2024年3月31日发(作者：河南期末考试卷数学试卷)
专题
18
解析几何中的双曲线问题
【高考真题】
1
．
(2022·
北京
)
已知双曲线
y
2
x
2
3
1
的渐近线方程为
yx
，则
m
__________
．
m3
2
x
2
x
2
2
1
．答案
3
解析 对于双曲线
y
1
，所以
m0
，即双曲线的标准方程为
y1
，则
a1
，
mm
13
x
2
3a3
又双曲线
y
所以
，即，解得
m3
；
bm
，
1
的渐近线方程为
yx
，
3
b3
m3
m
2
故答案为
3
．
2
．
(2022·
全国甲理
)
若双曲线
y
2
．答案
2
x
2
m
2
22
1(m0)
的渐近线与圆
xy4y30
相切，则
m
_________
．
x
3x
2
2
解析 双曲线
y
2
1
m0
的渐近线为
y
，即
xmy0
，不妨取
xmy0
，圆
m
3
m
2
x
2
y
2
4y30
，即
x
2
y2
1
，所以圆心为
0,2
，半径
r1
，依题意圆心
0,2
到渐近线
xmy0
的距离
d
2m
1m
2
1
，解得
m
333
或
m
（舍去）．故答案为．
33
3
x
2
y
2
3
．
(2022·
全国甲文
)
记双曲线
C:
2
2
1(a0,b0)
的离心率为
e
，写出满足条件“直线
y2x
与
C
无
ab
公共点”的
e
的一个值
______________
．
3
．答案
2
（满足
1e5
皆可） 解析
C:
x
2
a
2
y
2
b
2
1(a0,b0)
，所以
C
的渐近线方程为
y
b
x
,
a
b
b
2
结合渐近线的特点，只需
02
，即
2
4
，可满足条件
“
直线
y2x
与
C
无公共点
”
，所以
a
a
cb
2
e1
2
145
，又因为
e1
，所以
1e5
，故答案为
2
（满足
1e5
皆可）
a
a
4
．
(2022·
全国乙理
)
双曲线
C
的两个焦点为
F
1
,F
2
，以
C
的实轴为直径的圆记为
D
，过
F
1
作
D
的切线与
C
3
的两支交于
M
，
N
两点，且
cosF
1
NF
2
，则
C
的离心率为
(
)
5
3
A
．
5
B
．
C
．
13
D
．
17
2
2
2
2
4
．答案
C
解析 依题意不妨设双曲线焦点在
x
轴，设过
F
1
作圆
D
的切线切点为
G
，所以
OGNF
1
，
因为
cosF
1
NF
2
3
0
，所以
N
在双曲线的右支，所以
OGa
，
OF
1
c
，
GF
1
b
，设
F
1
NF
2
，
5
334ab
，即
cos
，则
sin
，
sin
，
cos
，在
F
2
F
1
N
中，
555c
c
4b3a3a4b
，由正弦定理得
5c5c5c
F
2
F
1
N
，由
cosF
1
NF
2
sinF
1
F
2
Nsin
sin
sin
cos
cos
sin
NF
2
NF
1
2c5c
5c5c3a4b3a4b
，所以
NF
1
sinF
1
F
2
N
，
sin
sin
sinF
1
F
2
N2
225c2
NF
2
5c5ca5ab3
3a4b5a4b2a
sin
2a
，所以
2b3a
，即
，所，又
NF
1
NF
2
222
22c2a2
cb
2
13
以双曲线的离心率
e1
2
．故选
C
．
a2
a
5
．
(2022·
浙江
)
已知双曲线
x
2
a
2
y
2
b
2
1(a0,b0)
的左焦点为
F
，过
F
且斜率
为
b
的直线交双曲线于点
4a
A
x
1
,y
1
，交双曲线的渐近线于点
B
x
2
,y
2
且
x
1
0x
2
．若
|FB|3|FA|
，则双曲线的离心率是
_________
．
b
y(xc)
b
bb
4a
36
5
．
答案
解析 过
F
且斜率为的直线
AB:y(xc)
，渐近线
l
2
:yx
，联立
，
4aa
4a
4
y
b
x
a
2222
cbc
5cbc
25cbcc81
得
B
,
，由
|FB|3|FA|
，得
A
,
,
而点
A
在双曲线上，于是，解得：，
1
2222
33a
99a
24
81a81aba
所以离心率
e
3636
．故答案为．
44
【知识总结】
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F
1
，F
2
的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F
1
F
2
|)的点的轨迹．(2)符
号表示：||MF
1
|－|MF
2
||＝2a(常数)(0<2a<|F
1
F
2
|)．
(3)焦点：两个定点F
1
，F
2
．
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F
1
F
2
|．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
x
2
y
2
－＝1(a>0，b>0)
a
2
b
2
y
2
x
2
－＝1(a>0，b>0)
a
2
b
2
图形
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
性质
轴
F
1
(－c，0)，F
2
(c，0)
|F
1
F
2
|＝2c
x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A
1
(－a，0)，A
2
(a，0) A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)
实轴：线段A
1
A
2
，长：2a；虚轴：线段B
1
B
