2012年-2021年(10年)全国高考数学真题分类汇编 导数客观题(精解精析版

2024年3月24日发(作者：考高考数学试卷)

2012-2021十年全国高考数学真题分类汇编导数客观题（精解精析版）

一、选择题

1

．(

2021

年高考全国乙卷理科)设

a0

，若

xa

为函数

f



x



a



xa



(

A

ab

B

．

ab

C

．

aba

2

D

．

aba

2

)

2



xb



的极大值点，则

.

【答案】

D

解析：若

ab

，则

f



x



a



xa



为单调函数，无极值点，不符合题意，故

a¹b

．

3

f



x



有

xa

和

xb

两个不同零点，且在

xa

左右附近是不变号，在

xb

左右附近是变号的．依

题意，为函数的极大值点，



在

xa

左右附近都是小于零的．

当

a0

时，由

xb

，

f



x



0

，画出

f



x



的图象如下图所示：

由图可知

ba

，

a0

，故

aba

2

．

当

a0

时，由

xb

时，

f



x



0

，画出

f



x



的图象如下图所示：

由图可知

ba

，

a0

，故

aba

2

．

综上所述，

aba

2

成立．

故选：

D

【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答．

2

．(

2020

年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数

f(x)x

4

2x

3

的图像在点

(1，f(1))

处的切线方程为(

A

．

y2x1

B

．

y2x1

C

．

y2x3

D

．

y2x1

【答案】

B

【解析】

f



x



x

4

2x

3

，

f





x



4x

3

6x

2

，

f



1



1

，

f





1



2

，

因此，所求切线的方程为

y12



x1



，即

y2x1

．

故选：

B

．

【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题

3

．(

2020

年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线

l

与曲线

y=

x

和

x

2

+y

2

=

1

5

都相切，则

l

的方程为(

A

．

y=2x+1B

．

y=2x+

11

2

C

．

y=

1

2

x+1D

．

y=

2

x+

1

2

【答案】

D

解析：设直线

l

在曲线

yx

上的切点为



x

0

,x

0



，则

x

0

0

，

函数

yx

的导数为

y





1

1

2

x

，则直线

l

的斜率

k



2

x

，

0

设直线

l

的方程为

y



x

1

0



2

x



x



x

0



，即

x2x

0

yx

0

0

，

0

)

)

由于直线

l

与圆

xy

22

x

0

1

1



相切，则

，

1



4

x

5

5

0

1

（舍），

5

2

两边平方并整理得

5x

0

4x

0

10

，解得

x

0

1

，

x

0



则直线

l

的方程为

x2y10

，即

y

故选：

D

．

11

x

．

22

【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题．

4

．(

2019

年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线

ya

e

x

x

ln

x

在点



1,ae



处的切线方程为

y2xb

，则

(

A

．

ae,b1

【答案】

D

【解析】由

y

/

ae

x



ln

x

1

，根据导数的几何意义易得

y

|

x



1



ae



1



2

，解得

a



e



1

，从而得到

切点坐标为

(1,1)

，将其代入切线方程

y2xb

，得

2b1

，解得

b1

，故选

D

．

【点评】准确求导是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求

导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．另外对于导数的几何意义要注意给定的点是否为切

点，若为切点，牢记三条：①切点处的导数即为切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上。

(

2018

年高考数学课标卷Ⅰ（理）)

设函数

f(x)x

3





a1



x

2

ax

，

5

．

若

f(x)

为奇函数，则曲线

yf(x)

在点



0,0



处的切线方程为

A．

y2x

B．

yx

【答案】D

3

解析：函数

f(x)x



a1



xax

，若

f(x)

为奇函数，可得

a1

，所以函数

f(x)xx

，可

32

/

)

C

．

a



e



1

,b



1

D

．

a



e



1

,b



1

B

．

ae,b1

(

C．

y2x

)

D．

yx

得

f(x)3x1

，曲线

yf(x)

在点



0,0



处的切线的斜率为：1，则曲线

yf(x)

在点



0,0



处的

\'2

切线方程为：

yx

，故选

D

．

6．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若

x2

是函数

f

(

x

)



(

x



ax



1)

e

2

x



1`

的极值点，则

f(x)

的极小值

为

A

．

1

【答案】A

B

．



2e



3

(

C

．

5e



3

)

D

．

1

【命题意图】本题主要考查导数的极值概念及其极大值与极小值判定条件，意在考查考生的运

算求解能力．

【解析】解法一：常规解法

2

x



1



∵

f



x







x

2



ax



1



e

x



1

∴导函数

f





x







x



a



2

x



a



1

e





∵

f





2



0

∴

a1

∴导函数

f





x







x

2



x



2



e

x



1

令

f





x



0

，∴

x

1

2

，

x

1

1

当

x

变化时，

f



x



，

f





x



随变化情况如下表：

x

f





x



f



x





,2



+0

2



2,1



-0

1



1,



+

极大值极小值

从上表可知：极小值为

f



1



1

．

【知识拓展】导数是高考重点考查的对象，极值点的问题是非常重要考点之一，大题﹑小题都

会考查，属于压轴题，但难度在逐年降低．

【考点】函数的极值；函数的单调性

【名师点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x

0

处取得极值的充要条件是f′(x

0

)＝0，且在x

0

左侧与右侧f′

(x)的符号不同。

(

2

)若

f

(

x

)在(

a

，

b

)内有极值，那么

f

(

x

)在(

a

，

b

)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数

没有极值。

7

．(

2015

高考数学新课标

2

理科)设函数

f



(x)

