

为GeM•比J其中M为给定的集合，P(X)是关于X的命题.

2.

对含有一个量词的命题进行否定

(I)

对含有一个量词的全称命题的否定

全称命题P： ZPa),他的否定叫 环S 全称命题的否定是特称 命题。

(H)

对含有一个量词的特称命题的否定

特称命题P：环5,他的否定卡：Tr(R特称命题的否定是全称 命题。

注意：

(I)

命题的否定与命题的否命题是不同的•命题的否定只对命题的结论进

行否定(否定一次)，而命题的否命题则需要对命题的条件和结论同时进 行否定(否定二次)。

(2)

一些常见的词的否定：

正面

等于 大于 小于

词

是

都是 一定是

至少一

至多一

个

个

否定

不等

不大 不小

不 不都

一定不

—个也

至少两

词

于

于 于

是 是

B

没有

个

规律方法指导

1.

解答命题及其真假判断问题时，首先要理解命题及相关概念，特别是 互为逆否命题的真

假性一致.8

2.

要注意区分命题的否定与否命题.

3.

要注意逻辑联结词“或八\'且” “非”与集合中的“并” “交fb是相关的，将二

者相互对照可加深认识和理解.

n

Mn

4.

处理充要条件问题时，首先必须分清条件和结论。对于充要条件的证

明，必须证明充分

性，又要证明必要性；判断充要条件一般有三种方法：用集合的观点、

用定义和利用命

题的等价性；求充要条件的思路是：先求必要条件，再证明这个必要 条件是充分条件.

5.

特别重视数形结合思想与分类讨论思想的运用。

总结升华：

1.

判断复合命题的真假的步骤：

① 确定复合命题的构成形式；

② 判断其中简单命题P和q的真假；

③ 根据规定（或真假表）判断复合命题的真假•

2.

条件\"或\"严是“或”的关系，否定时要注意.

类型二:

种命题及其关系

例题2.写岀命题\"已知皿是实数，若ab=O,则a=0或b=0\"的逆命 题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

解析：逆命题:已知\"是实数,若a二0或b二0,则ab=O,真命题；

否命题：已知“力是实数，若ab≠O,则a≠0且b≠0,真命题； 逆否命题：已知必是实数，若a≠0且b≠0,则ab≠O,真命题。 总结升华：

1・“已知\"是实数”为命题的大前提，写命题时不应该忽略;

2.互为逆否命题的两个命题同真假；

3

•注意区分命题的否定和否命题.

类型三：全称命题与特称命题真假的判断凶

总结升华：

1.

要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中每一个元素S 验证巾）成立；

要判断全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个“％使卩（“不 成立可；

2.

要判断一个特称命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找 到一个使

Pg成立，则这个特称命题就是真命题，否则就是假命题.

类型四：充要条件的判断

总结升华:

1.

处理充分、必要条件问题时，首先要分清条件与结论；

2.

正确使用判定充要条件的三种方法，要重视等价关系转换，特别 是¥与吨关系.

类型五：求参数的取值范围

总结升华：由P或q为真，知p、q必有其一为真，由P且q为假，知

p、q必有一个为假，所以「P假且q真”或F真且q假\"•可先求岀命 题P及命题q为真的条件，再分类讨论.

总结升华：从认知已知条件切入，将四种命题或充要条件问题向集合问 题转化，是解决这类问题的基本策略。

10

类型六：证明

总结升华：

1.利用反证法证明时，首先正确地作出反设（否定结论）•从这个假设出

发，经过推理论证，

得出矛盾，从而假设不正确，原命题成立，反证法一般适宜结论本身 以否定形式岀现，

或以“至多・・・”「至少・•・”形式出现，或关于唯一性、存在性问题，

或者结论的反面是

比原命题更具体更容易研究的命题•

2.

反证法时对结论进行的否定要正确，注意区别命题的否定与否命题. 总结升华：

1.

对于充要条件的证明，既要证明充分性，又要证明必要性，所以必须 分清条件是什

么，结论是什么。

2.

充分性：由条件Pn结论4；必要性：由结论心条件P.

3.

