2024年3月15日发(作者：金太阳2016年数学试卷)

2023年北京市东城区中考二模数学试题

学校

:___________

姓名：

___________

班级：

___________

考号：

___________

一、单选题

1

．据报道：中国铁路营业里程从

2012

年的

9.8

万公里增长到

2022

年的

15.5

万公里，其

中高铁从

0.9

万公里增长到

4.2

万公里，稳居世界第一．将数字

155000

用科学记数法表

示应为（）

B

．

1.5510

5

C

．

1.5510

6

D

．

15510

3

A

．

0.15510

6

2

．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）

A

．三棱柱

B

．四棱柱

C

．圆柱

D

．圆锥

3．在平面直角坐标系中，已知点

A

3,2

,B

5,2

，将线段

AB

平移得到线段

CD

，若点

A

的对应点

C

的坐标是

(

-1,2

)

，则点

B

的对应点

D

的坐标是（

A．

1,2

B．

(

2,-1

)

C．

9,2

）

）

D．

2,1

4

．下列正多边形中，一个内角为

120

的是（

A．B．C．D．

5

．如图，在

ABC

中，

BDAC

于点

D

，

CE

AB

于点

E,BD

和

CE

交于点

O

，则下列

结论不正确的是（

．．．

）

A

．

12

B

．

1590

C

．

3

4

D

．

534

试卷第1页，共8页

6

．下列运算结果正确的是（

A．

(a)

2

a

2

）

C．

(a2)

2

a

2

4

D．

3aa4

B．

a

6

a

2

a

3

7

．小红参加

“

建团百年，我为团旗添光彩

”

