高考数学专题《函数的概念及其表示》习题含答案解析

专题3.1 函数的概念及其表示

练基础

21．（2021·四川达州市·高三二模（文））已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1x)2f(x)x1，则f(1)（

）

A．1

【答案】B

【解析】

当x0时，f（1）2f(0)1①；当x1时，f(0)2f（1）2②，由此进行计算能求出f（1）的值．

【详解】

2定义在R上的函数f(x)满足，f(1x)2f(x)x1，

B．1 C．

13D．1

3当x0时，f（1）2f(0)1，①

当x1时，f(0)2f（1）2，②

②2①，得3f（1）3，解得f（1）1．

故选：B

3x1,x1,2．（2021·浙江高一期末）已知f(x)2则f(3)（

）

x3,x1,A．7

【答案】D

【解析】

根据分段函数的定义计算．

【详解】

2由题意f(3)3312．

B．2 C．10 D．12

故选：D．

3．（2021·全国高一课时练习）设f(x)A．16

【答案】B

【解析】

根据分段函数解析式直接求解.

【详解】

B．18

x3,x10，则f(5)的值为（

）

f(x5),x10C．21 D．24

x3,x10f(x)因为，所以f(5)f(10)f(15)15318.

f(x5),x10故选：B.

4．（2021·浙江湖州市·湖州中学高一开学考试）若函数f(x)（

）

A．1

【答案】B

【解析】

根据函数f(x)【详解】

因为函数f(x)所以f(x)min故选：B

B．3 C．3 D．1或3

123xx的定义域和值域都是[1,b]，则b22123xx在[1,b]上为增函数，求出其值域，结合已知值域可求出结果.

221231xx(x1)21在[1,b]上为增函数，且定义域和值域都是[1,b]，

22213f(1)1，f(x)maxf(b)b2bb，解得b3或b1（舍），

225．（上海高考真题）若是的最小值，则的取值范围为( ).

A．[-1,2]

【答案】D

【详解】

B．[-1，0] C．[1，2] D．[0,2]

由于当x0时，f(x)x1a在x1时取得最小值2a，由题意当x0时，f(x)(xa)2应该x2是递减的，则a0，此时最小值为f(0)a，因此a2a2，解得0a2，选D．

6．（广东高考真题）函数fx【答案】1,00,

【解析】

x1的定义域是______．

x由根式内部的代数式大于等于0且分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．

【详解】

由x0，得x1且x0．

x10函数fxx1的定义域为：1,00,；

x故答案为1,00,．

7.（2021·青海西宁市·高三一模（理））函数fx的定义域为1,1，图象如图1所示，函数gx的定义域为1,2，图象如图2所示.若集合Axfgx0，Bxgfx0，则A___________个元素.

B中有

【答案】3

【解析】

利用数形结合分别求出集合A与集合B，再利用交集运算法则即可求出结果.

【详解】

若fgx0，则gx0或1或1，∴A1,0,1,2，

若gfx0，则fx∴A0或2，∴B1,0,1，

B1,0,1.

故答案为：3.

x22x18．（2021·湖北襄阳市·襄阳五中高三二模）已知函数yf2的定义域是1,，则函数xx1yfx的定义域是_______．

【答案】1,2

【解析】

x22x1令gx2x1，根据函数值域的求解方法可求得gx的值域即为所求的fx的定义域.

xx1【详解】

x22x1令gx2x1，

xx1x2x1xx1gx11x1，

22则1xx1xx1x1x11101yx在1,上单调递增，x0，1，1gx2，

x1xxxfx的定义域为1,2.

故答案为：1,2.

x21,x09．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三二模（文））已知函数fx1，若fa2，则2,x0x实数a___________.

【答案】1或【解析】

分别令a212，【详解】

当a0，令a212，解得：a1，

2

212，解方程，求出方程的根即a的值即可.

2a

当a0，令122，解得：，

a2a22，

22.

2故a1或故答案为：1或3x1,x110.（2021·云南高三二模（理））已知函数f(x)2，若nm，且f(n)f(m)，设tnm，x1,x1则t的取值范围为________.

【答案】51,【解析】

用n表示出m，结合二次函数的性质求得tnm的取值范围.

【详解】

画出fx图象如下图所示，

23114，令x14x0，解得x5，

17

12n22由nm,fnfm得3m1n1，m，且1n5

32n2212所以tnmnn2n1n5，

333结合二次函数的性质可知，当n13213321712时，t取得最大值为，当n5232231231时，t取得最小值为3525251.

