2024年3月18日发(作者：2021中考焦作数学试卷)
2020
年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）
一、选择题（共
12
小题）
.
1
．已知集合
A
＝
{
（
x
，
y
）
|x
，
y
∈
N*
，
y
≥
x}
，
B
＝
{
（
x
，
y
）
|x+y
＝
8}
，则
A
∩
B
中元素的个
数为（ ）
A
．
2
2
．复数
A
．﹣
B
．
3
的虚部是（ ）
B
．﹣
C
．
D
．
C
．
4
D
．
6
3
．在一组样本数据中，
1
，
2
，
3
，
4
出现的频率分别为
p
1
，
p
2
，
p
3
，
p
4
，且
面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A
．
p
1
＝
p
4
＝
0.1
，
p
2
＝
p
3
＝
0.4
C
．
p
1
＝
p
4
＝
0.2
，
p
2
＝
p
3
＝
0.3
B
．
p
1
＝
p
4
＝
0.4
，
p
2
＝
p
3
＝
0.1
D
．
p
1
＝
p
4
＝
0.3
，
p
2
＝
p
3
＝
0.2
p
i
＝
1
，则下
4
．
Logistic
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了
某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I
（
t
）（
t
的单位：天）的
Logistic
模型：
I
（
t
）＝
，其中
K
为最大确诊病例数．当
I
（
t
*
）＝
0.95K
时，标志着已初步遏制
疫情，则
t
*
约为（ ）（
ln19
≈
3
）
A
．
60
B
．
63
C
．
66
D
．
69
5
．设
O
为坐标原点，直线
x
＝
2
与抛物线
C
：
y
2
＝
2px
（
p
＞
0
）交于
D
，
E
两点，若
OD
⊥
OE
，则
C
的焦点坐标为（ ）
A
．（，
0
）
B
．（，
0
）
C
．（
1
，
0
）
D
．（
2
，
0
）
6
．已知向量，满足
||
＝
5
，
||
＝
6
，•
A
．﹣
B
．﹣
＝﹣
6
，则
cos
＜，
+
＞＝（ ）
C
．
D
．
7
．在△
ABC
中，
cosC
＝，
AC
＝
4
，
BC
＝
3
，则
cosB
＝（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
8
．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
A
．
6+4
B
．
4+4
C
．
6+2
D
．
4+2
9
．已知
2tan
θ﹣
tan
（θ
+
A
．﹣
2
10
．若直线
l
与曲线
y
＝
A
．
y
＝
2x+1
）＝
7
，则
tan
θ＝（ ）
B
．﹣
1
C
．
1
D
．
2
和圆
x
2
+y
2
＝都相切，则
l
的方程为（ ）
B
．
y
＝
2x+
C
．
y
＝
x+1
D
．
y
＝
x+
11
．设双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，离心率为．
P
是
C
上一点，且
F
1
P
⊥
F
2
P
．若△
PF
1
F
2
的面积为
4
，则
a
＝（ ）
A
．
1
B
．
2
C
．
4
D
．
8
12
．已知
5
5
＜
8
4
，
13
4
＜
8
5
．设
a
＝
log
5
3
，
b
＝
log
8
5
，
c
＝
log
13
8
，则（ ）
A
．
a
＜
b
＜
c
B
．
b
＜
a
＜
c
C
．
b
＜
c
＜
a
D
．
c
＜
a
＜
b
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13
．若
x
，
y
满足约束条件则
z
＝
3x+2y
的最大值为
．
14
．（
x
2
+
）
6
的展开式中常数项是
（用数字作答）．
15
．已知圆锥的底面半径为
1
，母线长为
3
，则该圆锥内半径最大的球的体积为
．
16
．关于函数
f
（
x
）＝
sinx+
有如下四个命题：
①
f
（
x
）的图象关于
y
轴对称．
②
f
（
x
）的图象关于原点对称．
③
f
（
x
）的图象关于直线
x
＝
④
f
（
x
）的最小值为
2
．
对称．
其中所有真命题的序号是
．
三、解答题：共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17
～
21
题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第