主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分

分别是

8

分、

8

分、

9

分．若将三项得分依次按

2:4:4

的比例确定最终成绩，则小红的

最终比赛成绩为（

A

．

8.3

分

）

B

．

8.4

分

C

．

8.5

分

D

．

8.6

分

8

．两个变量满足的函数关系如图所示．

①某人从家出发，沿一条笔直的马路以每分钟

45

米的速度到离家

900

米的报亭，在报

亭看报

10

分钟，然后以每分钟

60

米的速度原路返回家．设所用时间为

x

分钟，离家的

距离为

y

米；

②有一个容积为

900

毫升的空瓶，小张以

45

毫升

/

秒的速度向这个空瓶注水，注满后停

止，

10

秒后，再以

60

毫升

/

秒的速度倒空瓶中的水．设所用时间为

x

秒，瓶内水的体积

为

y

毫升；

③某工程队接到一项修路的工程，最初以每天修路

45

米的速度工作了

20

天，随后因为

天气原因停工了

10

天，为能尽快完成工作，后期以每天修路

60

米的速度进行工作，这

样又经过了

15

天完成了整个工程．设所用时间为

x

天，完成的修路长度为

y

米．

在以上实际情境中，符合图中函数关系的是（

A

．①②

B

．①③

）

D

．①②③

C

．②③

二、填空题

9．若二次根式

x2

有意义，则x的取值范围是___．

10

．分解因式：

2x

2

﹣

8=_______

11．请写出一个大于

2

且小于

10

的整数：________．

12

．如图，

AB

是

O

的直径，弦

CD

交

AB

于点

E

，连接

AC

，

AD

．若

BAC28

，则

D

______°

试卷第2页，共8页

如图，在

ABC

和

DEF

中，点

A

，

E

，

B

，

D

在同一直线上，

AC∥DF

，

ACDF

，

13

．

只添加一个条件：

____________

能判定

△ABC≌△DEF

．

14

．质检部门对某批产品的质量进行随机抽检，结果如下表所示：

抽检产品数n

合格产品数m

合格率

m

n

100

89

0.890

150

134

0.893

200

179

0.895

250

226

0.904

300

271

0.903

500

451

0.902

1000

904

0.904

在这批产品中任取一件，恰好是合格产品的概率约是（结果保留一位小数）

_____________．

15．古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，

借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻

测得OA是268米，则金字塔的高度BO是________米．

16．将15个编号为1~15的小球全部放人甲、乙、丙三个盘子内，每个盘子里的小球不

少于4个，甲盘中小球编号的平均值为3．

（1）写出一种甲盘中小球的编号是_________；

试卷第3页，共8页

（

2

）若乙、丙盘中小球编号的平均值分别为

8

，则乙盘中小球的个数可以是

_________

．

13

，

三、解答题

1

17．计算：

8



2

1

2sin45

．

2

3

1

x

y

2

18．解方程组：

．

x

2

y

5

19

．已知：如图，点

P

和

O

．

求作：直线

PA

，使得

PA

与

O

相切于点

A

．

1

作法：（1）连接

OP

，分别以点

O

和点

P

为圆心，大于

OP

的长为半径作弧，两弧交于

2

C,D

两点；

（

2

）作直线

CD

，交

OP

于点

B

；

（

3

）以点

B

为圆心，以

OB

长为半径作

B

，与

O

相交，其中一个交点为点

A

；

（

4

）作直线

PA

．

直线

PA

即为所求作．

；

(1)

使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）

(2)

完成下面的证明．

证明：由作法可知，点

B

为线段

OP

的中点．连接

OA

．

∵

OP

为

B

的直径，

∴

OAP

_________

（

_________

）（填推理的依据）．

∴

OAPA

．

∵点

A

在

O

上，

∵

PA

是

O

的切线（

_________

）（填推理的依据）．

a

a

2

4

20．先化简，再求值：

1

，其中

a4

．

2

a

2

a

4

a

4

21

．如图，在

ABC

中，

ABAC

，点

D

为

BC

中点，过点

A,C

分别作

BC,AD

的平行

线，相交于点

E

．

试卷第4页，共8页

(1)

求证：四边形

ADCE

为矩形；

(2)连接

BE,DE

，若

tan

CBE

22．如图，函数

y

4

,

CD

3

，求

AB

的长．

3

m

1

(

x

0)

的图像

G

与直线

yx

1

交于点

P

，点

P

的纵坐标为4，

x

2

PAx

轴，垂足为点

A

．

(1)

求

m

的值；

(2)点

M

是图像

G

上一点，过点

M

作

MBAP

于点

B

，若

PB

1

，求点

M

的坐标．

BM

2

23

．如图，

O

的直径

AB

与弦

CD

相交于点

E

，且

CEDE

，点

F

在

AB

的延长线上，

连接

OC,DF,FC

．

(1)

求证：

DF

是

O

的切线；

(2)

若

OE2BE,BF2

，求

O

半径的长．

24

．

2022

年

10

月

16

日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕，

习近平代表第十九届中央委员会向大会作报告，报告提出要加快建设农业强国．某农业

试卷第5页，共8页

学家在光照、降水量等条件接近的不同地区对几种不同的玉米进行产量实验，得出的部

分数据（单位：

kg/hm

2

）如下表．

注：

1hm

2

表示

10000

平方米，即

1

公顷．

品种

A

低海拔区

高海拔区

9843

7800

品种

B

8650

7267

品种

C

7996

7533

品种

D

7705

7867

品种

E

7506

6333

品种

F

7437

6400

品种

G

6517

5874

品种

H

5398

5201

(1)请补全条形统计图：

(2)8个品种的玉米在低海拔区产量的中位数为_________，不同品种的玉米产量总体趋

势在_________（填“低”或“高”）海拔区更加稳定；

(3)已知气温和含氧量都会影响玉米的产量，下列三种方案中，选择哪两种方案进行组合

可以判断哪一种因素对玉米产量的影响较大，

a．将两个不同品种的玉米分别种植在两个温室中，两个温室气温相同，氧气浓度不同，

在其他条件相同的情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米

产量的平均值，并比较；

b．将同一品种玉米种植在气温相同，氧气浓度不同的两个温室中，在其他条件相同的

情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并

比较；

c．将同一品种玉米种植在气温不同，氧气浓度相同的两个温室中，在其他条件相同的

情况下记录每个温室的玉米产量，重复多次实验，求出每个温室玉米产量的平均值，并

比较．

25．某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围

栏周长为

m

米，对于

m

的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如

下．

请你补全探究过程．

试卷第6页，共8页

(1)

