2023年12月4日发(作者：幼小衔接数学试卷大班)

郑州市2022－2023学年下期期末考试高二数学试题卷注意事项：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I卷（选择题，共60分）一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列an，满足anan12，a10，则a10（A．18B．36C．72）D．1442．2023年5月10日，第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行，小郑同学购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60，如果按人民币计（汇率按1美元=7元人民币），则平均数和方差分别为（A．30，60）B．30，420C．210，420D．210，29403．如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取4个数，则选取的4个数之和为奇数的方法数为（）A．60B．61C．65）D．664．下列四个命题中，正确命题的个数为（①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．②相关系数r0.89，表明两个变量的相关性较弱．③若由一个22列联表中的数据计算得K的观测值k7.103，那么有99%的把握认为两个变量有关．2a后要进行残差分析，相应于数④用最小二乘法求出一组数据xi,yi，i1,,n的回归直线方程ybxˆ据xi,yii1,,n的残差是指eiyibxia．，ˆˆˆPK2k0k0A．1n0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.841C．35.0246.6357.87910.828B．2D．4n2n5．已知(x1)的二项展开式中二项式系数和为64，若(x1)a0a1(x1)a2(x1)an(x1)，则a1等于（A．192）B．4482C．－192D．－448）6．已知函数fxaxlnx的图象在点1,f1处的切线与直线y3x平行，则该切线的方程为（A．x3y50C．3xy10B．3xy10D．x3y107．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上的数1，3，6，10…构成数列an，记an为该数列的第n项，则a64（）A．2016B．2080）C．4032D．41608．下列说法中不正确的是（．．．A．若随机变量X~N1,2，P(X4)0.79，则P(X2)0.21B．若随机变量X~B10,，则期望E(X)13103C．已知随机变量X的分布列为P(Xi)a2(i1,2,3),则P(X2)3i(i1)710D．从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为9．若需要刻画预报变量Y和解释变量x的相关关系，且从已知数据中知道预报变量Y随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量x的增大，预报变量Y大致趋于一个确定的值，为拟合Y和x之间的关系，应使用以下回归方程中的（b0,e为自然对数的底数）（A．YbxaC．Ybxa32）B．YblnxaD．Ybexa10．对于三次函数fxaxbxcxda0，现给出定义：设fx是函数fx的导数，fx是fx的导数，若方程fx有实数解x0，则称点x0,fx0为函数fxax3bx2cxda0的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就x3512317是对称中心．设函数gxx2，则gggg（339999A．）173B．172C．17D．341an2,n7nN*，若对于任意nN*都有anan1，则实数a的11．已知数列an满足an2an6,n7,取值范围是（A．）B．21,1212,23C．2,13）D．1,2312．若lnbbalnaa，则下列式子可能成立的是（A．ab1B．a1bC．b1aD．1ba第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．113．已知等比数列an满足：a18，a9，a2a30则公比q______．3214．在甲，乙，丙三个地区爆发了流感，这三个地区分别有7%，6%，5%的人患了流感．若这三个地区的人口数的比为5:3:2，现从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______．15．为积极践行劳动教育理念，扎实开展劳动教育活动，某学校开设三门劳动实践选修课，现有五位同学参加劳动实践选修课的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参㕲，则不同的报名方法有______．16．2023年第57届世界乒乓球锦标赛在南非德班拉开帷幕，参赛选手甲、乙进入了半决赛，半决赛采用五局三胜制，当选手甲、乙两位中有一位赢得三局比赛时，就由该选手晋级而比赛结束．每局比赛皆须分出胜负，且每局比赛的胜负不受之前比赛结果影响．假设甲在任一局赢球的概率为p0p1，比剉局数的期望值记为fp，则fp的最大值是______．三、解答题：共70分．解答题应写出文字说明、证明过程或验算步骤．17．（10分）一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，白球4个，黑球5个．（I）若每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．在第1次摸到白球的条件下，第2饮摸到白球的概率；（II）若从袋子中一次性随机摸出3个球，记黑球的个数为X，求随机变量X的概率分布．18．（12分）设数列an的前n项和为Sn，已知a12，Sn14an2．（I）设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；（II）求数列19．（12分）黄河是中华民族的母亲河、生命河，也是一条桀骜难驯的忧患之河．小浪底水利枢纽工程位于河南省济源市、洛阳市孟津区边界，是黄河治理开发的关键控制性工程．它控制着黄河92%的流域面积、91%的径流量和近an的前n项和Tn．n2100%的泥沙，以防洪、防淩、减淤为主，兼顾供水、灌溉、发电，不仅是中华民族治黄史上的丰碑，也是世界水利工程史上最具标志性的杰作之一，其大坝为预测渗压值和控制库水位，工程师在水库选取一支编号为HN1渗压计，随机收集10个该渗压计管内水位和水库水位监测数据：样本号i水库水位总和xi/m75.6975.7475.7775.7875.8175.8575.6775.8775.975.93758.01HN1渗压计管内水位72.8872.9072.9272.9272.9372.9472.9472.9572.9672.98729.32y1/m并计算得xi1102i57457.98，y53190.77，xiyi55283.20，72.93225319.076624，i12ii1101075.80125745.791601，240.615.51．（I）求该水库HN1号渗压计管内水位与水库水位的样本相关系数（精确到0.01）；（II）某天雨后工程师测量了水库水位，并得到水库的水位为76m．