2
，长：2b，实
半轴长：a，虚半轴长：b
c
e＝∈(1，＋∞)
a
b
y＝±
x
a
c
2
＝a
2
＋b
2
(c>a>0，c>b>0)
a
y＝±x
b
离心率
渐近线
a，b，c的关系
【题型突破】
题型一 双曲线的标准方程
x
2
y
2
5x
2
y
2
1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝
x，且与椭圆
＋＝1
ab2123
有公共焦点，则C的方程为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
810455443
x
2
y
2
2．(2016·天津)已知双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂
ab
直，则双曲线的方程为( )
x
2
2
y
2
3x
2
3y
2
3x
2
3y
2
2
A．
－y＝1 B．x－＝1 C．－＝1 D．－＝1
44205520
x
2
y
2
3．(2018·天津)已知双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于
ab
A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d
1
和d
2
，且d
1
＋d
2
＝6，则双曲线的方程
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
为( )A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
4121243993
x
2
y
2
4．已知双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边
ab
三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
2
y
2
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－y＝1 D．x－＝1
41212433
x
2
y
2
5．已知双曲线
－
2
＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相
4b
交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
x
2
3y
2
x
2
4y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
444344412
6．已知双曲线
E
的中心为原点，
F(3, 0)
是
E
的焦点，过F的直线
l
与
E
相交于A，B两点，且AB的中
点为
N(12, 15)
，则
E
的方程式为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
1
B．
1
C．
1
D．
1
36456354
x
2
y
2
7．已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C
ab
→→→
的右支交于点A，若BA＝2AF，且|BF
|＝4，则双曲线C的方程为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
658128446
x
2
y
2
3
8．已知双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，过右焦点F作渐近线的垂线，垂足为M．若△FOM
ab2
的面积为5，其中O为坐标原点，则双曲线的方程为( )
A．x
2
－
4y
2
x
2
2y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
525451620
9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐
2
标为－，则此双曲线的方程是( )．
3
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
34435225
x
2
y
2
10．双曲线
2
－
2
＝1(a，b>0)的离心率为3，左、右焦点分别为F
1
，F
2
，P为双曲线右支上一点，∠F
1
PF
2
ab
的角平分线为l，点F
1
关于l的对称点为Q，|F
2
Q|＝2，则双曲线的方程为( )
x
2
2
y
2
y
2
x
2
222
A．
－y＝1 B．x－＝1 C．x－＝1 D．－y＝1
2233
题型二 双曲线中的求值
x
2
2
11．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：
－y＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两
3
条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|等于( )
3
A．
B．3 C．23 D．4
2
x
2
y
2
12．(2019·全国Ⅰ)双曲线C：
－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|
42
＝|PF|，则△PFO的面积为( )
3232
A． B．
C．22 D．32
42
x
2
y
2
13．已知双曲线Γ：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC
ab