建立函数模型：

设矩形相邻两边的长分别为

x,y

．由矩形的面积为4，得

xy4

，即

y

得

2

xy

m

，即

yx

限内交点的坐标；

(2)

画出函数图象：

函数

y

m

4

(x

0)

的图象如图所示，而函数

yx

的图象可由直线

yx

平移得

2

x

4

；由周长为

m

，

x

m

．满足要求的

x,y

应是两个函数图象在第_________象

2

到．请在同一平面直角坐标系

xOy

中画出直线

yx

；

(3)

平移直线

yx

，观察函数图象：

当直线平移到与函数

y

m

4

(x

0)

的图象有唯一交点

2,2

时，直线

yx

与

y

轴交

2

x

点的纵坐标为

_________

；

(4)

得出结论：

若围出面积为

4

平方米的矩形围栏，则周长

m

的最小值为

_________

米，此时矩形相邻

两边的长分别为

_________

米、

_________

米．

2

26．在平面直角坐标系

xOy

中，抛物线

yaxbx1

a0

的对称轴是直线

x3

．

；

(1)

求出该抛物线的顶点坐标（用含

a

的式子表示）

(2)当

a0

时，对于任意的正数

t

，若点

3t,y

1

,

32t,y

2

在该抛物线上，则

y

1

_________

y

2

（填“>”“<”或“=”）；

(3)已知点

A

0,3

,B

7,3

．若该抛物线与线段

AB

恰有一个公共点，求

a

的取值范围．

，点

F27

．如图，在菱形

ABCD

中，

BAD60

，

E

是

AB

边上一点（不与

A

，

B

重合）

与点

A

关于直线

DE

对称，连接

DF

．作射线

CF

，交直线

DE

于点

P

，设

ADP

．

试卷第7页，共8页

(1)

用含

的代数式表示

DCP

；

(2)

连接

AP，AF

．求证：

APF

是等边三角形；

(3)

过点

B

作

BGDP

于点

G

，过点

G

作

CD

的平行线，交

CP

于点

H

．补全图形，猜想

线段

CH

与

PH

之间的数量关系，并加以证明．

28

．已知线段

PQ

是

G

的弦，点

K

在直线

PQ

上．对于弦

PQ

和点

K

，给出如下定义：

若将弦

PQ

绕点

K

逆时针旋转

0

180

得到线段

P

Q

，恰好也是

G

的弦，则称

弦

PQ

关于点

K

中心映射，点

K

叫做映射中心，

叫做映射角度．

(1)

如图

1

，点

G

是等边

ABC

的中心，作

G

交

AB

于点

P,Q

．在

A,B,C

三点中，弦

PQ

关于点

_________

中心胦射；

3

(2)如图2，在平面直角坐标系

xOy

中，直线

yx

3

与

x

轴交于点

E

，与

y

轴交于点

4

F

，

OEF

的角平分线交

y

轴于点

D

．若

D

与线段

EF

相交所得的弦关于点

E

中心映

射，直接写出

D

的半径

r

的取值范围；

O

的半径为

2

，线段

MN

是

O

的弦．对于每一条弦

MN

，

(3)

在平面直角坐标系

xOy

中，

都有相应的点

H

，使得弦

MN

关于点

H

中心映射，且映射角度为

60

．设点

H

到点

O

的

距离为

d

，直接写出

d

的取值范围．

试卷第8页，共8页

参考答案：

1

．

B

【分析】科学记数法的表示形式为

a

10

n

的形式，其中

1

a

10

，

n

为整数．确定

n

的

值时，要看把原数变成

a

时，小数点移动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相同．当

原数绝对值

10

时，

n

是正数；当原数的绝对值

1

时，

n

是负数．据此可得出结果．

【详解】解：

1550001.5510

5

，

故选：

B

．

【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定

a

的值以及

n

的值是本题的关键．

2

．

D

【分析】根据几何体的展开图可进行求解．

【详解】解：由图可知该几何体是圆锥；

故选

D

．

【点睛】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．

3

．

A

【分析】根据点

A

、

C

的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．

【详解】解：∵点

A

3,2

的对应点

C

的坐标为

(

-1,2

)

