构造法在高等数学教学中的应用

2024年4月10日发(作者：沂水2022一模数学试卷)

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２００６年８月　

吉林师范大学学报（自然科学版）　

Ｎｏ．３　

第３期　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｖ（Ｎａｔｕｒｌａ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　

Ａｕｇ．２００６　

构造法在高等数学教学中的应用　

刘银萍　

（吉林师范大学数学学院，吉林四平１３６０００）　

摘　要：本文简要讨论了高等数学中构造辅助函数、构造正交阵和构造概率模型解决各类问题的方法．由于相　

关知识间紧密的关联、较大跨度的思维方式和直观的构造思想，对高等数学的教学具有现实的意义．　

关键词：构造法；概率模型；正交变换；辅助函数　

中图分类号：Ｇ４２４　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—１８４０一（２００６）０３—００８５—０２　

高等数学教学过程中，证明题和计算题是两大　Ｆ（　ｏ）≠０　

主要题类，构造法是高等数学教学中主要的解决问　

当Ｆ（ｘ０）＞０时，由Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理，］　∈　

题方法之一．有着鲜明的物理意义、几何意义．许多　

结论以直观的模型为背景．　

ａ，ｘｏ）使　＞ｏ　）　

１构造函数法　

、　

ｆ　）＝　（堡）　

ｂ—ａ　

利用函数的单调性，利用微分中值定理来证明　

当Ｆ（　ｏ）＜０时，同理，］　∈（　ｏ，ｂ），使　

等式或方程有根的问题时，辅助函数法是转化问题　

的重要手段，它可以导出不同的中值公式，解决零值　

（　）：　

Ｄ一　ｎ　

＞ｏ，即　（　）＞　

。　

点（根）的存在性问题…．　

（　）二　（堡）　

例１　设函数厂（　）在闭区间［ｎ，ｂ］上连续，在　

开区间（ｎ，ｂ）内可导，又厂（　）不是线性函数，且　

２　构造正交变换法　

ｆ（ｂ）＞ｆ（口）．试证］　∈（ｎ，ｂ），使得／（　）＞　

构造适当的正交变换，利用正交变换有关理论　

ｆ　）＝　（　）　

和ｎ重积分的变量替换公式，可简洁的处理一批重　

ｂ—ｎ　

积分计算问题［　．　

分析：过点（ｎ，厂（ｎ））与（ｂ，厂（ｂ））的线性函数　

例２　设连续函数／（　ｌ，　２，…，　，　），证明　

为　

），：厂（ｎ）＋　（　．－ｎ）　

Ⅱ…ｊ．／（宝　．．ｄ一　

因厂（　）不是线性函数，则Ｆ（　）；厂（　）一　

∑　≤　

（ｎ）一　（　—ｎ）≠ｏ　

篱ｎ－Ｉ』－ｌＪ（ｃｕ１）（１－ｕ￣）　・　

只要证明Ｆ，（　）：　（　）一　１＿　＞ｏ　

即可　

厂ｌ＿＿■一　

证明：设辅助函数　

其中ｃ＝＾／∑ｃ；＞ｏ，

ｉ＝ｌ　

厂（ＩｔＩ）在Ｉ　ｕｌ　Ｉ≤ｃ上　

Ｆ（　）＝厂（　）一厂（ｎ）一ｊ　（　—ｎ）　

连续，／７，≥１．　

分析：等式左边为一个／７，重积分，右边为一个系　

则Ｆ（　）在［ｎ，ｂ］上连续，在（ｎ，ｂ）内可导，　

数与定积分的乘积，由于右端定积分的被积函数的　

Ｆ（ｎ）＝Ｆ（ｂ）由于－Ｆ（　）≠０，］　ｏ∈（ｎ，ｂ），使　

形式，可考虑相应击　线性变换．　

收稿日期：２００６—０５—１３　

作者简介：刘银萍（１９６２一）女，吉林省　余县人．观为吉林帅范大学数学学院教授．研究　Ｊ‘向：数耻统　ｌ‘和数学教育．　

８５—　

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证明：设正交变换　

＋　＋　…・＋　

（旦二垒）：：：２：　

＼、●●●●●●●●●●●－、、　

［兰　ａ０●２１●

（ｂ一１）…（ｂ＋１）ｂ—ｂ　

＝　

　…。●’●　

其中Ｂ，ｂ都是正整数，且Ｂ＞ｂ　

证明：建立概率模型　

由于欲证等式右端被积函数的形式，令　

设袋中装有Ｂ个球，其中ｂ个是白球，不放回随　

Ｃｉ（　

机取球，则第ｋ次首次取到白球的概率为　

。１　

：

１，…，ｎ）　

由于正交变换保持向量长度不变，

口　口　．　口　

Ｊａｃｏｂｉ矩阵　

Ｐ　：　

行列式值等于１及厂（

ｈ　ｌ，●　～　ｌ　肿　

　一，　）的连续性知　一　ｆ旦二　２（堡＝　＝　２：：：ｉ旦二　＝　±　

，，　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．，．．．．．．．．。

＼　●●●，　●，●●＿、、　

一一／　

～　Ｂ（Ｂ一１）（Ｂ一２）…（Ｂ—ｋ＋１）　