是奇函数

f(x)(xR)

的导函数，

f(1)0

，当

x0

时，

xf



(x)f(x)0

，则使得

f(x)0

成立的

x

的取值范围是

A

．

(,1)(0,1)

C

．

(,1)(1,0)

【答案】

A

B

．

(1,0)(1,)

D

．

(0,1)(1,)

()

f

(

x

)

xf

\'

(

x

)



f

(

x

)

\'

\'

xf(x)f(x)0

，

解析：记函数

g

(

x

)



，则

g

(

x

)



，因为当时，

故当

x0

x0

2

x

x

时，

g(x)0

，所以

g(x)

在

(0,)

单调递减；又因为函数

f(x)(xR)

是奇函数，故函数

g(x)

是偶

\'

函数，所以

g(x)

在

(,0)

单调递减，且

g(1)g(1)0

．当

0x1

时，

g(x)0

，则

f(x)0

；

当

x1

时，

g(x)0

，则

f(x)0

，综上所述，使得

f(x)0

成立的

x

的取值范围是

(,1)(0,1)

，

故选

A

．

考点：导数的应用、函数的图象与性质．

8．(2015高考数学新课标1理科)设函数

f

(

x

)

e

(2

x

1)

axa

,其中

a1

，若存在唯一的整数

x

0

，使

x

得

f(x

0

)

A．

[



0，则

a

的取值范围是()

333333

,1)

B．

[



,)

C

[,)

．D．

[,1)

2e2e42e42e

x

【答案】

D

解析：设

g(x)

=

e

(2

x

1)

，

yaxa

，由题知存在唯一的整数

x

0

，使得

g(x

0

)

在直线

yaxa

的

下方．

因为

g



(

x

)

e

(2

x

1)

，所以当

x

x

111

时，

g



(x)

＜0，当

x

时，

g



(x)

＞0，所以当

x

时，

222

[g(x)]

max

=

-2e

，

当

x0

时，

g(0)

=-

1

，

g(1)3e0

，直线

yaxa

恒过（

1

,

0

）斜率且

a

，故

ag(0)1

，

且

g(



1)



3e



1



1

2



a



a

，解得

3

≤

a

＜1，故选D．

2e

考点：本题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题

9．(2014高考数学课标2理科)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=

A

．

0

【答案】D

解析：因为

y

\'

=

a

-

B

．

1C

．

2D

．

3

1

，所以切线的斜率为

a-1=2

，解得

a=3

，选D

x

+

1

考点：（1）导数的基本运算；（2）导数的几何意义。

难度：B

备注：常考题

10．(2014高考数学课标1理科)已知函数

f(x)

=

ax3x1

,若

f(x)

存在唯一的零点

x

0

,且

x

0

>0,则

a

的

32

取值范围为

A

．(

2

,+∞)

B

．(-∞,-

2

)

【答案】B

C

．(

1

,+∞)

()

D

．(-∞,-

1

)

2

解析

1

:由已知

a0

,

f



(x)3ax6x

,令

f



(x)0

,得

x0

或

x



2

,

a

当

a0

时,

x







,0



,f



(x)



0;x





0,





2



2





,f(x)



0;x



,





,f(x)



0

;

a



a



且

f(0)10

,

f(x)

有小于零的零点,不符合题意．

当

a0

时,

x







,





2



2





,f(x)



0;x





,0



,f(x)



0;x





0,





,f



(x)



0

a



a



2

a

2

要使

f(x)

有唯一的零点

x

0

且

x

0

>

0

,只需

f()



0

,即

a4

,

a2

．选

B

解析

2

:由已知

a0

,

f(x)

=

ax3x1

有唯一的正零点,等价于

a



3



有唯一的正零根,令

t



32

1

3

3

,则问题又等价于

at3t

有唯一的正零根,即

ya

与

yt3t

有唯

x

y轴右侧记

1

x

1

x

3

一的交点且交点在在

f(t)t

3

3t

,

f



(t)3t

2

3

,由

f



(t)0

,

t1

,

t



,1



,f



(t)0;t



1,1



,f



(t)0;

,

t



1,



,f



(t)0

,要使

at

3

3t

有唯一的正零根,只需

af(1)2

,选

B

考点:(

1

)利用导数的定义求函数的导数(

2

)导数与函数零点、方程的根

(3)分类讨论思想

难度:

C

备注:一题多解

11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数

f(x)xaxbxc

，下列结论中错误的是

(

A．

x

0

R,f(x

0

)0

B．函数

yf(x)

的图象是中心对称图形

C．若

x

0

是

f(x)

的极小值点，则

f(x)

在区间

(,x

0

)

上单调递减

D．若

x

0

是

f(x)

的极值点，则

f\'(x

0

)0

【答案】

C

解析：由三次函数的图象可知，若

x

0

是

f(x)

的极小值点，则极大值点在

x

0

的左侧，所以函数在区间

)

32