初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案

2024年4月13日发(作者：小屁孩数学试卷)

初中数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案

一、全等三角形截长补短

1

．如图

1

，在四边形

ABCD

中，

AC

交

BD

于点

E

，

△ADE

为等边三角形．

（

1

）若点

E

为

BD

的中点，

AD

＝

4

，

CD

＝

5

，求

△BCE

的面积；

（

2

）如图

2

，若

BC

＝

CD

，点

F

为

CD

的中点，求证：

AB

＝

2AF

；

（

3

）如图

3

，若

AB∥CD

，

∠BAD

＝

90°

，点

P

为四边形

ABCD

内一点，且

∠APD

＝

90°

，连

接

BP

，取

BP

的中点

Q

，连接

CQ

．当

AB

＝

6

2

，

AD

＝

4

2

，

tan∠ABC

＝

2

时，求

CQ

＋

10

BQ

的最小值．

10

2

．如图，

△ABC

为等边三角形，直线

l

经过点

C

，在

l

上位于

C

点右侧的点

D

满足

∠BDC

＝

60°

．

（

1

）如图

1

，在

l

上位于

C

点左侧取一点

E

，使

∠AEC

＝

60°

，求证：

△AEC≌△CDB

；

（

2

）如图

2

，点

F

、

G

在直线

l

上，连

AF

，在

l

上方作

∠AFH

＝

120°

，且

AF

＝

HF

，

∠HGF

＝

120°

，求证：

HG

＋

BD

＝

CF

；

（

3

）在（

2

）的条件下，当

A

、

B

位于直线

l

两侧，其余条件不变时（如图

3

），线段

HG

、

CF

、

BD

的数量关系为

．

3

．如图，在

ABC

中，

ACBC

，

AD

平分

CAB

．

（

1

）如图

1

，若

ACB90

，求证：

ABACCD

；

（

2

）如图

2

，若

ABACBD

，求

ACB

的度数；

（

3

）如图

3

，若

ACB100

，求证：

ABADCD

．

4

．已知，

POQ90

，分别在边

OP

，

OQ

上取点

A

，

B

，使

OAOB

，过点

A

平行

于

OQ

的直线与过点

B

平行于

OP

的直线相交于点

C

．点

E

，

F

分别是射线

OP

，

OQ

上

动点，连接

CE

，

CF

，

EF

．

（

1

）求证：

OAOBACBC

；

（

2

）如图

1

，当点

E

，

F

分别在线段

AO

，

BO

上，且

ECF45

时，请求出线段

EF

，

AE

，

BF

之间的等量关系式；

（

3

）如图

2

，当点

E

，

F

分别在

AO

，

BO

的延长线上，且

ECF135

时，延长

AC

交

EF

于点

M

，延长

BC

交

EF

于点

N

．请猜想线段

EN

，

NM

，

FM

之间的等量关

系，并证明你的结论．

5

．如图所示，已知

AC

平分

∠BAD

，

BD180

，

CEAB

于点

E

，判断

AB

、

AD

与

BE

之间有怎样的等量关系，并证明．

6

．阅读材料并完成习题：

在数学中，我们会用

“

截长补短

”