一　

＼　●●●，　●，●●＿、、　

妻　

ｊ’厂（　

ｉ＝１　

．．ｄ　

因为袋中有ｂ个白球，Ｂ—ｂ个黑球，则至少到　

Ｂ—ｂ＋１次一定会取到白球，亦即第１次或第２次　

…

或第Ｂ—ｂ＋１次取到白球的概率为１　

　．

：　，　

＝ｊ

：

』　一，厂（ｃｕ。１）ｄｕ。Ⅱ…』ｄ１　ｊＪ．．．ｊ　ｄ　～ｕｕ　…ｄｕ　ｎ　

１＝Ｐｌ＋Ｐ２＋…＋‰一吉＋　

：　

．…　．

’　’Ｂ（Ｂ一１）…（ｂ＋１）ｂ　

（旦＝　）：：：２：　

作变换易证得　

两边同乘　得　

㈩式＝怎　

，　

＋　Ｂ—ｂ　＋——　＿（Ｂ—ｂ）（Ｂ—ｂ一１）＝　ｃ＿百＿二　　＋…＋　

（Ｂ—ｂ）…２．１　Ｂ　

３　构造概率模型法　

＿＿『　

高等数学中的一些不等式，恒等式以及积分运　

构造方法是高等数学中主要的解决问题的方法　

算，直接证明或计算比较繁索．建立适当的概率模　

之一．具有扎实的基本理论、基本运算的功底，是综　

型，将使问题的解决变得简单易行　３～　．　

合地分析解决问题的基础．同时，多方位地、多角度　

例３　证明恒等式　

地构造辅助问题，将有机地将各学科知识融汇贯通，　

提高解决问题的能力．　

参考　

文　献　

［１］裴礼文．数学分析中的典型问题和解决方法［Ｍ］．北京：高等教育出版社．　

［２］刘锐，白红．微积分中几种问题的处理方法［Ｊ］．大学数学，２００３，（５）：９６—９８　

［３］复旦大学数学系．概率论［Ｍ］．北京：人民教育出版社，１９７８．　

［４］刘银萍．若＝ｆ＝问题的概牢论解法［Ｊ］．吉林师范大学学报，２００３，（１）：１５—１６．　

Ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｈｉｇｈｅｒ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　

ＬＩＵ　Ｙｉｎ——ｐｉｎｇ　

（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｊｉｌｉｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｌ　ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｉｐｉｎｇ　１３６０００，Ｃｈｉｎａ）・　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ｔｈａｔ　ｈｏｗ　ｔｏ　ｃｏｎ

ｓｔｒｕｃｔ　ａｕｘｉｌｉａｒｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｎｏｒｍａｌ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｐｒｏｂａ—　

，

ｂｉｌｉｔｙ　ｍｏｄｅｌ　ｉｎ　ｈｉｇｈｅｒ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｔｏ　ｓｏｌｖｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ．Ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｃｌｏｓｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｉｎ　ｅａｃｈ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｋｎｏｗｌｅｄｇｅ，ｔｈｅ　

ｔｈｉｎｋｉｎｇ　ｐａｔｔｅｒｎ　ｗｈｉｃｈ　ｈａｓ　ｌａｒｇｅｒ　ｓｐａｎ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｅｄ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ　ｉｄｅａ　ａｒｅ　ｐｒａｃｔｉｃａｌ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｏｆ　ｈｉｇｈ—　

Ｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｅｓ．　

ＫＰ，，　ｏＭｓ：ｍｅｔ｝ｌｏｄ　ｕｆ　ｔ、ＯｌＩｓｔｒｕｅｔｉｏｎ；ｐ１．ｏｂａｂｉｉｉ　ｈ’ｍｏｄｅｌ；ｎ（；ＦＦＩＩａｌ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍ：３Ｉｔｘｉｌｉａｒ）ｒ　ｆｕｎｃｌ　ｉｏｎ　

一

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