2023学年辽宁省丹东市高二(上)期末数学试卷+答案解析(附后)

2023年12月4日发(作者：高考数学试卷早期答案解析)

2022-2023学年辽宁省丹东市高二（上）期末数学试卷1.

抛物线A.

的准线方程为( )B. C. D.

2.

学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有( )A.

种B.

种，焦点分别为C.

种，D.

种3.

已知椭圆过点A.

4.

已知空间向量B.

，则椭圆的离心率为( )C.

，，D.

若，，，共面，则实数m的值为( )A.

5.

在正方体角的正切值为( )B.

6C.

中，点E是D.

12的中点，则二面角的平面A.

16.

双曲线线方程为( )B.

5C.

2D.

的焦点到渐近线的距离等于a，则双曲线C的渐近A. B. C. D.

7.

如图所示为某公园景观的一隅，是由ABCDE五处区域构成，现为了美观要将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为( )A.

2168.

已知圆O：B.

144与圆C：C.

128D.

96交于A，B两点，则四边形OACB的面积为( )A.

12B.

6C.

24D.

9.

20件产品中有18件合格品，2件次品，从这20件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是( )第1页，共17页A.

C.

10.

若A.

C.

11.

已知直线l：A.

当时，直线的倾斜角为B.

D.

，则( )B.

D.

，则下列表述正确的是( )B.

当实数k变化时，直线l恒过点C.

当直线l与直线12.

在棱长为2的正方体满足，，，平行时，则两条直线的距离为1D.

直线l与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4中，E，F分别是AB，BC边上的动点，且则( )夹角相等垂直A.

当B.

当C.

当D.

当时，正方体各棱与平面时，存在使得直线时，满足与平面的点E有且只有两个的距离为，则异面直时，异面直线EF与13.

已知异面直线AB和CD的方向向量分别为线AB和CD所成角的余弦值为______ .14.

“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在1261年中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除1外，其他每一个数字都是其上一行的左右两个数字之和，若在杨辉三角中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为3：5：5，则这一行是第______

行.15.

平行六面体，线段的底面是菱形，的长度为，则，，______ .16.

已知椭圆C：与x轴和y轴分别交于M，N两点，且，直线l与C在第一象限交于A，B两点，直线l，点E为AB的中点，直线OE倾斜角的第2页，共17页正切值为，，则直线l的方程为______

；椭圆C的离心率为______

本题第一空2分，第二空3分17.

已知圆C的圆心在直线求原点关于直线求圆C的方程.上，且与直线对称点的坐标；相切于原点.18.

如图，在直三棱柱求点到平面的距离；若点M是棱BC的中点，求直线中，，与平面所成角的正弦值.19.

双曲线的一条渐近线方程为，且经过点求C的方程；为坐标原点，过双曲线C上一动点为，且，在第一象限分别做C的两条渐近线的平行线为定值.与x轴分别交于P，Q，求证：20.

已知抛物线C：若直线AB的倾斜角为的焦点为F，过F的动直线与C交于A，B两点.，求弦AB的长度；，，求，的最小值.，E是PB上的动点.设A，B两点到x轴的距离分别为21.

如图，PO是三棱锥若若值为时.求二面角的高，平面PAC，请确定点E的位置，并说明理由；，，当E是PB中点，且二面角的正弦值.的正切第3页，共17页22.

已知动点P到点曲线求曲线E的方程；的距离与到直线l：的距离之比为，记点P的轨迹为曲线E与x轴正半轴交于点M，过F的直线交曲线E于A，B两点异于点，连接AM，BM并延长分别交l于D，C，试问：以CD为直径的圆是否恒过定点，若是，求出定点，若不是，说明理由.第4页，共17页答案和解析1.【答案】B

【解析】解：由定义得抛物线故选：利用抛物线的定义，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查运算能力，属于基础题．的准线方程为2.【答案】D

【解析】解：由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有故选：由分步计数乘法原理即可求解．本题考查分步计数原理的运用，考查运算求解能力，属于基础题．种，3.【答案】A

【解析】解：设椭圆方程为，右焦点为，由题有：，，故离心率为故选：由题可得椭圆方程，后可得椭圆离心率．本题考查椭圆的几何性质，方程思想，属基础题．4.【答案】A

【解析】解：由，，共面，可设，则，由，解得，代入第三个方程可得：，解得故选：第5页，共17页根据向量共面，建立方程组，解得答案．本题主要考查了空间向量的线性运算，属于基础题．5.【答案】C