22
、
23
题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共
60
分。
17
．设数列
{a
n
}
满足
a
1
＝
3
，
a
n
+1
＝
3a
n
﹣
4n
．
（
1
）计算
a
2
，
a
3
，猜想
{a
n
}
的通项公式并加以证明；
（
2
）求数列
{2
n
a
n
}
的前
n
项和
S
n
．
18
．某学生兴趣小组随机调查了某市
100
天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人
次，整理数据得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
1
（优）
2
（良）
3
（轻度污染）
4
（中度污染）
2
5
6
7
16
10
7
2
25
12
8
0
[0
，
200]
（
200
，
400]
（
400
，
600]
（
1
）分别估计该市一天的空气质量等级为
1
，
2
，
3
，
4
的概率；
（
2
）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值
为代表）；
（
3
）若某天的空气质量等级为
1
或
2
，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等
级为
3
或
4
，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的
2
×
2
列联表，并
根据列联表，判断是否有
95%
的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气
质量有关？
空气质量好
空气质量不好
附：
K
2
＝
P
（
K
2
≥
k
）
k
0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
人次≤
400
人次＞
400
19
．如图，在长方体
ABCD
﹣
A
1
B
1
C
1
D
1
中，点
E
，
F
分别在棱
DD
1
，
BB
1
上，且
2DE
＝
ED
1
，
BF
＝
2FB
1
．
（
1
）证明：点
C
1
在平面
AEF
内；
（
2
）若
AB
＝
2
，
AD
＝
1
，
AA
1
＝
3
，求二面角
A
﹣
EF
﹣
A
1
的正弦值．
20
．已知椭圆
C
：
+
＝
1
（
0
＜
m
＜
5
）的离心率为
，
A
，
B
分别为
C
的左、右顶点．
（
1
）求
C
的方程；
（
2
）若点
P
在
C
上，点
Q
在直线
x
＝
6
上，且
|BP|
＝
|BQ|
，
BP
⊥
BQ
，求△
APQ
的面积．
21
．设函数
f
（
x
）＝
x
3
+bx+c
，曲线
y
＝
f
（
x
）在点（，
f
（））处的切线与
y
轴垂直．
（
1
）求
b
；
（
2
）若
f
（
x
）有一个绝对值不大于
1
的零点，证明：
f
（
x
）所有零点的绝对值都不大于
1
．
（二）选考题：共
10
分。请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]
22
．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
坐标轴交于
A
，
B
两点．
（
1
）求
|AB|
；
（
2
）以坐标原点为极点，
x
轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线
AB
的极坐标方程．
[
选修
4-5
：不等式选讲
]
23
．设
a
，
b
，
c
∈
R
，
a+b+c
＝
0
，
abc
＝
1
．
（
t
为参数且
t
≠
1
），
C
与
（
1
）证明：
ab+bc+ca
＜
0
；
（
2
）用
max{a
，
b
，
c}
表示
a
，
b
，
c
的最大值，证明：
max{a
，
b
，
c}
≥．
参考答案
一、选择题：本题共
12
小题，每小题
5
分，共
60
分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1
．已知集合
A
＝
{
（
x
，
y
）
|x
，
y
∈
N*
，
y
≥
x}
，
B
＝
{
（
x
，
y
）
|x+y
＝
8}
，则
A
∩
B
中元素的个
数为（ ）
A
．
2
B
．
3
C
．
4
D
．
6
【分析】利用交集定义求出
A
∩
B
＝
{
（
7
，
1
），（
6
，
2
），（
5
，
3
），（
4
，
4
）
}
．由此
能求出
A
∩
B