＝θ，若Γ的离心率为2，则( )
π3π
π3π
0，
B．θ＝ C．θ∈
，π
D．θ＝
A．θ∈
2
4
24
14．已知F
1
，F
2
为双曲线C：x
2
－y
2
＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF
1
|＝2|PF
2
|，则cos∠F
1
PF
2
＝________．
15．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A，C分别是双曲线虚轴的上、下端点，B是双曲线的左顶点，F
为双曲线的左焦点，直线AB与FC相交于点D．若双曲线的离心率为2，则∠BDF的余弦值是________．
x
2
2
16．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：
－y＝1相交于A，B两点，若P为
2
AB的中点，则|AB|＝( )
A．22 B．23 C．33 D．43
x
2
2
17．过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：
－y＝1相交于A、B两点，若P为AB中点，则|AB|＝( )
2
A．22 B．23 C．33 D．43
x
2
2
18．已知双曲线
－y＝1的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，点P在双曲线上，且满足|PF
1
|＋|PF
2
|＝25，则△
3
PF1F2
的面积为( )
1
A．1 B．3 C．5 D．
2
x
2
y
2
19．已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F
1
，F
2
，点A在双曲线C上，
ab
若△AF
1
F
2
的周长为10a，则△AF
1
F
2
的面积为( )
A．215a
2
B．15a
2
C．30a
2
D．15a
2
y
2
2
20．已知双曲线x
－＝1的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P
3
使
sin∠PF
2
F
1
→→
＝e，则F
2
P·F
2
F
1
的值为( )
sin∠PF
1
F
2
A．3 B．2 C．－3 D．－2
题型三 双曲线的离心率
x
2
y
2
21．已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的离心率为( )
ab
2323
A．2 B．3 C．3或
D．或2
33
x
2
y
2
22．(2019·全国Ⅰ)双曲线C：
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为( )
ab
11
A．2sin 40° B．2cos 40° C.
D.
sin 50°cos 50°
x
2
y
2
23．(2019·全国Ⅰ)已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F
1
，F
2
，过F
1
的直线与C的两
ab
→→→→
条渐近线分别交于A，B两点．若F
1
A
＝AB，F
1
B·F
2
B
＝0，则C的离心率为________．
x
2
y
2
24．已知F
1
，F
2
分别是双曲线E：
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在E上，MF
1
与x轴垂直，
ab
1
sin∠MF
2
F
1
＝
，则E的离心率为( )
3
3
A．2 B．
C．3 D．2
2
x
2
y
2
25．已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，P为双曲线C上第二象限内一点，
ab
b
若直线y＝
x恰为线段PF
2
的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
a
A．2 B．3 C．5 D．6
x
2
y
2
26．已知O为坐标原点，点A，B在双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)上，且关于坐标原点O对称．若双曲
ab
线C上与点A，B横坐标不相同的任意一点P满足k
PA
·k
PB
＝3，则双曲线C的离心率为( )
A．2 B．4 C．10 D．10
x
2
y
2
27．已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)，过点P(3，6)的直线l与C相交于A，B两点，且AB的中点为
ab
N(12，15)，则双曲线C的离心率为( )
3355
A．2 B．
C． D．
252
x
2
y
2
28．已知双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l经过点F且与双曲线的一条渐近线垂直，直线
ab
5
→→
l与双曲线的右支交于不同两点A，B，若AF
＝3FB，则该双曲线的离心率为( )A．
2
B．
623
C． D．3
23
x
2
y
2
π
29．已知双曲线Γ：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)，过双曲线Γ的右焦点F，且倾斜角为的直线l与双曲线Γ交于
ab2
A，B两点，O是坐标原点，若∠AOB＝∠OAB，则双曲线Γ的离心率为( )
A．
3＋711＋333＋391＋17
B． C． D．
2264
→→
x
2
y
2
