2024年4月10日发(作者：2021广东省数学试卷解析)
第九讲 计数问题
9.1计数原理
[同步巩固演练]
1、某火车站，上站台有电梯2部，自动梯1部，扶梯3部，试问上站台有多少种不同的走
法？
2、小冬到新华书店买书，他喜欢的数学书有5钟，科幻小说有3种，歌曲集有2钟，数学
书、科幻小说、歌曲集他各买一本有多少种不同的选法？
3、书架上有6本不同的数学书，4本不同的语文书，（1）从中任取一本书，有多少种不同
的取法？（2）数学、语文书各取一本，有多少种不同的取法？
4、王英、赵明、李刚三人报名参加校运动会的跳高、跳远、100米跑和掷垒球四项中的一
项比赛，问报名的结果会出现多少种不同的情形？
5、王芳有四件上衣，三条裤子，两双皮鞋，她能有多少天穿戴装束不同？
6、从A到B有4条路可走，从B到C有3条路可走，从A到C还有2条路可直接到达（如
图）从A到C共有多少种不同的走法？
7、20名同学进行象棋比赛，规则是输的人不能再上场比赛（即淘汰赛）问决出冠军，要赛
多少盘？
8、一排房子有4间房间，房间中住着甲、乙、丙三人，规定每个房间只许住一个人，并且
只允许两个人住在房间连在一起，第三人的房间必须和前两个人隔开，有多少种不同的方
法？
9、某校六年级学生毕业时，30名同学互相赠送各自的照片一张留作纪念，请你统计一下全
班共要赠送多少张照片？
10、在一个十二边形中，可作出多少条对角线？
[能力拓展平台]
1、如图，甲、乙、丙、丁四人坐在一张方桌四边，发5种不同的奖品给他们，要求相邻的
人奖品不同，共有多少种不同的发法？
甲
乙 丁
丙
2、用三种不同的颜色分别给三角形、四边形、五边形的边染色，要求相邻两边不同色，各
有多少种染色方法？
3、用红、黄、蓝三色中的某些颜色去涂下图中的AB、BC、CD这三条线段，每条线段只
能用一种颜色涂，有多少种涂法？
4、甲、乙、丙三个组，甲组5人，乙组7人，丙组4人，如果从三个组中选一个代表，有
多少种选法？如果从每一个组中各选一名代表，有多少种选法？
5、如果把两个连在一起的圆称为一对，那么下图中相连的圆共有多少对？
9.2计数方法
[同步巩固演练]
1、小明有10元，5元，1元，5角，1角的钱币各4张，到“家世界”超市买20元9角的
东西，小明怎样拿可以正好把钱交上，而不用找钱，一共有 种拿法。
2、七人站成一排照相，a，b，c三位好朋友必须站在一起，且均不站两旁。这样的站法共
有几种？
3、有25本相同的书，分成6份，如果每份至少一本，且每份的本数都不相同，有多少种不
同的分法？
4、用5、8、3可以组成多少个没有重复数字的三位数？把它们按照从小到大的顺序排列起
来。
5、用5、0、、2、7可以组成哪些没有重复数字的四位数？一共可以组成多少个？
6、用数字2和3组成数字可以重复的四位数，但其中至少要连续两位都是2或3，问一共
可以组成多少个这样的四位数？
7、把45本连环画，分给9个小朋友，使每个小朋的书数都不一样，应怎样分法？
8、有糖144颗，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于40颗，共有几种分法？
9、三根木棍中，如果任何一根木棍的长小于其它两根木棍长的和，且大于其它两根棍长的
差，则这三根木棍可搭成一个三角形。现在长度分别为3、5、7、9、11的五根木棍，每次
在其中任取3根，可搭成多少种不同的三角形？
10、从1995到5895所有整数中，十位数字与个位数字相同的整数有多少个？
11、数12321，50005，61016，82428…这样的数有一共同的特征，它们倒过来写还是原来
的数，这样的五位偶数有多少个？
[能力拓展平台]
1．五个瓶子都贴有标签，其中恰好贴错了三个，贴错的可能情况有多少种？
2．在所有的三位数中，组成数字的三个数码，既有大于5，又有小于5的数码的自然数共
有多少个？
3．10对夫妇在一次聚会上相遇，每位男宾都与除了自己夫人以外的所有人握手，女宾之间
不握手，他们共握了几次手？
4．某玩具厂生产大小一样的正方体形状的积木，每个面分别涂上红、黄、蓝3种颜色的1
种，每色各涂2个面。当两个积木经过适当的翻动以后，能使各种颜色的面所在的位置相同
时，它们就被看作是同一种积木块。试说明：最多能涂成多少种不同的积木块？
5．有8张卡片，上面分别写有自然数1至8，从中取3张，要使这三张卡片数字之和为9，
有多少种不同的取法？
6．有三个工厂共订了300份报纸，每个工厂订了至少99份，至多101份，一共有多少种不
同的订法？
7．由1、3、5、7、9、11、13、15、17、19十个数组成甲组数；由2、4、6、8、10、12、
14、16、18、20十个数组成乙组数。分别由甲组数与乙组数中各取一数相加，共可得到不
同和的个数是多少？
[全讲综合训练]
1、5个人排成一队，甲不能当排头，乙不能当排尾，共有多少种不同的排法？
2、有6张卡片，分别写有2、3、4、5、6、7，现在从中取出3张卡片，并排放在一起，形
成一个三位数，那么共有多少个不同的三位奇数？
3、用一角币、二角币、五角币各一张，一元币三张，五元币两张，可组成多少种不需找钱
的不同币值？
4、自然数1，2，3，4，…，1001中，所有数码之和是多少？
5、一些四位数，其四个数位上的数字互不相等且都不是0，若四位数上的数字的和为15，
则这样的四位数共有多少个？
6、从1，2，3，4，…，100这100个数中，每次取出两个数，使其和大于100，共有几种
取法？
7、在2、3、4、5、6这五个数字中，取出三个数字组成三位数，这样的三位数可以有很多
个，如果把这些三位数从大到小排列起来，请你想一想，这串数中第51个数除以6的余数
是多少？