的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图

1

，在四边形

ABCD

中，

∠BAD=∠BCD=90°

，

AB=AD

，若

AC=2cm

，求四边形

ABCD

的面积．

解：延长线段

CB

到

E

，使得

BE=CD

，连接

AE

，我们可以证明

△BAE≌△DAC

，根据全等三

角形的性质得

AE=AC=2

，

∠EAB=∠CAD

，则

∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°

，得

S

四边形

ABCD

=S

△ABC

+S

△ADC

=S

△ABC

+S

△ABE

=S

△AEC

，这样，四边形

ABCD

的面积就转化为等腰直角三角形

EAC

面积．

（

1

）根据上面的思路，我们可以求得四边形

ABCD

的面积为

cm

2

．

（

2

）请你用上面学到的方法完成下面的习题．

如图

2

，已知

FG=FN=HM=GH+MN=2cm

，

∠G=∠N=90°

，求五边形

FGHMN

的面积．

7

．如图，四边形

ABCD

为矩形，

F

为对角线

BD

上一点，过点

F

作

FEBD

交

AD

于

点

H

，交

BA

的延长线于点

E

，连接

AF

，当

FDFE

时，求证：

AHAB2AF

．

8

．如图，正方形

ABCD

的对角线相交于点

O

．点

E

是线段

DO

上一点，连接

CE

．点

F

是

∠OCE

的平分线上一点，且

BF⊥CF

与

CO

相交于点

M

，点

G

是线段

CE

上一点，且

CO=CG

．

（

1

）若

OF=4

，求

FG

的长；

（

2

）求证：

BF=OG+CF

．

9

．已知平行四边形

ABCD

中，

N

是边

BC

上一点，延长

DN

、

AB

交于点

Q

，过

A

作

AM⊥DN

于点

M

，连接

AN

，则

AD⊥AN

．

（

1

）如图

①

，若

tan∠ADM

＝

3

，

MN

＝

3

，求

BC

的长；

4

（

2

）如图

②

，过点

B

作

BH∥DQ

交

AN

于点

H

，若

AM

＝

CN

，求证：

DM

＝

BH+NH

．

10

．如图

1

，在

ABC

中，

ACB

是直角，

B60

，

AD

、

CE

分别是

BAC

、

BCA

的平分线，

AD

、

CE

相交于点

F

．

（

1

）求出

AFC

的度数；

（

2

）判断

FE

与

FD

之间的数量关系并说明理由．（提示：在

AC

上截取

CGCD

，连

接

FG

．）

（

3

）如图

2

，在

△

ABC

中，如果

ACB

不是直角，而（

1

）中的其它条件不变，试判断

线段

AE

、

CD

与

AC

之间的数量关系并说明理由．

【参考答案】

***

试卷处理标记，请不要删除

一、全等三角形截长补短

1

．（

1

）

S

△

BCE3923

(2)

证明见解析（

3

）

CQ

＋

10

BQ

的最小值为

25

10

【分析】

（

1

）根据点

E

是

BD

的中点，可得

S

△BCE

S

△CDE

,

在作边

CE

的高

DF,

根据等边三角形三

线合一

DF

也是

AED

的高，根据勾股定理计算出

DF

的长度，在直角三角形

DFC

中利用

勾股定理计算出

CF,

得出

CE

的值，利用三角形的面积公式计算出面积．

（

2

）延长

AF,

是

2AF=AG,

证明

△ADF△GCF

,

得出

CM=AD

，再根据

ACDBDC

60°

，得出

ACG

=

ABE

,

从而证明

△ABE△AMC

,

得出

AB=AG

，得出结论．

（

3

）根据

APD

=90°

，知道点

P

的运动轨迹是以

AD

为直径的圆，圆心记为

N

，点

Q

是

BP

的中点，得到点

Q

的运动轨迹是以

BN

的中点为圆心，半径为

2

的圆。由

sinNBA

10

，构造直角三角形

QGB

，点

G

为直角顶点，可得

10

sinQBG

10QG

10

10

,

得

QG

BQ=CQ+QG,

故根据两点之间



BQ

，可知

CQ

＋

10BQ

10

10

线段最短得最小值为

CG

的长度，又点

G

的运动轨迹为以

AB

为中点的圆．圆心为

L,

当点

C

、点

Q

、点

G

在同一条直线上时，

CG

的值最小，从而得出结果．

【详解】

解：作

DF⊥AC

∵

点

E

是

BD

的中点

∴BE=DE

故

S

△BCE

S

△CDE

∵AD=4,△ADE

是等边三角形，

DF⊥AE

∴AF=EF=2,∠ADF=30°

∴DF=

23

∵

在

Rt△DEC

中，

CD=5,DF=

23

,

根据勾股定理得：

FC=

13

∴CE=CF-EF=

132

11

S

△△CDE

CEDF(132)23

=

3923

22

(2)

证明：延长

AF

使

AF=FG

如下图

∵△AED

是等边三角形

∴

∠

AED=

∠

ADE=60°

，

AE=AD=ED

∵AF=FG

，点

F

是

CD

的中点

∴CF=FD

又

∠AFD=∠CFG

∴△AFD≌△GFC

∴CG=AD

，

∠FCG=∠ADF

∴CG=AE

又

∵∠CEB=∠ECD+∠EDC=60°

，

∴∠ACG=∠FCG+∠ACD=∠ADF+∠ACD=120°

又

∠AEB=120°

∴∠AEB=∠ACG

，

∠CAG=∠ABD

又

CG=AE

∴

△ABE△AGC

∴AB=AG

故

AB=2AF

(3)