30．过双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)左焦点F的直线l与C交于M，N两点，且FN＝3FM，若OM⊥FN，
ab
则C的离心率为( )
A．2 B．7 C．3 D．10
题型四 双曲线的渐近线
x
2
y
2
31．(2018·全国Ⅰ)双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )
ab
A．y＝±2x B．y＝±3x C．y＝±
23
x D．y＝±x
22
x
2
y
2
32．已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，O为坐标原点，P是双曲线在第一
ab
象限上的点，直线PO交双曲线C左支于点M，直线PF
2
交双曲线C右支于点N，若|PF
1
|＝2|PF
2
|，
且∠MF
2
N＝60°，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±
2
x
C．y＝±2x D．y＝±22x
2
x
2
y
2
33．过双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F(1，0)作x轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，O为坐标
ab
8
原点，若△AOB的面积为，则双曲线的渐近线方程为________．
3
x
2
y
2
34．已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a，b>0)的右顶点A和右焦点F到一条渐近线的距离之比为1∶2，则C的
ab
渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±2x D．y＝±3x
x
2
y
2
35．双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l
1
，l
2
，F为其一个焦点，若F关于l
1
的对称点在l
2
ab
上，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±3x
C．y＝±3x D．y＝±2x
x
2
y
2
36．已知F
1
，F
2
分别是双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF
1
|＋|PF
2
|＝6a，
ab
π1
且△PF
1
F
2
的最小内角为
，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±2x B．y＝±
x
62
C．y＝±
2
x D．y＝±2x
2
y
2
x
2
37．已知F
2
，F
1
是双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的上、下两个焦点，过F
1
的直线与双曲线的上下两支分别
ab
交于点B，A，若△ABF
2
为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±
26
x
C．y＝±6x D．y＝±x
26
x
2
y
2
38．已知F
1
，F
2
是双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF
1
|＋|PF
2
|＝6a，且△PF
1
F
2
ab
最小内角的大小为30°，则双曲线C的渐近线方程是( )
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
题型五 双曲线中的最值与范围
x
2
2
39．P是双曲线C：
－y＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F
1
是
2
双曲线C的左焦点，则|PF
1
|＋|PQ|的最小值为( )
A．1 B．2＋
1515
C．4＋ D．22＋1
55
23
40．双曲线C的渐近线方程为y＝±x，一个焦点为F(0，－7)，点A(2，0)，点P为双曲线上在第一
3
象限内的点，则当点P的位置变化时，△PAF周长的最小值为( )
A．8 B．10 C．4＋37 D．3＋317
41．过双曲线x
2
－
y
2
＝1的右支上一点P，分别向圆C
1
：(x＋4)
2
＋y
2
＝4和圆C
2
：(x－4)
2
＋y
2
＝1作切线，
15
切点分别为M，N，则|PM|
2
－|PN|
2
的最小值为( )
A．10 B．13 C．16 D．19
y
2
42．设P为双曲线x
－＝1右支上一点，M，N分别是圆C
1
：(x＋4)
2
＋y
2
＝4和圆C
2
：(x－4)
2
＋y
2
＝1上
15
2
的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m，n，则|m－n|＝( )
A．4 B．5 C．6 D．7
x
2
2
43．若点O和点F(－2，0)分别为双曲线
2
－y＝1(a＞0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一
a
→→
点，则OP
·FP
的取值范围为________．
x
2
y
2
44．已知F
1
，F
2
是双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF
1
|＝t|PF
2
|(t∈(1，
ab
3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是______________．
x
2
y
2