叙述方式的变化（比如P是9的充分不必要条件”等价于F的充分不必

要要条件是严）•

三、典型例题选讲

例1写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

（D已知“，A, C为实数，若\",则»+“0有两个不相等的实数根;

（2）

两条平行线不相交；

（3）

若r+∕=0, RlJXf y全为*・

分析^写出一个命题的四种命题形式，关键是分清命题的条件与结11

2 论，把命题写成“如果・・・那么・J的形式，再根据四种命题的定义写出其 他三种命题即可.

解：（1）原命题是真命题；

逆命题：若d+go有两个不相等的实数根,则Z （假）；

否命题：若αe≥O,则*+“0没有两个不相等的实数根,（假）； 逆否命题:若卅\"0没有两个不相等的实数根,‰≥O, （M）.

（2）

原命题形式可写成：若两条直线平行，则它们不相交，（真）；

逆命题：若两条直线不相交，则它们平行，（假）；

否命题：若两条直线不平行，则它们相交，（假）； 逆否命题：若两条直线相交，则它们不平行，（真）・

（3）

原命题是真命题；

逆命题：若y全为零，则r÷r=O, （M）；

否命题:若r+∕≠O,则X,，不全为零，（M）；

逆否命题：若“

y不全为零,贝⅛χ+y≠0, （M）.

归纳小结：⑴本题考查了命题的四种形式，并能进行真假判断，强 化对知识运用的灵活性.

⑵要注意四种命题之间的等价关系，即原命题与逆否命题等价，否 命题与逆命题等价•在判断一个命题是真命题时，要严格按照数学逻辑进 行推理证明，而要说明它是假命题时，只需要举出一个反例即可.

222（3）在否定条件或结论时，要注意否定词语的使用.常见否定词语有:

正面

词语

否定

不等于

词语

等于

大于 小于

S

都是 至多有一个

不大于 不小于 不是 不都是

至少有两个

正面词语至少有一个任意的 所有的正面词语 至少有一个 任意的

所有的

一定

定

12

否定词语 一个也没有

某个 某些

一定不

例2说明下列命题形式，指出构成它们的简单命题：

⑴矩形的对角线垂直平分；

⑵不等式r-r-2>O的解集是XIT>2或X<-I｝；

2(3)423；

⑷方程X2-2X+3≡0没有实数根.

分析：根据命题中出现的逻辑联结词或隐含的逻辑联结词，进行命 题结构的判断，其中解题的关键是正确理解逻辑联结词“且■或”「非” 的含义.

解：⑴这个命题是%Λ√,的形式，其中卩：矩形的对角线互相垂直,

g:矩形的对角线互相平分.

⑵这个命题是“以/的形式,其中P ：不等式T x-2>0的解集是jrx>2), <7：不等式r-x-2>O的解集是或｛x∣x<-i｝・

⑶这个命题是“pv/的形式，其中卩：4>八g： 4=3.

⑷这个命题是L昇的形式，其中卩：方程八\"+3“有实数根.

归纳小结：⑴本题考查了含有逻辑联结词的命题结构，要求能正确 理解逻辑联结词，并找岀隐含的逻辑联结词，能根据命题形式分析问题、 解决问题.

⑵把简单命题合成为复合命题或把复合命题分解为两个简单命题并 判断其真假是本节的重点之一，关键在于理解逻辑联结词的含义.熟悉真 值表可以加快对含有逻辑联结词的命题的真假判断.

⑶逻辑联结词中的“或”「且”、“非”与日常用语中的“或”严且S

“非”的意义是不完全相同的.如逻辑词中的“或”含有可以兼有之意,

13

2 而生活中的\"或” 一般不可兼有的意思.

例3 (2008 Γ东)已知命题所有有理数都是实数，命题“：正数 的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()

A. (rp)vg B.

PAq C. (-∏p)Λ(-^) D. (-∕>)v(-ι<∕)

分析：本题只需要判断岀命题P和命题\"的真假，根据真值表进行判断即 可.

解：由题意可以判断命题f是真命题，命题9是假命题，所以命题F是

假命题，命题F是真命题.只有EMM)是真命题，故选D.

归纳小结：(D本题考查了命题的真假判断和真值表的使用，考查 了逻辑判断的思辩能力和推理能力；

(2)命题PM的真假判断是“一真就真，全假为假”；命题P“的真 假判断是“一假就假，全真为真”；命题〃与卡的真假相反.