如下图，过点

Q

作

QG⊥BG

，使

∠NBE=∠GBQ,

在

Rt△BQG

中，

sin∠BQG=

QG10



BQ10

则

GQ=

1010

BQ,

故

CQ

＋

BQ=CQ+QG

，

由

∠APD=90°

，可知点

P

的运动轨迹为

AD

为直

1010

径的圆，

⊙N

．点

G

为以

BE

的中点为圆心的圆，点

G

的运动轨迹为圆．当点

C

、

Q

、

G

在

同一条直线上时，

CQ+QG

的长度最小．

∵AB∥CD

，

∠APD

＝

90°

∴

四边形

ADCK

为正方形，有

AD=

42

AB=

62

∴CK=AD=

42

又

tan∠ABC

＝

2

∴BC=

210

∵AN=

32

，

GN=

2

∴CL=CD-DL=

2

∠BGN=

∠

GCL

∴Rt△BGN≌Rt△GCL

∴BG=CG

在

Rt△BGC

中，

BC=

210

∴CG=

25

即

CQ

＋

10

BQ

的最小值

=

25

10

【点睛】

本题考查三角形的面积、等边三角形的性质、全等三角形、锐角三角函数、动点问题．隐

圆问题，了解直径所对的圆周角等于

90°

是隐圆问题的常用思路，了解瓜豆原理对本题的

理解有很大的帮助．了解截长补短法添加辅助线是关键。转换思想是重要的数学思想．

2

．（

1

）证明见解析；（

2

）证明见解析；（

3

）

HG=CF+BD

．

【分析】

（

1

）先利用角的和差证明

∠BCD=∠EAC

，然后利用

AAS

即可证明

△AEC≌△CDB

；

（

2

）在

l

上

C

点左侧取一点

E

，使

∠AEC=60°

，连接

AE

，依次证明

△AEC≌△CDB

和

△HGF≌△FEA

即可得出结论；

（

3

）在

l

上位于

C

点右侧取一点

E

，使

∠AED=60°

，连接

AE

，在

l

上取一点

M

，使

BM=BD

，依次证明

△ACE≌△CBM

和

△HGF≌△FEA

即可得出结论．

【详解】

解：（

1

）证明：

∵△ABC

是等边三角形，

∴AC=BC

，

∠ACB=60°

，

∴∠BCD+∠ACE=120°

，

∵∠AEC=60°

，

∴∠ACE+∠EAC=120°

，

∴∠BCD=∠EAC

，

在

△AEC

和

△CDB

中



AECBDC60



∵



BCDEAC

,



ACBC



∴△AEC≌△CDB

（

AAS

）；

（

2

）证明：如图

2

，在

l

上

C

点左侧取一点

E

，使

∠AEC=60°

，连接

AE

，

由（

1

）知：

△AEC≌△CDB

，

∴BD=CE

，

∵∠AEC=60°

，

∴∠AEF =120°

，

∵∠AFH

＝

120°

，

∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°

，

∴∠FAE=∠GFH

，

∵∠HGF=∠AEF=120°

，

AF=FH

，

∴△HGF≌△FEA

（

AAS

），

∴GH=EF

，

∴CF=EF+CE=HG+BD

；

（

3

）解：

HG=CF+BD

，理由是：

如图

3

，在

l

上位于

C

点右侧取一点

E

，使

∠AED=60°

，连接

AE

，在

l

上取一点

M

，使

BM=BD

，

∵∠BDC=60°

，

∴△BDM

是等边三角形，

∴∠BMD=60°

，

∵∠AED=60°

，

∴∠AEC=∠CMB=120°

，

∵∠ACB=60°

，

∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°

，

∴∠CAE=∠BCE

，

∵AC=BC

，

∴△ACE≌△CBM

（

AAS

），

∴CE=BM=BD

，

由（

2

）可证

△HGF≌△FEA

（

AAS

），

∴GH=FE

，

∵EF=CF+CE

∴HG=CF+BD

．

故答案为：

HG=CF+BD

．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌

握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．

3

．（

1

）见详解；（

2

）

108°

；（

3

）见详解

【分析】

（

1

）如图

1

，过

D

作

DM⊥AB

于

M

，由

CA

＝

CB

，

ACB90

，得

ABC

是等腰直角三

角形，根据角平分线的性质得到

CD

＝

MD

，

∠ABC

＝

45°

，根据全等三角形的性质得到

AC

＝

AM

，于是得到结论；

（

2

）如图

2

，设

∠ACB

＝

α

，则

∠CAB

＝

∠CBA

＝

90°−

1

α

，在

AB

上截取

AK

＝

AC

，连结

2

DK

，根据角平分线的定义得到

∠CAD

＝

∠KAD

，根据全等三角形的性质得到

∠ACD

