高中数学48个考试秒杀公式

2023年12月20日发(作者：沧县教师考试小学数学试卷)

高中数学48个考试秒杀公式

高中数学中除了常规公式，还有许多必备的秒杀型公式，能够在考试中帮助节省时间。本文分享了48条爆强的秒杀公式。

第一条公式适用于圆锥曲线，其中焦点在所截线段内时公式为ecosA=(x-1)/(x+1)，焦点在所截线段延长线上时公式为(x+1)/(x-1)。分离比x必须大于1.

第二条公式解决了函数的周期性问题，记忆三个公式：若f(x)=-f(x+k)，则周期T=2k；若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则周期T=2k；若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则周期T=6k。需要注意的是，周期函数必无限，但未必存在最小周期，且周期函数加周期函数未必是周期函数。

第三条公式总结了对称问题，包括满足f(a+x)=f(b-x)的函数在R上的对称轴为x=(a+b)/2，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称，以及满足f(a+x)+f(a-x)=2b的函数图像关于点(a，b)中心对称。

第四条公式解决了函数的奇偶性问题，包括属于R上的奇函数有f(0)=0，含参函数的奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项。奇偶性一般用于选择填空。

第五条公式是数列爆强定律，包括等差数列中S奇=na中，例如S13=13a7，以及等差数列中S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差。在等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时未必成立。等比数列爆强公式为S(n+m)=S(m)+q²mS(n)，可以迅速求出q。

第六条公式是数列的终极利器，特征根方程。对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p²(n-1)+x。这是一阶特征根方程的运用。二阶有点麻烦，且不常用。

第七条公式是函数详解补充。

1.复合函数的奇偶性：如果内函数是偶函数，则复合函数是偶函数；如果内函数是奇函数，则复合函数与内函数奇偶性相同。

2.复合函数的单调性：如果内函数单调递增，则复合函数同增；如果内函数单调递减，则复合函数异减。

3.三次函数的重点知识：三次函数曲线是中心对称图形，有一个对称中心。求法为二阶导后导数为零的根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。

8.常用数列bn=n×(2²n)，求和Sn=(n-1)×(2²(n+1))+2.记忆方法：前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2.

9.适用于标准方程(焦点在x轴)的爆强公式：k椭=-{(b²)xo｝/{(a²)yo｝，k双={(b²)xo｝/{(a²)yo｝，k抛=p/yo。注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。

10.两直线垂直或平行的必杀技：已知直线L1：a1x+b1y+c1=0，直线L2：a2x+b2y+c2=0.若它们垂直，充要条件为a1a2+b1b2=0；若它们平行，充要条件为a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1（为了防止两直线重合）。注：以上两公式避免了斜率是否存在的麻烦，直接必杀！

11.隔项相消：对于Sn=1/(1×3)+1/(2×4)+1/(3×5)+…+1/[n(n+2)]，有Sn=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]。注：隔项相加保留四项，即首两项，尾两项。自己把式子写在草稿纸上，那样看起来会很清爽以及整洁！

12.爆强△面积公式：S=1/2∣mq-np∣，其中向量AB=(m，n)，向量BC=(p，q)。注：这个公式可以解决已知三角形三点坐标求面积的问题！

13.空间立体几何中，以下命题均错：(1)空间中不同三点不一定确定一个平面；(2)垂直同一直线的两直线不一定平行；(3)两组对边分别相等的四边形不一定是平行四边形；(4)如果一条直线与平面内无数条直线垂直，则直线不一定垂直平面；(5)有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；(6)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥。注：对初中生不适用。

14.所有棱长均相等的棱锥可以是三、四、五棱锥。

15.求f(x)=∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-n∣(n为正整数)的最小值。

36.爆强公式ln(x+1)≤x(x>-1)可以有效解决不等式的证明问题。举个例子，ln(1/(2²)+1)+ln(1/(3²)+1)+…+ln(1/(n²)+1)<1(n≥2)。证明如下：令x=1/(n²)，根据ln(x+1)≤x，左右累和右边再放缩得：左和<1-1/n<1，证毕！