3所以t的取值范围是51,17.

12故答案为：51,17

12

练提升

1．（2021·云南高三二模（文））已知函数f(x)则（

）

A．t没有最小值

C．t的最小值为【答案】B

【解析】

3x1,x1，若nm，且f(n)f(m)，设tnm，2x1,x1B．t的最小值为51

D．t的最小值为17

124

3先作出分段函数图象，再结合图象由f(n)f(m)，得到m与n的关系，消元得关于n的函数，最后求最值.

【详解】

如图，作出函数f(x)的图象，

f(n)f(m)且nm，则m1，且n1，

3m1n21，即mn223.

由n1，解得0n2141n5.

nmnn2211333(n23n2)173(n2)212，

又1n5，当n5时，nmmin51.

故选：B.

2．（2020·全国高一单元测试）已知函数f(x)x21,x0,，若2x,x0,fx05，则x0的取值集合是（A．{2} B．52,2

C．{2,2} D．2,2,52

【答案】A

【解析】

根据分段函数值的求解方法，对x00与x00两种情况求解，可得答案.

【详解】

若x200，可得x015，解得x02，(x02舍去)；

若x00，可得2x0=5，可得x052，与x00相矛盾，故舍去，

）

综上可得：x02.

故选：A.

3．【多选题】（2021·全国高一课时练习）（多选题）下列函数中，定义域是其值域子集的有（

）

A．y8x6

5B．yx22x5 C．yx1 D．y11

x【答案】AC

【解析】

分别求得函数的定义域和值域，利用子集的定义判断.

【详解】

A函数的定义域和值域都是R，符合题意；

B.定义域为R，因为yx22x5(x1)266，所以函数值域为(,6]，值域是定义域的真子集不符合题意；

C.易得定义域为[1,)，值域为[0,)，定义域是值域的真子集；

D.定义域为{x|x0}，值域为{x|x1}，两个集合只有交集；

故选：AC

1x24．【多选题】（2021·全国高一课时练习）已知f(x)=，则f(x)满足的关系有（

）

1x2A．f(x)f(x) B．f1=

f(x)

xC．f1=f(x)

xD．f()f(x)

1x【答案】BD

【解析】

根据函数f(x)的解析式，对四个选项逐个分析可得答案.

【详解】

1x2因为f(x)=

，

21x1(x)21x2f(x)，即不满足A选项； =所以f(x)=1(x)21x2

11xx211f=，2=2x1x11x221f=f(x)，即满足B选项，不满足C选项，

x11211xx1f()=f()f(x)，即满足D选项． =，22xx1x11x故选：BD

5．【多选题】（2021·全国高三其他模拟）已知函数f(x)说法正确的是（

）

A．g10

C．方程gx2的所有根之和为－1

【答案】ACD

【解析】

由题意知f10可得g10；令fxu，因为方程fu2没有实根，即gx2没有实根；B．方程gx2有3个根

D．当x0时，fxgx

x1,x0,令gxffx，则下列2x2x,x0,g(x)f(x1)，令ufx，则方程gx2，即fu2，通过化简与计算即可判断C；当x0时，则将函数f(x)在(,1)的图象向左平移1个单位长度可得函数gx的图象，即可判断D．

【详解】

对于A选项，由题意知f10，则g1ff1f00，所以A选项正确；

对于B选项，令fxu，则求gxffx2的根，即求fu2的根，

因为方程fu2没有实根，

所以gx2没有实根，所以选项B错误；

对于C选项，令ufx，则方程gx2，即fu2，

得u12,u0u13，u22u2,u0u213，由方程f(x)u1得x13(x0)或x22x3(x0)，

解得x4或x3，易知方程f(x)u2，没有实数根，所以方程g(x)2的所有根之和为－1，选项C正确；

对于D选项，当x0时，g(x)f(x1)，则将函数f(x)在(,1)的图象向左平移1个单位长度可得函数gx的图象，

当x0时，函数gx的图象不在f(x)的图象的下方，所以D选项正确，

故选：ACD．

6．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数fx，x(,0)(0,)，对于任意的x,y(,0)(0,)，f(xy)f(x)f(y)，则（

）

A．fx的图象过点1,0和1,0

B．fx在定义域上为奇函数

C．若当x1时，有fx0，则当1x0时，fx0

D．若当0x1时，有fx0，则fx0的解集为1,

【答案】AC

【解析】

根据抽象函数的性质，利用特殊值法一一判断即可；

【详解】

解：因为函数fx，x(,0)(0,)，对于任意的x,y(,0)(0,)，f(xy)f(x)f(y)，令xy1，则f1f1f1，则f10，令xy1，则f1f1f1，则f10，所以fx过点1,0和1,0，故A正确；

