高二抛物线知识点及综合题

2024年4月17日发(作者：讲解大学数学试卷)

高二抛物线知识点及综合题

抛物线是数学中常见的曲线之一，具有许多重要的性质和应用。

在高二学习中，抛物线是一个重要的知识点，掌握抛物线的相关

知识对于解决问题和理解曲线的特性非常有帮助。本文将介绍高

二抛物线知识点和综合题。

一、抛物线的定义和特性

抛物线是由平面上到定点（焦点）与到定直线（准线）的距离

比相等的动点轨迹所组成的曲线。特性如下：

1. 抛物线的焦点与准线的距离相等，这个距离称为焦距。

2. 抛物线的顶点是焦点和准线的垂直平分线的交点，也是抛物

线的最低或最高点。

3. 抛物线的轴是通过焦点和顶点的直线。

4. 抛物线是关于焦点-准线对称的，即抛物线上的任一点到焦点

的距离等于该点到准线的垂直距离。

二、抛物线的方程

一般情况下，抛物线的方程可写为：y = ax^2 + bx + c。其中a、

b、c为常数。

1. 当a>0时，抛物线开口向上，顶点为最低点。

2. 当a<0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。

3. 当a=0时，方程为一次函数，不是抛物线。

三、抛物线的焦点和准线

1. 焦点坐标的求解：焦点的坐标为（h，k），其中h = -b/(2a)，

k = c - b^2/(4a)。

2. 准线方程的求解：焦点的坐标为y = -(b^2-4ac)/(4a)。

四、抛物线的应用

抛物线在现实生活中有许多应用，以下列举几个常见的例子：

1. 抛物面天线：由于抛物面的特性，抛物面天线可以将无线电

波聚焦在一点上，提高信号接收的效果。

2. 摄像机镜头：摄像机镜头采用抛物面的设计，可以使图像更

加清晰锐利。

3. 导弹轨迹：某些导弹的飞行轨迹可以近似为抛物线，这样可

以更准确地预测和控制导弹的飞行轨迹。

综合题一：

已知抛物线的顶点为(2, 4)，过点(3, 1)的直线与抛物线有两个交

点，求这两个交点的坐标。

解答：

设过点(3, 1)的直线为y = kx + b，将其代入抛物线方程得：kx +

b = ax^2 + bx + c。

由题意，已知抛物线的顶点为(2, 4)，可得到方程组：

4 = 4a + 2b + c

1 = k * 3 + b

联立解方程组得：

a = 1/4

b = k/2 + 1/2

c = -k/2 + 15/4

又因为直线与抛物线有两个交点，即方程组有两个不同解：

δ = (k/2 + 1/2)^2 - 4 * (1/4) * (-k/2 + 15/4) > 0

解不等式可得：

k > 3/2 或 k < -5/2

因此，过点(3, 1)的直线与抛物线的两个交点的坐标为：

1. 当k > 3/2时，设交点的坐标为(x1, y1)，代入方程组可解得

x1 和 y1 的值。

2. 当k < -5/2时，设交点的坐标为(x2, y2)，代入方程组可解得

x2 和 y2 的值。

综合题二：

已知抛物线的焦点为(1, 2)，准线方程为y = -1，求抛物线的方

程。

解答：

已知焦点为(1, 2)，准线方程为y = -1。

由焦点的坐标可以得到h = 1，k = 2。

将焦点坐标代入准线方程可得c = k - b^2/(4a) = 2 - 1 = 1。

由准线方程可得b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4a = 1 - 4a。

将c和b^2 - 4ac值代入抛物线方程可得：

y = ax^2 + bx + c

= ax^2 + bx + 1

= a(x^2 + (b/2a)x) + 1

= a(x^2 + (b/2a)x + (b/4a)^2 - (b/4a)^2) + 1

= a(x + b/4a)^2 - (b^2 - 4ac)/(4a) + 1

= a(x + b/4a)^2 + 1 - (1 - 4a)/(4a)

= a(x + b/4a)^2 + 1 + 1/(4a)

因此，抛物线的方程为 y = a(x + b/4a)^2 + 1 + 1/(4a)。