37.函数y=(sinx)/x是偶函数，在(0，派)上它单调递减，在(-派，0)上单调递增。利用上述性质可以比较大小。

38.函数y=(lnx)/x在(0，e)上单调递增，在(e，+无穷)上单调递减。另外y=x也与该函数的单调性一致。

39.几个数学易错点：

1) f`(x)<0是函数在定义域内单调递减的充分不必要条件；

2) 在研究函数奇偶性时，忽略最开始的也是最重要的一步：考虑定义域是否关于原点对称！

3) 不等式的运用过程中，千万要考虑\"=\"号是否取到！

4) 研究数列问题不考虑分项，就是说有时第一项并不符合通项公式，所以应当极度注意：数列问题一定要考虑是否需要分项！

40.提高计算能力五步曲：

1) 扔掉计算器；

2) 仔细审题(提倡看题慢，解题快)，要知道没有看清楚题目，你算多少都没用；

3) 熟记常用数据，掌握一些速算技巧；

4) 加强心算，估算能力；

5) [检验]！

41.一个美妙的公式：爆强！已知三角形中AB=a，AC=b，O为三角形的外心，则向量AO×向量BC(即数量积)=(1/2)[b²-a²]强烈推荐！证明：过O作BC垂线，转化到已知边上。

42.(1) 函数单调性的含义：大多数同学都知道若函数在区间D上单调，则函数值随着自变量的增大(减小)而增大(减小)，但有些意思可能有些人还不是很清楚，若函数在D上单调，则函数必连续(分段函数另当别论)。这也说明了为什么不能说

y=tanx在定义域内单调递增，因为它的图像被无穷多条渐近线挡住，换而言之，不连续。另外，如果函数在D上单调，则函数在D上y与x一一对应。这个可以用来解一些方程。

2) 函数周期性：这里主要总结一些函数方程式所要表达的周期。设f(x)为R上的函数，对任意x∈R：

① f(a±x)=f(b±x)T=(b-a)(加绝对值，下同)

② f(a±x)=-f(b±x)T=2(b-a)

③ f(x-a)+f(x+a)=f(x)T=6a

1.设T≠0，函数f(x+T)=M[f(x)]，其中M(x)满足M[M(x)]=x且M(x)≠x，则函数的周期为243.

2.对于函数f(x)，若存在常数a，使得f(a-x)=f(a+x)，则称f(x)为广义(Ⅰ)型偶函数，且当有两个相异实数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2(b-a)。若f(a-x)=-f(a+x)，则f(x)是广义(Ⅰ)型奇函数，当有两个相异实数a，b满足时，f(x)为周期函数T=2(b-a)。若有两个实数a，b满足广义奇偶函数的方程式时，就称f(x)是广义(Ⅱ)型的奇、偶函数。若f(x)是广义(Ⅱ)型偶函

数，那么当f在[a+b/2，＋∞)上为增函数时，有f(x1)

3.函数对称性：若f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则函数关于(a+b/2，c/2)成中心对称；若f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数关于直线x=a+b/2成轴对称。

4.柯西函数方程：若f(x)连续或单调：(1) 若f(xy)=f(x)+f(y)(x>0,y>0)，则f(x)=㏒ax；(2) 若f(xy)=f(x)f(y)(x>0,y>0)，则f(x)=x²u(u由初值给出)；(3) 若f(x+y)=f(x)f(y)，则f(x)=a²x；(4) 若f(x+y)=f(x)+f(y)+kxy，则f(x)=ax²+bx；(5) 若f(x+y)+f(x-y)=2f(x)，则f(x)=ax+b。特别的，若f(x)+f(y)=f(x+y)，则f(x)=kx。

5.三角形定理或结论：(1) 正切定理：在非直角三角形中，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；(2) 任意三角形射影定理（又称第一余弦定理）：在△ABC中，a=bcosC+ccosB；b=ccosA+acosC；c=acosB+bcosA；(3) 任意三角形内切圆半径r=2S/a+b+c（S为面积），外接圆半径应该都知道了吧；(4)

XXX定理：设A1、B1、C1分别是△ABC三边BC、CA、AB所在直线的上的点，则A1、B1、C1共线的充要条件是CB1/B1A·BA1/A1C·AC1/C1B=1.

6.易错点：无。