【解析】解：如图，因几何体为正方体，则又平面，则垂线，交面，，故面，则，的平面角．即为二面角中点．过E作直线故故选：由题可得于F，则F为为二面角的平面角，后结合题目条件可得答案．本题主要考查二面角的求法，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C

【解析】解：根据题意可知双曲线的一条渐近线的方程为，右焦点为，则，故渐近线方程为故选：由点到直线距离公式可得a，b间关系，据此可得答案．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，属基础题．7.【答案】B

【解析】解：将五处区域用鲜花装饰，要求相邻区域种植不同色的鲜花，有4种颜色鲜花可供选用，则不同的装饰方案数为，第6页，共17页故选：由排列、组合及简单计数问题，结合分步计数原理求解即可．本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分步计数原理，属基础题．8.【答案】A

【解析】解：圆C：圆O：与圆C：，即可得，所以四边形OACB的面积：故选：由两圆的方程相减可得公共弦方程，求解弦长以及圆心距，即可求解四边形OACB的面积．本题考查两圆的位置关系，以及圆的弦长公式和公共弦方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．，，的圆心，半径为3，相减可得直线AB的方程9.【答案】BCD

【解析】解：直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有如下可能：抽出的3件产品中恰有1件次品的抽法抽出的3件产品中恰有2件次品的抽法故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为间接法：法一：这20件产品中任意抽取3件的抽法为格品的抽法为，，C正确；，但2个次品的情况重；；，A错误，B正确；，抽出的3件产品中没有次品全为合故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，抽法为复一次，抽出2个次品的抽法为，故抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法为故选：，D正确；直接法：抽出的3件产品中至少有1件次品有两种可能：恰有1件次品和恰有2件次品，运即可算求解；间接法：法一：20件产品中任意抽取3件的抽法减去没有次品全为合格品的抽法；法二：先抽取1件次品，再从剩余的19件中任取2件，减去重复一次的情况个次品第7页，共17页本题主要考查组合及简单计数问题，考查转化能力，属于中档题．10.【答案】AC

【解析】解：对于A，令，得，A正确；对于B，由二项式展开项通项公式可得第2项为，故B错误；对于C，令确；对于D，令故选：对于ACD，由赋值法求解；对于B，由二项式展开项通项公式求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．，得，D错误．，得，故C正11.【答案】ABD

【解析】解：A选项，当为，故A正确；，则直线过定点平行，则则l与直线，故B正确；，则直线方程为：之间的距离为，时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角B选项，由题可得C选项，因直线l与直线，即故C错误；D选项，分别令x，，可得直线与y轴，x轴交点为，又交点在两坐标轴正半轴，则故围成三角形面积为，当且仅当时取等号．即面积最小值为4，故D正确．故选：A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；B选项，将直线方程整理为C选项，由题可得，由此可得直线所过定点；，即，后由平行直线距离公式可判断选项；第8页，共17页D选项，分别令x，形面积为，可得直线与y轴，x轴交点为，后由基本不等式可判断选项．，，则围成三角本题主要考查直线的性质，以及基本不等式的公式，属于基础题．12.【答案】AD

【解析】解：在棱长为2的正方体满足，，，中，E，F分别是AB，BC边上的动点，，以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则当，时，，，，，，，，，得，，设平面则的一个法向量为，取，，，，，，同理，正方体各棱与平面当则直线与平面时，，，夹角相等，故A正确；，与，，不垂直，不垂直，故B错误；第9页，共17页当由化简得时，，得，设，，，，，，这样的点E不可能有两个，故C错误；当时，，则是异面直线EF与异面直线EF与故选：建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直的判定、直线与平面的夹角、异面直线公垂线段等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．，的公垂线段，且，故D正确．，，，，EF的中点为，，的中点为，的距离为13.【答案】

【解析】解：设异面直线AB和CD所成角为，则故答案为：根据异面直线夹角求余弦值的坐标公式，可得答案．本题考查向量法求解异面直线所成角问题，属基础题．14.【答案】7

【解析】解：由题意得这一行为第，由题意可得解得，，行，且这三个数分别为，，第10页，共17页这一行是故答案为：设这一行为第行．行，且这三个数分别为，，，利用组合数公式可得出关于n的等式，解出n，能求出结果．本题考查杨辉三角、组合数公式、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．15.【答案】

【解析】解：根据题意，作出平行六面体，因为所以因为所以解得故答案为：利用空间向量基本定理得到，，，，，，，，平方后，利用数量积公式列出方程，求出本题考查空间向量基本定理，数量积公式，属于基础题．16.【答案】【解析】解：椭圆C：