8、某铁路线上，原有7个车站（包括起点站和终点站），现在新增加了3个车站，铁路上
两站之间往返的车票都不一样，这样需要增加多少种不同的车票？
9、从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：
（1）有多少个不同乘积？
（2）有多少个不同的乘法算式？
10、在10名学生中间选一个3人代表参加数学竞赛的决赛，使得学生A和B中至少有一个
必须是代表队成员，共有多少种选法？
11、用2、3、4、5这四个数可组成许多没有重复数字的四位数，所有这些四位数的和是多
少？
12、一排房有四个房间，在四个房间中住着甲、乙、丙三人，规定每个房间只许住一人，并
且只允许两个人住的房间挨在一起，第三个人的房间必须和前面两个人隔开，有多少不同的
住法？
13、献爱心小组的一次集会，参加会的人每两人握手一次，共握手36次，这个小组共有多
少人？
14、七个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子至少放一个，不同的放法有多少种？
15、甲、乙、丙、丁四人各有一本作业本混放在一起，四人每人随便拿一本，问：
（1）甲拿到自己作业本的拿法有多少种？
（2）只有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？
（3）至少有一人没有拿到自己作业本的拿法有多少种？
（4）谁也没有拿到自己作业本的拿法有多少种？
16、（全国奥赛决赛题，1998）由1，2，3，4四个数字组成的四位数共有24个，将它们从
小到大排列起来，第18个数等于 。
17、（全国奥赛初赛题，1999）用两个3，一个1，一个2可组成种种不同的四位数，这些
四位数一共有 个。
18、（全国奥赛决赛题，2000）各数位上数码之和是15的三位数有（ ）个。
19、（全国奥赛决赛题，2000）4只小鸟飞入4个不同的笼子里去每只小鸟都有自己的一个
笼子（不同的鸟，笼子也不同），每个笼子只能飞进一只鸟，若都不飞进自己的笼子里去应
有 种不同的飞法。
20、（全国奥赛决赛题，2000）今有长度分别为1厘米、2厘米、3厘米、…9厘米长的木
棍各一根（规定不许折断），从中选用若干根组成正方形，可有 种不同的方法。
21、（全国奥赛初赛题，2001）在1000和9999之间由四个不同的数字组成，而且个位数和
个位数的差（以大数减小数）是2，这样的整数共有 个。
22、（全国奥赛初赛题，2001）某人射击8枪，命中4枪，命中4枪中恰好有3枪连在一起
的情况的种数有 。
23、（全国奥赛初赛题，2001）现有1支、2支、4支、8支，16支的砝码各一个，称东西
时，法码只能放在天平的一边，可以称出 种不同的重量。
24、（全国奥赛初赛题，2002）有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前
面两个数字之和，如257、1459等等，这类数共有 个。
25、（全国奥赛初赛题，2002）四个装药用的瓶子都贴了标签，其中恰好有三个贴错了，那
么错的情况共有 种。
第九讲 计数问题
9.1计数原理
[同步巩固演练]
1、6种
2+1+3=6（种）
2、10种
5+3+2=10（种）
3、（1）10种 （2）24种
（1）6+4=10（种） （2）6×4=24（种）
4、12种
3×4=12（种）
5、24天
4×3×2=24（天）
6、14种
3×4+2=14（种）
7、19场
20-1=19（场）
8、12种
对于甲来讲，他有4个位置可选，如果他选在第一个（或第四个）位置，则乙、丙还有
4种选法，即甲、乙相连，甲、丙相连，乙、丙相连（考虑顺序有两种）。如果甲选在第二
（或第三），则乙、丙只有2种选法，所以共有4×2+2×2=12（种）
9、870张
29×30=870（张）
10、54条
12×9÷2=54（条）
[能力拓展平台]
1、260种
（1）当甲、丙相同时，共有5×4×4=80（种）
（2）当甲、丙不同时，共有5×4×3×3=180（种）
共有80+180=260（种）
2、6种，18种，24种
（1）3×2×1=6（种）；（2）对边相同3×2×2=12（种），对边不3×2×1×1=6（种）
共有12+6=18（种）；（3）3×2×2+3×2×2=24（种）
3、27种
3×3×3=27（种）
4、16种，140种
5+7+4=16（种），5×7×4=140（种）
5、18对
用枚举法做。
9.2计数方法
[同步巩固演练]
1、5种
可以先用币值较大的钱币开始枚举，如下表：
①
②
③
④
10元 5元 1元 5角 1角
2
1
1
0
0
2
1
4
0
0
4
0
1
1
3
1
4
4
4
4
⑤ 0 3 4 3 4
因此，一共有5种拿法。
2、432种
为方便计算，我们可以把a、b、c三人看作一人来计算，即共5人站成一排，且只能站
中间3个位置，那么这样的站法共有3×4×3×2×1=72（种），而a、b、c三人站在一起
的不同站法又有3×2×1==（种），即所求的不同站法共有72×6=432（种）
3、5种
我们采用列举法：（1）1，2，3，4，5，10；（2）1，2，3，4，6，9；（3）1，2，3，
4，7，8；（4）1，2，3，5，6，8；（5）1，2，4，5，6，7共5种。
4、6个
358＜385＜538＜583＜835＜853
5、18个
用树形图解
6、10个
将题目要求的数分为三类。
（1）连续四位都是2或3有：2222和3333两个；
（2）连续三位都是2或3有：2223、3222，3332，2333四个；
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