2024年3月27日发(作者：巢湖学院数学试卷)
2016年内蒙古高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=
（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
4．（5分）圆x
2
+y
2
﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于
G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面
积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移
的对称轴为（ ）
A．x=
D．x=
﹣
+
（k∈Z）
（k∈Z）
B．x=+（k∈Z） C．x=﹣（k∈Z）
个单位长度，则平移后的图象
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框
图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的
s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
﹣α）=，则sin2α=（ ）
9．（5分）若cos（
A． B． C．﹣ D．﹣
10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x
1
，x
2
，…，x
n
，y
1
，y
2
，…，y
n
构成n
个数对（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
）…（x
n
，y
n
），其中两数的平方和小于1的数对共有m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）已知F
1
，F
2
是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，
MF
1
与x轴垂直，sin∠MF
2
F
1
=，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
与12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=
y=f（x）图象的交点为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），…，（x
m
，y
m
），则
A．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=
a=1，则b= ．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是 （填序号）
B．m C．2m D．4m
（x
i
+y
i
）=（ ）
，
15．（5分）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取
走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看
了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数
字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ．
16．（5分）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，
则b= ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，且a
1
=1，S
7
=28，记b
n
=[lga
n
]，其
中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b
1
，b
11
，b
101
；
（Ⅱ）求数列{b
n
}的前1000项和．
18．（12分）某保险的基本保费为a（单位：元），继续购买该保险的投保人成为
续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
0
1
2
3
4
≥5
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：
一年内出
险次数
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
0
1
2
3
4
≥5
（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%
的概率；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值．
19．（12分）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，
F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将△DEF沿EF折到△D′EF
的位置，OD′=．
（Ⅰ）证明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．
20．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为
k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；
（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．
21．（12分）（Ⅰ）讨论函数f（x）=
e
x
+x+2＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）=
（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．
请考生在第22～24题中任选一个题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选
修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上（不与端点重
合），且DE=DG，过D点作DF⊥CE，垂足为F．
（Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；
（Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积．
（x＞0）有最小值．设g
e
x
的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）
2
+y
2
=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是
求l的斜率．
[选修4-5：不等式选讲]
24．已知函数f（x）=|x﹣|+|x+|，M为不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．
（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，
2016年内蒙古高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数
m的取值范围是（ ）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在复平面内对应的点在第四象限，
可得：
故选：A．
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，则A∪B=
（ ）
A．{1} B．{1，2} C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故选：C．
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（ ）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
，解得﹣3＜m＜1．
【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），
∴+=（4，m﹣2），
又∵（+）⊥，
∴12﹣2（m﹣2）=0，
解得：m=8，
故选：D．
4．（5分）圆x
2
+y
2
﹣2x﹣8y+13=0的圆心到直线ax+y﹣1=0的距离为1，则a=（ ）
A．﹣ B．﹣ C． D．2
【解答】解：圆x
2
+y
2
﹣2x﹣8y+13=0的圆心坐标为：（1，4），
故圆心到直线ax+y﹣1=0的距离d=
解得：a=
故选：A．
5．（5分）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于
G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
（ ）
，
=1，
A．24 B．18 C．12 D．9
【解答】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分
成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段
方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有
C
4
2
C
2
2
=6种走法．
同理从F到G，最短的走法，有C
3
1
C
2
2
=3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18种走法．
故选：B．
6．（5分）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面
积为（ ）
A．20π B．24π C．28π D．32π
【解答】解：由三视图知，空间几何体是一个组合体，
上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2
∴在轴截面中圆锥的母线长是
∴圆锥的侧面积是π×2×4=8π，
下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是4，
∴圆柱表现出来的表面积是π×2
2
+2π×2×4=20π
∴空间组合体的表面积是28π，
故选：C．
7．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移
的对称轴为（ ）
A．x=
D．x=
﹣
+
（k∈Z）
（k∈Z）
个单位长度，得到y=2sin2（x+）
B．x=+（k∈Z） C．x=﹣（k∈Z）
个单位长度，则平移后的图象
=4，
，
【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移
=2sin（2x+
由2x+
），
（k∈Z）得：x=+
+
=kπ+（k∈Z），
（k∈Z），
即平移后的图象的对称轴方程为x=
故选：B．
8．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框
图．执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的
s=（ ）
A．7 B．12 C．17 D．34
【解答】解：∵输入的x=2，n=2，
当输入的a为2时，S=2，k=1，不满足退出循环的条件；
当再次输入的a为2时，S=6，k=2，不满足退出循环的条件；
当输入的a为5时，S=17，k=3，满足退出循环的条件；
故输出的S值为17，
故选：C
9．（5分）若cos（
A．
﹣α）=，则sin2α=（ ）
B． C．﹣ D．﹣
【解答】解：法1°：∵cos（
∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（
﹣α）=，
﹣α）=2cos
2
（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，
法2°：∵cos（
∴（1+sin2α）=
∴sin2α=2×
故选：D．
﹣α）=
，
，
（sinα+cosα）=，
﹣1=﹣
10．（5分）从区间[0，1]随机抽取2n个数x
1
，x
2
，…，x
n
，y
1
，y
2
，…，y
n
构成n
个数对（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
）…（x
n
，y
n
），其中两数的平方和小于1的数对共有m
个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，两数的平方和小于1，对应的区域的面积为π•1
2
，从区
间[0，1】随机抽取2n个数x
1
，x
2
，…，x
n
，y
1
，y
2
，…，y
n
，构成n个数对（x
1
，
y
1
），（x
2
，y
2
），…，（x
n
，y
n
），对应的区域的面积为1
2
．
∴=
∴π=．
11．（5分）已知F
1
，F
2
是双曲线E：﹣=1的左，右焦点，点M在E上，
MF
1
与x轴垂直，sin∠MF
2
F
1
=，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【解答】解：由题意，M为双曲线左支上的点，
则丨MF
1
丨=，丨MF
2
丨=，
∴sin∠MF
2
F
1
=，∴=，
可得：2b
4
=a
2
c
2
，即
可得e
2
﹣e﹣
b
2
=ac，又c
2
=a
2
+b
2
，
=0，
．
e＞1，解得e=
故选A．
12．（5分）已知函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），若函数y=
y=f（x）图象的交点为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
），…，（x
m
，y
m
），则
A．0 B．m C．2m D．4m
与
（x
i
+y
i
）=（ ）
【解答】解：函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=2﹣f（x），
即为f（x）+f（﹣x）=2，
可得f（x）关于点（0，1）对称，
函数y=，即y=1+的图象关于点（0，1）对称，
即有（x
1
，y
1
）为交点，即有（﹣x
1
，2﹣y
1
）也为交点，
（x
2
，y
2
）为交点，即有（﹣x
2
，2﹣y
2
）也为交点，
…
则有（x
i
+y
i
）=（x
1
+y
1
）+（x
2
+y
2
）+…+（x
m
+y
m
）
=[（x
1
+y
1
）+（﹣x
1
+2﹣y
1
）+（x
2
+y
2
）+（﹣x
2
+2﹣y
2
）+…+（x
m
+y
m
）+（﹣x
m
+2
﹣y
m
）]
=m．
故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=
a=1，则b= ．
，可得
，
【解答】解：由cosA=，cosC=
sinA=
sinC=
=
=
=，
=，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×
由正弦定理可得b=
+×=，
==．
故答案为：
．
14．（5分）α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
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保费,已知,证明,小题
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