2024年3月15日发(作者：2017贵州模拟数学试卷)
2023北京西城高三二模
数 学
2023.5
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题 共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）复数
z=i(1+i)
的虚部为
（A）
1
（C）
i
（B）
−1
（D）
−i
B=
（2）已知集合
A={x|−1
≤
x
≤
1}
，
B={x|3
x
1}
，则
A
（A）
[−1,0)
（C）
[−1,1]
（B）
(−,0)
（D）
(−,1]
（
3
）已知抛物线
C
与抛物线
y
2
=4x
关于
y
轴对称，则
C
的准线方程是
（A）
x=−2
（C）
x=−1
（B）
x=2
（D）
x=1
（
4
）在
△ABC
中，
AB=AC=1,A=90
，则
ABBC=
（A）
1
（C）
2
2
（5）设
a=lg
，
b=
3
（B）
−1
（D）
−2
lg3lg2
，
c=
1
lg6
，则
2
（A）
abc
（C）
acb
（B）
bac
（D）
bca
（
6
）将边长为
2
的正方形
ABCD
沿对角线
AC
折起，折起后点
D
记为
D
．若
BD
=2
，
则四面体
ABCD
的体积为
（A）
22
3
（B）
2
3
（C）
22
（D）
2
（7）已知数轴上两点
O,P
的坐标为
O(0),P(70)
，现
O,P
两点在数轴上同时相向运动．点
O
的运动规律
为第一秒运动
2
个单位长度，以后每秒比前一秒多运动
1
个单位长度；点
P
的运动规律为每秒运动
5
个单位长度．则点
O,P
相遇时在数轴上的坐标为
（A）
(40)
（B）
(35)
（C）
(30)
（D）
(20)
（
8
）已知函数
f(x)=sin(x+
)
．则“
f(−1)=f(1)
”是“
f(x)
为偶函数”的
（A）充分而不必要条件
（C）充分必要条件
（B）必要而不充分条件
（D）既不充分也不必要条件
（
9
）某放射性物质的质量每年比前一年衰减
5%
，其初始质量为
m
0
，
10
年后的质量为
m
，则下列各数中与
m
m
0
最接近的是
（B）
65%
（D）
55%
（A）
70%
（C）
60%
（10）在坐标平面内，横、纵坐标均为整数的点称为整点．点
P
从原点出发，在坐标平面内跳跃行进，
每次跳跃的长度都是
5
且落在整点处．则点
P
到达点
Q(33,33)
所跳跃次数的最小值是
（A）
9
（C）
11
（B）
10
（D）
12
第二部分
（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（
11
）函数
f(x)=
1
+x−1
的定义域为
____
．
x−2
（
12
）设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
=
n
的最小值为
____
．
1
1
99
，
a
2
=
，则
a
5
=
____
；使
S
n
≥
成立的
2
4
100
（
13
）在
△ABC
中，若
a=2
，
tanA=−
，
cosB=
，则
b=
____
．
（
14
）已知两点
F
1
(−1,0),F
2
(1,0)
．点
P(cos
,sin
)
满足
|PF
1
|−|PF
2
|=2
，则
△PF
1
F
2
的面积是
____
；
的
一个取值为
____
．
（
15
）已知直线
l
:y=kx+b
和曲线
C
:y=
1
，给出下列四个结论：
1+x
2
4
3
4
5
①
存在实数
k
和
b
，使直线
l
和曲线
C
没有交点；
②
存在实数
k
，对任意实数
b
，直线
l
和曲线
C
恰有
1
个交点；
③
存在实数
b
，对任意实数
k
，直线
l
和曲线
C
不会恰有
2
个交点；
④
对任意实数
k
和
b
，直线
l
和曲线
C
不会恰有
3
个交点．
其中所有正确结论的序号是
____
．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在直三棱柱
ABC−A
1
B
1
C
1
中，
M,N,P
分别为
AB,BC,A
1
B
1
的中点．
（Ⅰ）求证：
BP∥
平面
C
1
MN
；
（Ⅱ）若
AB⊥AC,AA
