高中数学中构造法的运用

2024年3月27日发(作者：2020年湖南高考数学试卷理科)

高中数学中构造法的运用

数学是学生学习生涯中最重要的学科之一，伴随着学习过程的深入，学生在数学学习的过程

中学习难度增加，遇到的困难也越来越大。难题的解答是学生在高中数学学习过程中遇到的

最大的挑战。构造法是解决高中数学难题有效的一种方法，通过将抽象的问题形象化、简化

复杂的问题，开拓学生思路，能有效提升学生的数学思维，增强解题的信心，达到事半功倍

的解题效果。本文将介绍几种常用的构造法在高中数学解题中的运用。

一、高中数学构造法解题的意义

构造法是指当解决某些数学问题使用通常方法按照定向思维难以解决问题时，应根据题设条

件和结论的特征、性质，从新的角度，用新的观点去观察、分析、理解对象，牢牢抓住反映

问题的条件与结论之间的内在联系，运用问题的数据、外形、坐标等特征，使用题中的已知

条件为原材料，运用已知数学关系式和理论为工具，在思维中构造出满足条件或结论的数学

对象，从而，使原问题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地展现出来，并借助

该数学对象方便快捷地解决数学问题的方法。通常构造法中运用的数学模型是在其他数学模

型基础上进行一定条件的假设，达到解决对应问题，关键在于将其中一个“未知”条件转换为

“已知条件”。在数学界的解题方法中，构造法有着独特的用处，在数学问题实际解答过程中

有着重要意义。

通常构造法的运用设计到多种数学知识，如图形、函数、方程、不等式等等，需结合实际的

数学问题选择相应的数学模型。华罗庚在数学学习和教学过程中，着重强调了图形在构造法

中的应用，提出实际的构造法中借助与图形能直观理解数学问题中的已知和未知，寻找到解

题的关键所在。选择一个角度，通过图形与数学公式的结合，能有效实现对问题的求解。不

仅仅图形，函数、方程和不等式在使用构造法进行解题的过程中也能起到重要的作用。函数

和方程是常用的也是学生比较熟悉的两种解题思路，常用作辅助工具实现构造法。因此构造

法不仅要求学生对当前的知识点理解清楚，还要熟悉其他相关的各种知识点。可见构造法通

常借助于多种数学模型，达到解题的目的。使用构造法解决数学难题，能培养学生的数学思

维和创新能力，达到提高数学解题能力的效果。

二、构造法在高中数学解题的实际应用

由于高中数学的复杂性逐渐提高，构造法在高中数学中的适用范围也越来越广，常见的构造

方法主要有函数构造法、方程构造法和图形构造法。

（1）图形构造法

图形构造法是高中最常见的构造解题方法之一，通常将数学问题转化为图形问题，通过图形

观察找到问题的关键，从而使问题得到解答。图形构造法要求学生对数学模型理解清晰，能

够根据数学问题绘制相应的图形，将问题的求解转化到图形上来。通常图形构造法与方程和

函数联系紧密，在对方程或函数的理解上能更清楚的绘制图形。

例如，求圆x2+y2=4和直线4x+3y=12之间的最短距离。

学生可以在稿纸上绘制该圆和直线的草图，观察圆与直线的位置关系。可以清楚的发现，通

过圆心作直线的垂线，可得到圆心到直线的最短距离。将直线沿着该出现移动，当与圆相切

时，找到与直线最近的点。可见最短的距离即直线沿着垂线移动的距离，可通过元新到直线

的距离减去圆心到最近点的距离即直径得到。通过上述方法，求得该最短距离为0.4。

（2）方程构造法

方程构造法也是高中数学常用的构造方法，通常与函数等联系较为密切，是高中数学重要的

内容，学生对之较为熟悉。其构造过程通常利用题目中已知条件给定的数量关系，结合结构

特征设想建立等价的式子，分析未知量之间的关系和方程的等价性，利用等式变换将抽象的

数学问题具体化，有时考虑特殊的情况，能有效提高学生解题速度和质量。使用方程构造法

对高中数学问题进行求解，对学生观察和思维能力的培养有一定促进作用。

例如：(a-b)2-4(b-c)(c-a)=0，求证a, b, c 为等差数列。

这个问题观察可知其结构与韦达定理类似，可采用方程的构造方法将其与结论联系起来，简

化问题的求解。构造方程如下(b-c) t2+(a-b)t+(c-a)=0，则Δ=(a-b)2-4(b-c)(c-a)=0，可知方程存在

两个相等实数根。观察容易发现，当t=1时，该方程成立，故这两个实数根均为1，由韦达

定理可知a+b=2c，从而证明了题目中a, b, c 为等差数列。可见通过方程构造法可将高中数学

的难题简化，转换成更有效的解决方式，对学生的观察能力、思考能力和解决实际数学问题

的能力有促进作用。

（3）函数构造法

函数构造法与方程构造法之间存在很多相似之处，方程与函数本身联系紧密，都是高中数学

十分重要的部分。利用函数构造法进行解题时，不仅可以培养学生良好的数学思维，还能有

效提高学生的解题技巧和能力。在高中数学中，函数的思想几乎涉及到各个知识点，在代数、

几何等中也有重要的运用。因此，函数构造法在求解相关的数学难题时，能通过知识点的转

化，将复杂的数学问题简化为函数问题，通过简单的计算进行求解。通过函数构造法的使用，

学生的数学思维和创造性将得到大大提高。

例如，已知a, b, c ∈R+, 其中a>b, 求证。

观察要求证的不等式，发现左右存在相似之处，将c看成是一个未知数，则可以构造函数

f(x)=，容易发现，函数f(x)在大于等于0的区间内是一个增函数，由此可知，当c>0时，

f(c)>f(0),也即。这样该问题得证。

三、小结

高中数学学习难度大，学习任务重，找到有效地学习方法，提高解决数学问题特别是难题的

能力至关重要。构造法能有效扩展学生的数学思维，提高学生解决数学难题的能力，在高中

数学的学习中能起到重要的作用，大大提高学生解决数学问题的能力。