中元素的个数．
解：∵集合
A
＝
{
（
x
，
y
）
|x
，
y
∈
N*
，
y
≥
x}
，
B
＝
{
（
x
，
y
）
|x+y
＝
8}
，
∴
A
∩
B
＝
{
（
x
，
y
）
|
∴
A
∩
B
中元素的个数为
4
．
故选：
C
．
2
．复数
A
．﹣
的虚部是（ ）
B
．﹣
C
．
D
．
}
＝
{
（
7
，
1
），
（
6
，
2
），（
5
，
3
），（
4
，
4
）
}
．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：∵
∴复数
故选：
D
．
3
．在一组样本数据中，
1
，
2
，
3
，
4
出现的频率分别为
p
1
，
p
2
，
p
3
，
p
4
，且
面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A
．
p
1
＝
p
4
＝
0.1
，
p
2
＝
p
3
＝
0.4
C
．
p
1
＝
p
4
＝
0.2
，
p
2
＝
p
3
＝
0.3
B
．
p
1
＝
p
4
＝
0.4
，
p
2
＝
p
3
＝
0.1
D
．
p
1
＝
p
4
＝
0.3
，
p
2
＝
p
3
＝
0.2
p
i
＝
1
，则下
＝
的虚部是．
，
【分析】根据题意，求出各组数据的方差，方差大的对应的标准差也大．
解：选项
A
：
E
（
x
）＝
1
×
0.1+2
×
0.4+3
×
0.4+4
×
0.1
＝
2.5
，所以
D
（
x
）＝（
1
﹣
2.5
）
2
×
0.1+
（
2
﹣
2.5
）
2
×
0.4+
（
3
﹣
2.5
）
2
×
0.4+
（
4
﹣
2.5
）
2
×
0.1
＝
0.65
；
同理选项
B
：
E
（
x
）＝
2.5
，
D
（
x
）＝
2.05
；
选项
C
：
E
（
x
）＝
2.5
，
D
（
x
）＝
1.05
；
选项
D
：
E
（
x
）＝
2.5
，
D
（
x
）＝
1.45
；
故选：
B
．
4
．
Logistic
模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了
某地区新冠肺炎累计确诊病例数
I
（
t
）（
t
的单位：天）的
Logistic
模型：
I
（
t
）＝
，其中
K
为最大确诊病例数．当
I
（
t
*
）＝
0.95K
时，标志着已初步遏制
疫情，则
t
*
约为（ ）（
ln19
≈
3
）
A
．
60
B
．
63
C
．
66
D
．
69
＝
0.95K
，解出
t
即可．
，
【分析】根据所给材料的公式列出方程
解：由已知可得＝
0.95K
，解得
e
﹣
0.23
（
t
﹣
53
）
＝
两边取对数有﹣
0.23
（
t
﹣
53
）＝﹣
ln19
，
解得
t
≈
66
，
故选：
C
．
5
．设
O
为坐标原点，直线
x
＝
2
与抛物线
C
：
y
2
＝
2px
（
p
＞
0
）交于
D
，
E
两点，若
OD
⊥
OE
，则
C
的焦点坐标为（ ）
A
．（，
0
）
B
．（，
0
）
C
．（
1
，
0
）
D
．（
2
，
0
）
【分析】利用已知条件转化求解
E
、
D
坐标，通过
k
OD
•
k
OE
＝﹣
1
，求解抛物线方程，即
可得到抛物线的焦点坐标．
解：将
x
＝
2
代入抛物线
y
2
＝
2px
，可得
y
＝±
2
即，解得
p
＝
1
，
，
OD
⊥
OE
，可得
k
OD
•
k
OE
＝﹣
1
，
所以抛物线方程为：
y
2
＝
2x
，它的焦点坐标（，
0
）．
故选：
B
．
6
．已知向量，满足
||
＝
5
，
||
＝
6
，•
A
．﹣
B
．﹣
＝﹣
6
，则
cos
＜，
+
＞＝（ ）
C
．
D
．
【分析】利用已知条件求出
||
，然后利用向量的数量积求解即可．
解：向量，满足
||
＝
5
，
||
＝
6
，•
可得
||
＝＝
＝﹣
6
，
＝
7
，
cos
＜，
+
＞＝
故选：
D
．
＝＝＝．
7
．在△
ABC
中，
cosC
＝，
AC
＝
4
，
BC
＝
3
，则
cosB
＝（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】先根据余弦定理求出
AB
，再代入余弦定理求出结论．
解：在△
ABC
中，
cosC
＝，
AC
＝
4
，
BC
＝
3
，
由余弦定理可得
AB
2
＝
AC
2
+BC
2
﹣
2AC
•
BC
•
cosC
＝
4
2
+3
2
﹣
2
×
4
×
3
×＝
9
；
故
AB
＝
3
；
∴
cosB
＝
故选：
A
．
8