，

∴平移规律为向左平移

4

个单位，

∴

B

5,2

的对应点

D

的坐标为

1,2

．

故选：

A

．

【点睛】本题考查了坐标与图形变化

-

平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移

减；纵坐标上移加，下移减．

4

．

C

【分析】根据正多边形内角和可进行求解．

【详解】解：

A

、正方形的一个外角为

360490

，所以其内角为

1809090

，故不符

合题意；

B

、正五边形的一个外角为

360572

，所以其内角为

18072108

，故不符合题意；

C

、正六边形的一个外角为

360案6=60

，所以其内角为

18060120

，故符合题意；

D

、正八边形的一个外角为

360845

，所以其内角为

18045135

，故不符合题意；

故选

C

．

答案第

1

页，共

20

页

【点睛】本题主要考查正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和是解题的关键．

5

．

C

【分析】根据垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质可进行求解．

【详解】解：∵

BDAC

，

CE

AB

，

∴

BECBDC90

，

∴

152DOC90

，

∵

5DOC

，

∴

12

，故

A

、

B

正确；

由三角形外角的性质可知

534

，故

D

正确；

题干中并未给出

∠ABCACB

，所以无法得出

3

4

；故

C

错误；

故选

C

．

【点睛】本题主要考查垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质，熟练

掌握垂直的定义、直角三角形的两个锐角互余及三角形外角的性质是解题的关键．

6

．

A

【分析】根据同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方可进行求解．

【详解】解：A、

(a)

2

a

2

，正确；

B

、

a

6

a

2

a

4

，原计算错误；

C、

(a2)

2

a

2

4a4

，原计算错误；

D

、

3aa4a

，原计算错误；

故选

A

．

【点睛】本题主要考查同底数幂的除法、完全平方公式及积的乘方，熟练掌握各个运算是解

题的关键．

7

．

B

【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．

【详解】解：根据题意得：

8

2

8

4

9

4

8.4

（分）．

2

4

4

故小明的最终比赛成绩为

8.4

分．

故答案为：

B

．

【点睛】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和

“

权重

”

的理解是解题

答案第

2

页，共

20

页

的关键．

8

．

A

【分析】根据函数图象及题意可直接进行求解．

900

【详解】解：由图象可知：当

0x20

时，此函数为正比例函数，比例系数为

20

45

；当

20x30

时，函数值没有发生变化；当

30x45

时，

y

随

x

的增大而减小，比例系数为

900

60

，所以通过函数图象可知情境①②符合该函数图象所表示的意义，③不符合；

45

30

故选

A

．

【点睛】本题主要考查函数图象，熟练掌握函数图象所给的信息是解题的关键．

9

．

x2

【详解】解：根据题意，使二次根式

解得：

x≥2

．

故答案为：

x≥2

．

【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键．

x2

有意义，即x﹣2≥0，

（

x

﹣

2

）

10

．

2

（

x+2

）

【分析】先提公因式，再运用平方差公式．

【详解】

2x

2

﹣

8

，

，

=2

（

x

2

﹣

4

）

（

x

﹣

2

）．

=2

（

x+2

）

【点睛】考核知识点：因式分解

.