令y1，则fxfxf1，即fxfx，所以fx为偶函数，故B错误；

令y11，则f1fxf0，则xx111ffx当x1时，所以1,0，又xxfx0，则f0，即当1x0时，fx0，故C正确；

x令y1111，则f1fxf0，则ffx，当0x1时，所以1,，又fx0，xxxx1f则0，即当x1时，fx0，因为fx是偶函数，所以x1时，fx0，所以fx0x的解集为,1故选：AC

1,，故D错误；

x22x,x07．【多选题】（2021·全国高三专题练习）已知函数fx，则（

）

2x3,x0A．ff13

B．若fa1，则a2

C．fx在R上是减函数

D．若关于x的方程fxa有两解，则a0,3

【答案】ABD

【解析】

根据函数解析式，代入数据可判断A、B的正误，做出f(x)的图象，可判断C、D的正误，即可得答案.

【详解】

对于A：由题意得：f(1)(1)2(1)3，

所以ff1f(3)2333，故A正确；

2对于B：当a0时，f(a)a2a1，解得a=1，不符合题意，舍去

2当a0时，f(a)2a31，解得a2，符合题意，故B正确；

对于C：做出f(x)的图象，如下图所示：

所以fx在R上不是减函数，故C错误；

对于D：方程fxa有两解，则yf(x)图象与ya图象有两个公共点，

如下图所示

所以a0,3，故D正确.

故选：ABD

x2(22a)x,(0xa2)8．（2021·浙江高三月考）已知a0，设函数f(x)，存在x0满足ax,(xa2)ffx0x0，且fx0x0，则a的取值范围是______.

【答案】【解析】

求得yaxxa2关于yx对称所得函数的解析式，通过构造函数，结合零点存在性列不等式，由此求得a的取值范围.

51a1

2

【详解】

由于fx存在x0满足f的点.

对于yaxxa2,yaa2，交换x,y得xay，

即yfxx，且fx0x0，所以fx图象上存在关于yx对称的两个不同001xxaa2,ya2，

a111xx222axxx22aaaa2构造函数gxx22ax（aa2xa2），所以gx的零点22a11满足aa222aa2，

aa11a21a1a1由22aa2得a00a1，

aaaa由aa222a13得a32a10，即aaa1aa1a1a1

a1515a2a1a1aaa10，

22由于0a1，所以解得51a1.

2故答案为：51a1

229.

（2021·浙江高一期末）已知函数fxx1，gxx1，xR．

（1）在图1中画出函数fx，gx的图象；

（2）定义：xR，用mx表示fx，gx中的较小者，记为mxminfx,gx，请分别

用图象法和解析式法表示函数mx．（注：图象法请在图2中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）

x1,x,01,【答案】（1）图象见解析；（2）mx；图象见解析.

2x1,x0,1【解析】

（1）由一次函数和二次函数图象特征可得结果；

（2）根据mx定义可分段讨论得到解析式；由解析式可得图象.

【详解】

（1）fx，gx的图象如下图所示：

（2）当x0时，x1x1，则mxfxx1；

2当0x1时，x1x1，则mxgxx1；

当x1时，x1x1，则mxfxx1；

222x1,x,01,.

综上所述：mx2x1,x0,1mx图象如下图所示：

10.

（2021·全国高一课时练习）已知函数fxx1x2，gxx3.

（1）在平面直角坐标系里作出fx、gx的图象.

（2）xR，用minx表示fx、gx中的较小者，记作minxfx,gx，请用图象法和解析法表示minx；

（3）求满足fxgx的x的取值范围.

【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）,2【解析】

（1）化简函数fx、gx的解析式，由此可作出这两个函数的图象；

（2）根据函数minx的意义可作出该函数的图象，并结合图象可求出函数minx的解析式；

（3）根据图象可得出不等式fxgx的解集.

【详解】

0,.

2x1,x2x3,x3.

（1）fxx1x23,1x2，gxx33x,x312x,x1则对应的图象如图：

（2）函数minx的图象如图：

3x,x2或0x312x,2x1解析式为minx；

3,1x0x3,x3（3）若fxgx，

则由图象知在A点左侧，B点右侧满足条件，此时对应的x满足x0或x2，

即不等式fxgx的解集为,20,.

练真题