＝

∠AKD

＝

α

，根据三角形的内角和即可得到结论；

（

3

）如图

3

，在

AB

上截取

AH

＝

AD

，连接

DH

，根据等腰三角形的性质得到

∠CAB

＝

∠CBA

＝

40°

，根据角平分线的定义得到

∠HAD

＝

∠CAD

＝

20°

，求得

∠ADH

＝

∠AHD

＝

80°

，在

AB

上截取

AK

＝

AC

，连接

DK

，根据全等三角形的性质得到

∠ACB

＝

∠AKD

＝

100°

，

CD

＝

DK

，根

据等腰三角形的性质得到

DH

＝

BH

，于是得到结论．

【详解】

（

1

）如图

1

，过

D

作

DM⊥AB

于

M

，

∴

在

ABC

中，

ACBC

，

∴∠ABC

＝

45°

，

∵∠ACB

＝

90°

，

AD

是角平分线，

∴CD

＝

MD

，

∴∠BDM

＝

∠ABC

＝

45°

，

∴BM

＝

DM

，

∴BM

＝

CD

，

在

RT△ADC

和

RT△ADM

中，



CD＝MD

，





AD＝AD

∴RT△ADC≌RT△ADM

（

HL

），

∴AC

＝

AM

，

∴AB

＝

AM

＋

BM

＝

AC

＋

CD

，

即

AB

＝

AC

＋

CD

；

（

2

）设

∠ACB

＝

α

，则

∠CAB

＝

∠CBA

＝

90°−

在

AB

上截取

AK

＝

AC

，连结

DK

，如图

2

，

1

α

，

2

∵AB

＝

AC

＋

BD

，

AB=AK+BK

∴BK

＝

BD

，

∵AD

是角平分线，

∴∠CAD

＝

∠KAD

，

在

△CAD

和

△KAD

中，



AC＝AK





CAD＝KAD



AD＝AD



∴△CAD≌△KAD

（

SAS

），

∴∠ACD

＝

∠AKD

＝

α

，

∴∠BKD

＝

180°−α

，

∵BK

＝

BD

，

∴∠BDK

＝

180°−α

，

∴

在

△BDK

中，

180°−α

＋

180°−α

＋

90°−

∴α

＝

108°

，

∴∠ACB

＝

108°

；

（

3

）如图

3

，在

AB

上截取

AH

＝

AD

，连接

DH

，

1

α

＝

180°

，

2

∵∠ACB

＝

100°

，

AC

＝

BC

，

∴∠CAB

＝

∠CBA

＝

40°

，

∵AD

是角平分线，

∴∠HAD

＝

∠CAD

＝

20°

，

∴∠ADH

＝

∠AHD

＝

80°

，

在

AB

上截取

AK

＝

AC

，连接

DK

，

由（

1

）得，

△CAD≌△KAD

，

∴∠ACB

＝

∠AKD

＝

100°

，

CD

＝

DK

，

∴∠DKH

＝

80°

＝

∠DHK

，

∴DK

＝

DH

＝

CD

，

∵∠CBA

＝

40°

，

∴∠BDH

＝

∠DHK -∠CBA =40°

，

∴DH

＝

BH

，

∴BH

＝

CD

，

∵AB

＝

AH

＋

BH

，

∴AB

＝

AD

＋

CD

．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内

角和，正确的作出辅助线是解题的关键．

4

．（

1

）见解析；（

2

）

EF

【分析】

（

1

）连接

AB

,

通过

POQ90

，

OAOB

得到

AOB

为等腰直角三角形，进而得到

AEBF

；（

3

）

MN

2

EN

2

FM

2

，见解析

OABOBA45

，根据过点

A

平行于

OQ

的直线与过点

B

平行于

OP

的直线相交于

点

C

，可推出

CBA45

，

BAC45

，最后通过证明

AOB

≌

△ACB

，可以得出

结论；

（

2

）在射线

AP

上取点

D

，使

ADBF

，连接

CD

，通过证明

CAD

≌

CBF

，得到

CDCF

，

ACDBCF

，再结合

ECF45

，

ACB90

推导证明

ECD

≌

△ECF

，得到

EDEF

，最后等量代换线段即可求解；

（

3

）延长

AO

到点

D

，使得

ADBF

，连接

CD

，通过证明

CAD

≌

CBF

，得到

CDCF

，

ACDBCF

，再结合

ECF135

，推导证明

ECD

≌

△ECF

，得

到

DCFM

，根据

DCFB

，等量代换可知

CFMCFB

，又因为

AC//OQ

，推出

MCFCFB

，进而得到

MCMF

，同理可证

CNEN

，最后根

据勾股定理即可求解．

【详解】

解：（

1

）证明：连接

AB

．

POQ90

，

OAOB

，



AOB

为等腰直角三角形，



OABOBA45

，

又

BC//OP

，且

POQ90

，



BCOQ

，



CBF90

，