，直线l与C在第一象限交于A，B两点，直线l，点E为AB的中点，直线OE倾斜角的正切与x轴和y轴分别交于M，N两点，且值为设，，，可知E为A、B的中点；第11页，共17页可得，解得，，所以，，斜率为：，即，；所以直线l的方程为：设由相减可得：则所以，，，，线段AB的中点为E，，，故答案为：；利用已知条件求解E的坐标，推出M、N的坐标，然后求解直线l的方程；利用点差法求解a，b关系，然后求解椭圆的离心率．本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．17.【答案】解：设原点关于直线，又中点在直线对称点坐标为上，，则两个点的中点坐标为①，过两个对称点的直线与已知直线垂直，，得联立①②解得对称点坐标为过原点且与直线又易知圆心在联立②，；垂直的直线方程为，上，，圆心为，上，且圆心在直线，解得第12页，共17页又原点在圆C上，所求圆的方程为：【解析】答案；因圆C与直线半径，

若两点关于直线对称，则两点连线中点在直线上，且两点连线与直线垂直，据此可得相切于原点，则圆C过原点，且圆心在直线上，又圆心在直线上，可求得圆心坐标与圆的半径．本题考查直线的点斜式方程的应用，圆的方程的求解，属中档题．18.【答案】解：由题意知，CA，CB，两两垂直，，故以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则所以设平面令设点，，，，，，则，，，，，，的法向量为，则到平面，所以，即的距离为d，则设与平面的夹角为，则，故与面的夹角的正弦值为

，求得平面，得解；，，得解．的法向量，【解析】以C为坐标原点建立空间直角坐标系设点设到平面与平面的距离为d，由的夹角为，由本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握利用空间向量求点到面的距离，线面夹角的方法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．第13页，共17页19.【答案】解：A在双曲线C上，得曲线C的标准方程为渐近线为，解得，则，，证明：设点M坐标为则：，得，，则，同理，则又点M在曲线C上，即，，得证【解析】为定值，

根据双曲线渐近线方程以及已知点，联立方程，可得答案；，的直线方程，求出由题意先设出动点，利用点斜式方程，结合直线位置关系，写出直线P，Q的坐标，整理的表达式，利用整体思想，可得答案．本题主要考查了椭圆性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置位置的关系的应用，属于中档题．20.【答案】解：因为直线倾斜角为联立因为抛物线C：的焦点为，，时，故直线AB的方程为，可得整理得：，设，弦AB的长度为：，此时，；，由题可知，直线AB的斜率不为0，又焦点所以可设直线AB的方程为联立整理得：，，经验证恒成立，第14页，共17页设由题可得：又，，，此时，则，，，当且仅当时等号成立，此时AB与x轴，计算得垂直，即弦AB为通径时等号成立；所以【解析】的最小值是

求出直线方程，联立直线方程和曲线方程，整理后再利用弦长公式求解即可；根据题意设出直线方程，联立直线方程和曲线方程，整理后结合不等式的性质即可求解结论．本题主要考查抛物线的性质和计算能力，考查逻辑推理能力，属于中档题．21.【答案】解：由题意，E是BP中点，理由如下：延长BO交AC于点D，连接PD、OA，取AB中点M，连接OM，面ABC，又，是AB中点，，又若面BPD，面，面，，，，是BD中点，，，面PAC，则由线面平行性质定理得是BD中点，是BP中点；由题意，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系的方向为x轴正方向，，由，可知z轴在平面AOP内，，，，第15页，共17页，，由，可得平面ABC，，的平面角，，，，设平面AEB的法向量为，，，为二面角又，是PB中点，则，取，设平面AEC的法向量为，则，取，设二面角的平面角为，则

【解析】E的位置；建立空间直角坐标系，求出各点坐标，求出平面AEB和平面AEC的法向量，即可求出二面角的正弦值．本题考查了线面平行的应用和二面角的计算，属于中档题．通过证明，得到，再通过线面平行的性质，即可确定点第16页，共17页22.【答案】解：设由题则又由可得：设设动点，则，化简得；，与，，，则，联立可得：，，，令，得，则，，，，，同理可得又则注意到令以CD为直径的圆上动点为则可得因所过定点与参数m无关，则故圆恒过定点【解析】设动点和，则或，，

，由题可得，化简后可得E方程；由设：，，，可得，，后设以CD为直径的圆上一点为Q，由可得圆方程，即可得圆所过定点．本题涉及求轨迹方程，及探究圆是否过定点，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．第17页，共17页