掌握基本方法是关键．

11

．

2

（或

3

）

【分析】根据实数的估算即可求解．

【详解】解：因为

122,3104

所以大于

2

且小于

10

的整数有2，3．

故答案为：

2

（或

3

）．

【点睛】此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的性质．

12

．

62

CB

，可得【分析】连接

BD

，根据直径所对的圆周角是90°，可得

ADB90

，由

CB

答案第

3

页，共

20

页

BACBDC

，进而可得

ADC90BDC

．

【详解】解：连接

BD

，

∵

AB

是

O

的直径，

∴

ADB90

，

CB

，

CB

BACBDC28

，

ADC90BDC

62

故答案为：

62

【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是

解题的关键．

13

．

ABDE

或

CF

或

ABCDEF

（填写一个即可）

【分析】根据全等三角形的判定定理可进行求解．

【详解】解：∵

AC∥DF

，

∴

AD

，

∵

ACDF

，

∴当添加

ABDE

时，则可根据

“

SAS

”

判定

△ABC≌△DEF

；

当添加

CF

时，则可根据

“

ASA

”

判定

△ABC≌△DEF

；

当添加

ABCDEF

时，则可根据

“

AAS

”

判定

△ABC≌△DEF

；

故答案为

ABDE

或

CF

或

ABCDEF

（填写一个即可）．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

14

．

0.9

【分析】根据表中给出的合格率数据即可得出该产品的合格概率．

【详解】解：根据题意得：该产品的合格率大约为

0.9

，

答案第

4

页，共

20

页

∴恰好是合格产品的概率约是

0.9

．

故答案为：

0.9

【点睛】本题考查利用频率估计概率的知识，训练了从统计表中获取信息的能力及统计中用

样本估计总体的思想．

15

．

134

【分析】在同一时刻物高和影子成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的

太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，根据相似三角形的性质即可得．

【详解】解：∵

BF∥ED

，

∴

BAOEDF

，

∵

AOBDFE90

，

∴

△ABO∽△DEF

，

EFAO∶FD

，∴

BO∶

2268∶4

，∴

BO∶

∴

BO134

，

故答案为：

134

．

【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是了解：同一时刻物高和影长成正比．

16

．

1

号，

2

号，

3

号，

6

号（答案不唯一）

7

或

5

【分析】（

1

）根据每个盘子里的小球不少于

4

个，甲盘中小球编号的平均值为

3

，列出一种

情况即可得出答案；

（

2

）通过设甲盘中有

x

个球，乙盘有

y

个球，丙盘中有

z

个球（

x

、

y

、

z

都是不小于

4

的正

整数）即可得到方程组，进而问题可求解．

【详解】解：（1）∵每个盘子里的小球不少于4个，甲盘中小球的平均值为3，且

∴甲盘中小球的编号可能是：

1

号，

2

号，

3

号，

6

号；

故答案为

1

号，

2

号，

3

号，

6

号（答案不唯一）；

（

2

）设甲盘中有

x

个球，乙盘有

y

个球，丙盘中有

z

个球（

x

、

y

、，

z

都是不小于

4

的正整数）

由题意得：

1

2

3

6

3

，

4

3

x

8

y

13

z

1

2

3

....

15

，

x

y

z

15

消去

x

得：

5y10z75

，即

y2z15

，

答案第

5

页，共

20

页

∴当

z4

时，则

y7

，此时

x4

符合题意；

当

z5

时，则

y5

，此时

x5

符合题意；

当

z6

时，则

y3

，此时

x6

不符合题意，舍去；

∴乙盘中小球的个数可以是

7

或

5

；

故答案为

7

或

5

．

【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及平均数，熟练掌握三元一次方程组的应用及

平均数是解题的关键．

17

．

22

【分析】根据立方根、负指数幂及特殊三角函数值可进行求解．

【详解】解：原式

2

2

2

1

2

2

2

22

．

【点睛】本题主要考查立方根、负指数幂及特殊三角函数值，熟练掌握各个运算是解题的关

键．

x

3

18．

y

1

【分析】方程组利用加减消元法求出解即可，把②

-

①消去

x

，求出

y

的值，再把求得的

y

的值代入①，求出

x

的值即可．

x

y

2

①

【详解】解：

，

x

2

y

5

②

②

-

①得：

3y=3

，

解得：

y=1

，

把

y=1

代入①得：

x=3

，

x

3

则方程组的解为

y

1

【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其

中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个

方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．

19

．

(1)

见解析

(2)

90

；直径所对的圆周角是直角；切线的判定定理

答案第

6

页，共

20

页


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