例4

-a = →2kτr(keZ)-是.2σ=J

的()

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

分析：简易逻辑中充要条件的判断前提是先明确条件与结论，即弄 清楚哪个是条件，哪个是结论，再根据条件分析出推式的关系，从而利用 定义和推式得到结论.

解：当α

二彳+

2屁伙

WZ)时，COSIa = COS

4AΛ∙÷-

亍石，即

π 1

=COS

P邛.反之,当cos2α=i时,有2g2Y+fng刼+f(RwZ),

或

2α =

2kπ—-

= ^~(A∈Z)j

即

g≠>p.

=>α

综上所述，→2w6 Z)M是怙切J的充分不必要条件, 故选A.

例5 （2008福建）设集合侶⅛±<0，β = {x∣0<Λ<3}t那么

是

UmeB\'1 的（）

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

分析：本题条件与结论的形式都是集合形式，只要理清集合之间的 关系，按照充要条件与集合的对应关系即可作岀判断.

解：*∙* √l = {x∣0

・\'∙ A^B・

故选A.

归纳小结：（D本题考查了充要条件的定义，这是高考试题题型的 常见形式之一，可与其他考查内容综合.同时还考查了数学转化思想、合 情推理能力.

（2）充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分 也不必要条件反映了条件P和结论“之间的因果关系，在结合具体问题进 行判断时，要注意以下几点：①确定问题的条件和结论；②尝试从条件推 结论，结论推条件；③确定条件是结论的什么条件.也可以从命题体现的 集合运算关系，判断岀命题间的条件.

在从条件推结论，结论推条件时，可以利用学过的定理、定义和公式 直接做逻辑判断，或利用数轴或Venn图分析两个集合的关系判断出 和的真假.

例6 （2007湖北）已知“是「的充分条件而不是必要条件，g是『的充

分条件，•$是「的必要条件，g是、的必要条件.现有下列命题：①、是9的

充要条件；②〃是\"的充分条件而不是必要条件；③,是g的必要条件而不 是充分条件；④屮是\"，的必要条件而不是充分条件；⑤F是•,的充分条件而 不15

是必要条件，则正确命题序号是()

A.①④⑤ B.①②④ C.②③⑤ D.②©⑤

分析：本题命题及其关系较多，如果直接解决则比较麻烦，可以用 符号‰∖

o等符号表示，简化题意，解决方便.

,uυ解：由题意可知:P=>r

1 fir≠>p

I

qnrneq・

所以∙9J①正确

；PnrQq、且样>P,②正确；roq、 ③不正确；

∕>=>ΓO5,

且s≠>p ,④正确；ros ,⑤不正确.

故选B.

归纳小结：(D本题考查了充分条件、必要条件、充要条件的概念 及命题之间关系的转化，逆否命题的等价性，考查了逻辑思辩能力和转化 思想.

(2)在命题之间的充分条件、必要条件、充要条件的推导过程中， 使用符号语言可以简化过程，降低思维量.

例

7

已知命题p： Il-^l≤2,命题g： r-2x + l-w∕ ≤0(m>0),若~是~ 的充分不必要条件，求实数〃的取值范围.

分析：「\"是的充分不必要条件转化为等价命题形式：

解：记仁H卜¥|s2卜U -2≤x≤10∣

J

B = {ψ-2x+l-∕w≤0(∕w>0))

={A∣1-∕W≤X≤1

+

22∕W(∕W>0)∣

・・・「\"是的充分不必要条件，

16

・・・g是“的充分不必要条件，即〃刃.

w>0

・・・∣F>∙2,解得0<加<3.

1÷77Z<1O

Ul

是05<3・

所以实数加的取值范

Ea归纳小结：（1）本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为 考負对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，考查 了转化思想的运用，强调了知识点运用的灵活性・

（2）对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难

点，在判断或利用两个命题的充要条件时，可以利用它们的等价式，即将 命题转化为另一个等价形式的命题，一般可以利用逆否命题的等价形式:

①

若「

Pnrq9 即gnp,

则卩是9的必要条件，g是“的充分条件；

②

若FPnFq9且~~*q≠>~~p ,即gnp,且p≠>g,则P是g的必要不充

分条件；

t③

若*

7=>p 1且r p≠>\'<? J即P=>g,且qH>p,则P是g的充分--1-不必 要条件；

④

若「

Pofq、贝即八q互为充要条件；

⑤

若— f≠>\'v ,且—

t{≠>~~ p

I即样 >八且pH>g,则\"是?的既不11-l充 分也不必要条件.