45．已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F
1
(－1，0)，F
2
(1，0)，P是双曲线上任一点，
ab
→→
若双曲线的离心率的取值范围为[2，4]，则PF
1
·PF
2
的最小值的取值范围是________．
专题
18
解析几何中的双曲线问题
【高考真题】
1
．
(2022·
北京
)
已知双曲线
y
2
x
2
3
1
的渐近线方程为
yx
，则
m
__________
．
m3
2
x
2
x
2
2
1
．答案
3
解析 对于双曲线
y
1
，所以
m0
，即双曲线的标准方程为
y1
，则
a1
，
mm
13
x
2
3a3
又双曲线
y
所以
，即，解得
m3
；
bm
，
1
的渐近线方程为
yx
，
3
b3
m3
m
2
故答案为
3
．
2
．
(2022·
全国甲理
)
若双曲线
y
2
．答案
2
x
2
m
2
22
1(m0)
的渐近线与圆
xy4y30
相切，则
m
_________
．
x
3x
2
2
解析 双曲线
y
2
1
m0
的渐近线为
y
，即
xmy0
，不妨取
xmy0
，圆
m
3
m
2
x
2
y
2
4y30
，即
x
2
y2
1
，所以圆心为
0,2
，半径
r1
，依题意圆心
0,2
到渐近线
xmy0
的距离
d
2m
1m
2
1
，解得
m
333
或
m
（舍去）．故答案为．
33
3
x
2
y
2
3
．
(2022·
全国甲文
)
记双曲线
C:
2
2
1(a0,b0)
的离心率为
e
，写出满足条件“直线
y2x
与
C
无
ab
公共点”的
e
的一个值
______________
．
3
．答案
2
（满足
1e5
皆可） 解析
C:
x
2
a
2
y
2
b
2
1(a0,b0)
，所以
C
的渐近线方程为
y
b
x
,
a
b
b
2
结合渐近线的特点，只需
02
，即
2
4
，可满足条件
“
直线
y2x
与
C
无公共点
”
，所以
a
a
cb
2
e1
2
145
，又因为
e1
，所以
1e5
，故答案为
2
（满足
1e5
皆可）
a
a
4
．
(2022·
全国乙理
)
双曲线
C
的两个焦点为
F
1
,F
2
，以
C
的实轴为直径的圆记为
D
，过
F
1
作
D
的切线与
C
3
的两支交于
M
，
N
两点，且
cosF
1
NF
2
，则
C
的离心率为
(
)
5
3
A
．
5
B
．
C
．
13
D
．
17
2
2
2
2
4
．答案
C
解析 依题意不妨设双曲线焦点在
x
轴，设过
F
1
作圆
D
的切线切点为
G
，所以
OGNF
1
，
因为
cosF
1
NF
2
3
0
，所以
N
在双曲线的右支，所以
OGa
，
OF
1
c
，
GF
1
b
，设
F
1
NF
2
，
5
334ab
，即
cos
，则
sin
，
sin
，
cos
，在
F
2
F
1
N
中，
555c
c
4b3a3a4b
，由正弦定理得
5c5c5c
F
2
F
1
N
，由
cosF
1
NF
2
sinF
1
F
2
Nsin
sin
sin
cos
cos
sin
NF
2
NF
1
2c5c
5c5c3a4b3a4b
，所以
NF
1
sinF
1
F
2
N
，
sin
sin
sinF
1
F
2
N2
225c2
NF
2
5c5ca5ab3
3a4b5a4b2a
sin
2a
，所以
2b3a
，即
，所，又
NF
1
NF
2
222
22c2a2
cb
2
13
以双曲线的离心率
e1
2
．故选
C
．
a2
a
5
．
(2022·
浙江
)
已知双曲线
x
2
a
2
y
2
b
2
1(a0,b0)
的左焦点为
F
，过
F
且斜率
为
b
的直线交双曲线于点
4a
A
x
1
,y
1
，交双曲线的渐近线于点
B
x
2
,y
2
且
x
1
0x
2
．若
|FB|3|FA|
，则双曲线的离心率是
_________
．
b
y(xc)
b
bb
4a
36
5
．
答案
解析 过
F
且斜率为的直线
AB:y(xc)
，渐近线
l
2
:yx
，联立
，
4aa
4a
4
y
b
x
a
2222
cbc
5cbc
25cbcc81
得
B
,
，由
|FB|3|FA|
，得
A
,
,
而点
A
在双曲线上，于是，解得：，
1
2222
33a
99a
24
81a81aba
所以离心率
e
3636
．故答案为．
44
【知识总结】
1．双曲线的定义
(1)定义：平面内与两个定点F
1
，F
2
的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F
1
F
2
|)的点的轨迹．
(2)符号表示：||MF
1
|－|MF
2
||＝2a(常数)(0<2a<|F
1
F
2
|)．(3)焦点：两个定点F
1
，F
2
．
(4)焦距：两焦点间的距离，表示为|F
1
F
2
|．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程
x
2
y
2
－＝1(a>0，b>0)
a
2
b
2
y
2
x
2
－＝1(a>0，b>0)
a
2
b
2
图形
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
性质
轴
F
1
(－c，0)，F
2
(c，0)
|F
1
F
2
|＝2c
x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
F
1
(0，－c)，F
2
(0，c)
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A