．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ）
＝＝，
A
．
6+4
B
．
4+4
C
．
6+2
D
．
4+2
【分析】先由三视图画出几何体的直观图，利用三视图的数据，利用三棱锥的表面积公
式计算即可．
解：由三视图可知几何体的直观图如图：几何体是正方体的一个角，
PA
＝
AB
＝
AC
＝
2
，
PA
、
AB
、
AC
两两垂直，
故
PB
＝
BC
＝
PC
＝
2
，
＝
6+2
几何体的表面积为：
3
×
故选：
C
．
9
．已知
2tan
θ﹣
tan
（θ
+
A
．﹣
2
）＝
7
，则
tan
θ＝（ ）
B
．﹣
1
C
．
1
D
．
2
【分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即
可．
解：由
2tan
θ﹣
tan
（θ
+
）＝
7
，得
2tan
θ﹣＝
7
，
即
2tan
θ﹣
2tan
2
θ﹣
tan
θ﹣
1
＝
7
﹣
7tan
θ，
得
2tan
2
θ﹣
8tan
θ
+8
＝
0
，
即
tan
2
θ﹣
4tan
θ
+4
＝
0
，
即（
tan
θ﹣
2
）
2
＝
0
，
则
tan
θ＝
2
，
故选：
D
．
10
．若直线
l
与曲线
y
＝
A
．
y
＝
2x+1
和圆
x
2
+y
2
＝都相切，则
l
的方程为（ ）
B
．
y
＝
2x+
C
．
y
＝
x+1
D
．
y
＝
x+
【分析】根据直线
l
与圆
x
2
+y
2
＝相切，利用选项到圆心的距离等于半径，在将直线与
曲线
y
＝求一解可得答案；
，
解：直线
l
与圆
x
2
+y
2
＝相切，那么直线到圆心（
0
，
0
）的距离等于半径
四个选项中，只有
A
，
D
满足题意；
对于
A
选项：
y
＝
2x+1
与
y
＝
对于
D
选项：
y
＝
x+
与
y
＝
∴直线
l
与曲线
y
＝
故选：
D
．
联立可得：
2x
﹣
联立可得：
x
﹣
+1
＝
0
，此时：无解；
+
＝
0
，此时解得
x
＝
1
；
和圆
x
2
+y
2
＝都相切，方程为
y
＝
x+
，
11
．设双曲线
C
：﹣＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，离心率为．
P
是
C
上一点，且
F
1
P
⊥
F
2
P
．若△
PF
1
F
2
的面积为
4
，则
a
＝（ ）
A
．
1
B
．
2
C
．
4
D
．
8
【分析】利用双曲线的定义，三角形的面积以及双曲线的离心率，转化求解
a
即可．
解：由题意，设
PF
2
＝
m
，
PF
1
＝
n
，可得
m
﹣
n
＝
2a
，
可得
4c
2
＝
16+4a
2
，可得
5a
2
＝
4+a
2
，
解得
a
＝
1
．
故选：
A
．
12
．已知
5
5
＜
8
4
，
13
4
＜
8
5
．设
a
＝
log
5
3
，
b
＝
log
8
5
，
c
＝
log
13
8
，则（ ）
A
．
a
＜
b
＜
c
B
．
b
＜
a
＜
c
C
．
b
＜
c
＜
a
D
．
c
＜
a
＜
b
，
m
2
+n
2
＝
4c
2
，
e
＝
，
【分析】根据，可得
a
＜
b
，然后由
b
＝
log
8
5
＜
0.8
和
c
＝
log
13
8
＞
0.8
，得到
c
＞
b
，再确
定
a
，
b
，
c
的大小关系．
解：∵＝＝
log
5
3
•
log
5
8
＜＝
＜
1
，∴
a
＜
b
；
∵
5
5
＜
8
4
，∴
5
＜
4log
5
8
，∴
log
5
8
＞
1.25
，∴
b
＝
log
8
5
＜
0.8
；
∵
13
4
＜
8
5
，∴
4
＜
5log
13
8
，∴
c
＝
log
13
8
＞
0.8
，∴
c
＞
b
，
综上，
c
＞
b
＞
a
．
故选：
A
．
二、填空题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。
13
．若
x
，
y
满足约束条件则
z
＝
3x+2y
的最大值为
7
．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，
z
＝
3x+2y
表示直线在
y
轴上的截距的一半，只需求出可行域内直线在
y
轴上的截距最大值即可．
解：先根据约束条件画出可行域，由解得
A
（
1
，
2
），
如图，当直线
z
＝
3x+2y
过点
A
（
1
，
2
）时，目标函数在
y
轴上的截距取得最大值时，此
时
z
取得最大值，
即当
x
＝
1
，
y
＝
2
时，
z
max
＝
3
×
1+2
×
2
＝
7
．
更多推荐
利用,数据,分析,已知,证明
发布评论