例8有四个关于三角函数的命题:

X 2%1

一+

2二一

sincos\'-

2 2 2

P2:

3x ¼ >•€/? Sin(X-J)=SinX-SinV

9r∕1-COS2Λ

π

=SlnJrPyi 匕€[0,刃，γ -

〃 .SInX = COSy =>X+y二一

其中是假命题的有（）

A∙ p4 B∙

P：、 p4

C∙ Al A

°・ PH

PA

17

分析：若全称命题为真命题，必须对限定范围内的元素中的全体都 成立;若特称命题是真命题,只需在限定范围中有一个元素满足条件即可.

解：Pl是假命题，因为∀x∈Λ sin→cos ^=I ；

2l几是真命题，如

X = J = 0时成立；

\"是真命题

J

∙.∙∀X∈[O,Λ∙]1 sinX≥ 0. .*. θ^ _

csxλ∕sin2x = ISin .v∣ = SinX ；

/>提假命题，如R时，sinΛ

= cosy,但v+y≠y.

故选A.

归纳小结：（1）本题考查了全称命题与特称命题的真假判断，同时 也考查了对概念的转化能力和推理能力.

（2）

一般地说，全称命题与特称命题的真假判断方法是：

① 判定一个全称命题是真命题时,必须对限定的集合M中的每一个元

素厂验证Pa）成立即可；

② 判定一个全称命题是假命题时,只要能列举出集合M中的一个元素

⅞,使p（岭）不成立即可;

③ 判定一个特称命题是真命题时，只要在限定的集合M中，至少能找

到一个元素“使〃⑷成立即可，否则，这个特称命题就是假命题.

例9已知命题川Vx∈Λ,sinx≤l,贝ι]（ ）

A. -np:3xeΛ,sinx≥ 1

C.「“：IVG ∕ζsinx> 1

B. ->p:Vx∈Λsinx> 1

D. ->p:

VΛ∈ Λ,sinj> 1

分析：对全称（特称）命题的否定是将其全称（存在）量词改为存 在（全称）量词，再将结论否定.

解:将0变为珀同时否定si∏Λ≤l,可以得到W玉wR,sinx>l.

故选C.

归纳小结：（1）本题考查了含有一个量词的命题的否定及否定词的运 用，对学生的逻辑判断能力进行考查.

(2)-般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论： 全称命题“：VreA/.P(X)I

它的否定—\'p：

3x9 ∣ p(⅜)・

特称命题p : 3x

GΛ∕,P(Λ∙1)它的否定

P

Vx∈Λ∕ , f

P() •

要注意否定IJ-,iX词的运用.

例10

已知命题P： x→≡÷l = O有两个不等的负根，命题

4√÷4(m-2)x÷10无实数根.若命题“与命题g有且只有一个为真，求实数 川的取值范围.

分析：对命题和命题“的条件进行化简可得加的范围，再对八q的 真假进行讨论，得到参数成立的条件，利用交集求出加的取值范围.

解：Y方程r÷≡÷l = 0有两个不等的负根,

nr -

4>0

ΓI解得刑>2∙

T方程4Λ+4(∕M-2)Λ+∣

= O无实数根,

/. 16(m-2f-i6<0,

解得

1<侧<3・

血〉2

若命题P为真,命题

∖nι<2

若命题卩为假，命题彳为真，则I

综上所述，实数ZW的取值范围为∣

归纳小结：(1)本题考查了方程求解的条件、命题真假的讨论、集合 运算等知识，突岀考查了分类讨论思想，和把命题真假转化为集合运算的 能力.

(2)根据问题条件求出命题所对应的集合范围，将命题的真假条件转 化为集合的运算，即当命题为真时，则条件所对集合为原集合，当命题为 假时，则条件所对应的集合为补集.两个命题的真假同时成立，则条件所

对应的集合为两个集合的交集.在命题的真假性不能确定的前提下，应作 分类讨论.