1
=AB=AC=2
，求直线
B
1
C
1
与平面
C
1
MN
所成角的正弦
值．
（17）（本小题14分）
已知函数
f(x)=sin(2x+
)+cos2x
，其中
|
|
知，使
f(x)
存在，并完成下列两个问题．
（Ⅰ）求
的值；
ππ
（Ⅱ）当
x
[−,]
时，若曲线
y=f
(x)
与直线
y=m
恰有一个公共点，求
m
的取值范围．
63
π
条件①：
f()=−1
；
6
π
．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已
2
条件②：
−
π
是
f(x)
的一个零点；
12
π
条件③：
f(0)=f()
．
3
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
（18）（本小题13分）
体重指数（
BodyMassIndex
，简称
BMI
）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知
W
，其中
W
表示体重（单位：
kg
），
H
表示身高（单位：
m
）．对成人，若
BMI
≥
28
，则身体处
H
2
于肥胖状态．
BMI=
某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取
30
人，测量他们的体重（单位：
kg
）和身高
（单位：
cm
），得到如下散点图（图中曲线表示
BMI=28
时体重和身高的关系）．
假设用频率估计概率．
（Ⅰ）该企业员工总数为
1500
人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；
（Ⅱ）从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取
3
人，设其中体重在
80kg
以上的人数
为
X
，估计
X
的分布列和数学期望
EX
；
（Ⅲ）从样本中身高大于或等于
a
(a{155,160,165,170,175,180})
的员工中随机抽取
1
人，若
其身体处于肥胖状态的概率小于
10%
，写出
a
的所有可能取值．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
x
2
y
2
已知椭圆
E:
2
+
2
=1(ab0)
的短轴长为
22
，一个焦点为
F
1
(−2,0)
．
ba
（Ⅰ）求椭圆
E
的方程和离心率；
（Ⅱ）设直线
l
:x−my−2=0
与椭圆
E
交于两点
A,B
，点
M
在线段
AB
上，点
F
1
关于点
M
的对称点为
C
．当四边形
AF
1
BC
的面积最大时，求
m
的值．
（20）（本小题15分）
已知函数
f(x)=x
2
+ln(x+1)
．
1
（Ⅰ）求
f(x)
在区间
[−,0]
上的最大值和最小值；
2
（Ⅱ）若
(e
x
+a
cos
x
)
f
(
x
)
≥
0
恒成立，求实数
a
的值．
（21）（本小题15分）
给定奇数
n
≥
3
，设
A
0
是
nn
的数阵．
a
ij
表示数阵第
i
行第
j
列的数，
a
ij
=
(i=1,2,,n;j=1,2,
1 或−1, ij,
且
a
ij
=a
ji
0, i=j,
,n)
．定义变换
t
为“将数阵中第
t
行和第
t
列的数都乘以
−1
”，其中
t{1,2,
,n},r=1,2,
,n}
．
设
T=(t
1
,t
2
,
A
2
，
,t
s
),t
r
{1,2,,s(sN
*
)
．将
A
0
经过
t
1
变换得到
A
1
，
A
1
经过
t
2
变换得到
，
A
s−1
经过
t
s
变换得到
A
s
．记数阵
A
r
中
1
的个数为
T
A
0
(r)
．
01−1
（Ⅰ）当
n=3
时，设
A
0
=
101
，
T=(1,3)
，写出
A
1
,A
2
，并求
T
A
0
(1),T
A
0
(2)
；
−110
（Ⅱ）当
n=5,s
≥
2
时，对给定的数阵
A
0
，证明：
T
A
0
(2)−T
A
0
(1)
是
4
的倍数；
(n−1)
2
（Ⅲ）证明：对给定的数阵
A
0
，总存在
T
，使得
T
A
0
(
s)
≤
．
2
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