幂函数的定义

2023年12月21日发(作者：石家庄初三数学试卷推荐)

高中数学

编稿老师

幂函数的定义

李斌 一校 张小雯 二校 黄楠 审核 孙溢

【考点精讲】

1. 幂函数的概念：一般地，我们把形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数。

注意：幂函数与指数函数的区别。

2. 幂函数的性质：

（1）幂函数的图象都过点 ；任何幂函数都不过 象限；

（2）当0时，幂函数在[0,)上 ；当0时，幂函数在(0,)上 ；

（3）当2,2时，幂函数是 ；当1,1,3,时，幂函数是 。

13【典例精析】

例题1

已知 f（x）＝m22mxm2m1， m为何值时，f（x）是：

（1）正比例函数？

（2）反比例函数？

（3）二次函数？

（4）幂函数？

（5）在（4）的条件下，满足在（0，＋∞）上单调递增？

思路导航：本题考查函数的定义，需要注意幂函数的系数必须为1。

2m＋m－1＝1，答案：（1）若f（x）为正比例函数，则2⇒m＝1。

m＋2m≠0

m2＋m－1＝－1，（2）若f（x）为反比例函数，则2⇒m＝－1。

m＋2m≠02m＋m－1＝2，－1±13（3）若f（x）为二次函数，则2⇒m＝。

2m＋2m≠0

（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±2。

（5）若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，mm10，∴m＝－1－2。

例题2 已知幂函数f（x）＝x上是减函数，求满足(a1)m3m22m32（m∈N*）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）m3＜(32a)的a的取值范围。

思路导航：解答此类问题可分为两步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求

出m的值或范围；第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围。答案：∵函数在（0，＋∞）上递减，

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∴m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3。

∵m∈N*，∴m＝1，2。

又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，

而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，

∴m＝1。

而f(x)x∴(a1)1313在（－∞，0），（0，＋∞）上均为减函数，

13(32a)等价于a＋1＞3－2a＞0

或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a。

23解得a＜－1或＜a＜。

3223故a的取值范围为{a|a＜－1或＜a＜}。

32点评：本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体，综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质。

x例题3 已知m∈N*，函数f（x）＝（2m－m2）·判断函数f（x）的奇偶性。

aa2m23m2在（0，＋∞）上是增函数，思路导航：（1）幂函数y＝x的特点：①系数必须为1；②指数必须为常数。

（2）幂函数的单调性：①当α>0时，y＝x在（0，＋∞）上为增函数；②当α<0时，y＝x在（0，＋∞）上为减函数。

答案：由函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

222m＋3m－2>0，2m＋3m－2<0，得或

2m－m2>0，2m－m2<0，a

11m>2或m<－2，－2

02或m<0，1∴

2∵m∈N*，∴m＝1.此时f（x）＝x3，x∈R。

∵f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），

∴函数f（x）为奇函数。

【总结提升】

要注意幂函数与指数函数的区别，它们的解析式有如下区别：幂函数——底数是自变量，指数是常数；指数函数——指数是自变量，底数是常数。

（答题时间：15分钟）

1. 已知幂函数y＝f（x）通过点（2，22），则幂函数的解析式为（ ）

51131A. y＝2x2 B. y＝x2 C. y＝x2 D. y＝x2

22. 下列命题中正确的是

（ ）

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A. 当0时函数yx的图象是一条直线

B. 幂函数的图象都经过点（0，0）和（1，1）

C. 若幂函数yx是奇函数，则yx是定义域上的增函数

D. 幂函数的图象不可能出现在第四象限

3. 已知（0.71.3）m＜（1.30.7）m，则实数m的取值范围是（ ）

A.（0，＋∞） B.（1，＋∞） C.（0，1） D.（－∞，0）

4. 已知幂函数f（x）＝xm的部分对应值如表所示，则不等式f（|x|）≤2的解集为（ ）

x

f（x）

A. {x|0

1

1

B. {x|0≤x≤4}

1

22

2C. {x|－2≤x≤2} D. {x|－4≤x≤4}

5. 设x∈（0，1），幂函数y＝xa的图象在直线y＝x的上方，则实数a的取值范围是______。

6. 已知函数f(x)x2mf（x）的解析式。

2m3（m∈Z）为偶函数，且f（3）

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1. C 解析：设y＝xα，则由已知得，22＝2α，

33即2＝2，∴α＝，∴f（x）＝x2。

232α2. D 解析：A错，当0时函数yx的图象是一条直线（去掉点（0，1））；B错，如幂函数yx的图象不过点（0，0）；C错，如幂函数yx在定义域上不是增函数；D正确，当x0时，x0。

3. A 解析：因为0＜0.71.3＜0.70＝1，

1.30.7＞1.30＝1，

∴0＜0.71.3＜1.30.7。

又（0.71.3）m＜（1.30.7）m，

∴函数y＝xm在（0，＋∞）上为增函数，故m＞0。

4. D 解析：由表中数值，可先求出m的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可。

121m1由（）＝，得m＝，∴f（x）＝x2，

22211∴f（|x|）＝x，

又∵f（|x|）≤2，∴x≤2，即|x|≤4，

∴－4≤x≤4。

5. （－∞，1） 解析：由幂函数的图象知a∈（－∞，1）。

6. 解：∵f（x）是偶函数，∴2mm3应为偶数。

又∵f（3）

352m2m31。

3。

2∴2mm30，解得1m又∵m∈Z，∴m＝0或1。

当m＝0时，2mm33为奇数（舍去）；

当m＝1时，2mm32为偶数。

故m的值为１，解析式为f(x)x。

解析：函数f(x)x2m2m3222（m∈Z）为偶函数，已限定了2mm3必为偶数，2又m∈Z，f（3）

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