利用以上数据给出此时HN1号渗压计管内水位的估计值．附：相关系数rxxyyi1iinxxi1in2in1yiy2，bˆxxyyi1iinxxi1in2，ybxa．ˆˆ20．（12分）已知函数fxae2xa2exx．（I）讨论fx的单调性；（II）若fx有两个零点，求a的取值范围．21．（12分）根据长期生产经验，某种零件的一条生产线在设备正常状态下，生产的产品正品率为0.985．为了监控该生产线生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个零件，并测量其质量，规定：抽检的10件产品中，若至少出现2件次品，则认为设备出现了异常情况，需对设备进行检测及修理．（I）假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求PX2，并说明上述监控生产过程规定的合理性；（II）该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故䧐，则设备停止运转；若只有一个部件出现故障，则设备出现异常．已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p，由乙部件故障造成的概率为1p．若设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行检测及修理．已知甲部件的检测费用2000元，修理费用6000元，乙部件的检测费用3000元，修理费用4000元．当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由。参考数据：0.9850.86，0.9850.87，0.9850.89．22．（12分）已知函数fxlnx10981．x（I）求函数fx的最小值；ax2xa1a（II）设函数gxfx．证明：当时，，gx0恒成立．x0a0,2x21a郑州市2022－2023学年下学期期末考试高中二年级数学评分参考一、单选题二、1．A2．D3．A4．B5．C6．B7．B8．C9．D10．C11．C12．D三、填空题13．1214．63100015．15016．338四、解答题17．解：（1）设“第1次摸到白球”为事件A；“第2次摸到白球”为事件B．492432PAB，1095109152PAB151∣A，由条件概率公式可得PB2PA35则PA∴从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是白球，另一个小球也是白球的概率为（2）X可能的取值为0，1，2，3．1．312213C3CCCCC1551PX035，PX1535，PX2535，PX335，C1012C1012C1012C1012概率分布为XP211218．（1）证明：由a12及Sn14an2，得a1a2S24a12，∴a28，∴b1a22a14．又Sn14an2,①Sn4an12 n2②，由①－②，得an14an4an1n2，∴an12an2an2an1n2．∵bnan12an，∴bn2bn1n2，故bn是首项b14，公比为2的等比数列．（2）解由（1）知bnan12an42n2n1，∴an12nan1，2nana故n是首项为1，公差为1的等差数列，n1n1n．n22Tn123nnn1211019．解：（1）水库的平均水位xxi75.801，10i1110HN1号渗压计管内平均水位yyi72.932．10i1Xixixi1n2x2xxixx2xxi10xxi210x，i12ii12ii1i110210102102同理可得：i1i10yiyyi210y，i110102102xxyyxyxyyxxyxy10xy，i1ii1iiiii1ii10∴rxxyyi1ii10i110xix2ni1yiy2xy10xyi1ii10yi10y2i1102xi210xi1210255283.21075.80172.93257457.981075.80153190.771072.9322ˆ0.95（3）∵bxxyyxy10xyi1ii1010i110xix2i110iixi210xi1255283.21075.80172.9320.22940.23，57457.981075.8012aybx72.9320.229475.80155.50，∴HN1号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为y0.23x55.5，当x76时，预测值y0.237655.572.98，即水库的水位为76m时，HN1号渗压计管内水位的估计值为72.98m20．解：（1）fx的定义域为R，fx2ex1aex1，x若a0则ae10恒成立，∴fx0，即fx在R上单调递减；ˆˆˆˆ若a0令ae10，得xlna，x当x,lna时fx0，当xlna,时，fx0．∴fx在,lna上单调递减，在lna,单调递增．（2）因为fx有两个零点，所以a0，否则fx在R上单调递减，至多一个零点，111与题设不符；所以flna0，即aa2lna0，即1lna0，aaa令a12111lna，a20，aaaa在0,上单调递增，10，故a的取值范围0,1．又f2ae4a2e220，∴fx在,lna上有一个零点；31，a设存在正整数n0，满足n0ln则fn0e由于lnn0aen0a2n0en0n02n0n00，31lna，∴fx在lna,上有一个零点．a综上，a的取值范围（0，1）21．解：（1）由题可知，单件产品为次品的概率为0.015，所以XB10,0.015，所以PX0C100.0150.9850.86,PX1C100.0150.9850.1305，0010119所以PX21PX0PX10.0095．由PX20.0095可知，如果生产状态正常，一天内抽取的10个零件中，至少出现2个次品的概率约为0.0095，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的规定是合理的．（2）若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为8000，9000，则P8000p，P90001p，所以E8000p90001p90001000p，若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为元，则的所有可能值为7000，11000，则P70001p，P11000p，所以E70001p11000p70004000p，所以EE20005000p，22时，EE，应先检测乙部件；当p时，EE，552先检测甲部件或乙部件均可；当p1时，EE，应先检测甲部件．5x122．解：（1）fx的定义域为0,，fx2．x则当0p所以fx在0,1上单调递减，在1,上单调递增．所以fx的最小值为f1ln111x22a1（2）①法一：gxlnxa21，gx．3xxa12aa2a∵x2a2a0，2(1a)1a22∴gx0，即gx在0,a上单调递减．1a∴gxgaa12aa1alnln1．1a1aa1aa1（当且仅当x1时，等号成立）．x由（1）知，fx的最小值为f11，即lnx1∴ln1aa，即gx0．11aa法二：由（1）知，fx的最小值为f11，1（当且仅当x1时，等号成立）．x1a因为0a，所以01．21a即lnx11axa111x10得证．所以gxlnxa211a21xx2xx


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