1
(－a，0)，A
2
(a，0) A
1
(0，－a)，A
2
(0，a)
实轴：线段A
1
A
2
，长：2a；虚轴：线段B
1
B
2
，长：2b，实
半轴长：a，虚半轴长：b
c
e＝∈(1，＋∞)
a
b
y＝±
x
a
c
2
＝a
2
＋b
2
(c>a>0，c>b>0)
a
y＝±x
b
离心率
渐近线
a，b，c的关系
【题型突破】
题型一 双曲线的标准方程
x
2
y
2
5x
2
y
2
1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝
x，且与椭圆
＋＝1
ab2123
有公共焦点，则C的方程为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
810455443
5b5x
2
y
2
1
．答案
B
解析 由
y
＝
2
x
可得
a
＝
2
，①．由椭圆
12
＋
3
＝
1
的焦点为
(3
，
0)
，
(
－
3
，
0)
，可得
a
2
＋
x
2
y
2
b
2
＝
9
，②．由①②可得
a
2
＝
4
，
b
2
＝
5
．所以
C
的方程为
4
－
5
＝
1
．故选
B
．
x
2
y
2
2．(2016·天津)已知双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂
ab
直，则双曲线的方程为( )
x
2
y
2
3x
2
3y
2
3x
2
3y
2
A
．
4
－
y
2
＝
1
B
．
x
2
－
4
＝
1
C
．
20
－
5
＝
1
D
．
5
－
20
＝
12
．答案
A
解析 依
b1
题意得
a
＝
2
，①，又
a
2
＋
b
2
＝
c
2
＝
5
，②，联立①②得
a
＝
2
，
b
＝
1
．∴所求双曲线
x
2
的方程为
4
－
y
2
＝
1
．
x
2
y
2
3．(2018·天津)已知双曲线
2
－
2
＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于
ab
A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d
1
和d
2
，且d
1
＋d
2
＝6，则双曲线的方程
为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
4121243993
c
3
．
c
＝
2a
，
b
＝
3a
，
B(2a
，
答案
C
解析 因为双曲线的离心率为
2
，所以
a
＝
2
，不妨令
A(2a,3a)
，－
3a)
，
23a
－
3a|23a
＋
3a|
双曲线其中一条渐近线方程为
y
＝
3x
，所以
d
1
＝
＝，
d
2
＝
＝
2
3
2
＋
－
1
2
3
2
＋
－
1
2
23a
＋
3a23a
－
3a23a
＋
3a
x
2
y
2
；依题意得：＋＝
6
，解得：
a
＝
3
，
b
＝
3
，所以双曲线方程为：
3
－
9
＝
222
1
．
x
2
y
2
4．已知双曲线
2
－
2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边
ab
三角形(O为原点)，则双曲线的方程为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
2
y
2
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－y＝1 D．x－＝1
41212433
4．答案 D 解析 根据题意画出草图如图所示
不妨设点A
|23a
－
3a|
b
在渐近线y＝
x上
.
a
由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2．又点A在双曲
bby
2
222
线的渐近线y＝
x上，∴
＝tan 60°＝3．又a＋b＝4，∴a＝1，b＝3，∴双曲线的方程为x－＝
aa3
1，故选D
x
2
y
2
5．已知双曲线
－
2
＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相
4b
交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
x
2
3y
2
x
2
4y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
444344412
5
．答案
D
解析 根据圆和双曲线的对称性，可知四边形
ABCD
为矩形．双曲线的渐近线方程为
y
bb42b
2222
x
＋
y
＝
4
得
x
A
＝
4
＋
b
2
，
y
A
＝
4
＋
b
2
，
＝
±
2
x
，圆的方程为
x
＋
y
＝
4
，不妨设交点
A
在第一象限，由
y
＝
2
x
，
32bx
2
y
2
故四边形
ABCD
的面积为
4x
A
y
A
＝
4
＋
b
2
＝
2b
，解得
b
2
＝
12
，故所求的双曲线方程为
4
－
12
＝
1
，选
D
．
6．已知双曲线
E
的中心为原点，
F(3, 0)
是
E
的焦点，过F的直线
l
与
E
相交于A，B两点，且AB的中
点为
N(12, 15)
，则
E
的方程式为( )
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
A．
1
B．
1
C．
1
D．
1
36456354
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