2024年3月27日发(作者：五下数学试卷分析期末题)
用构造法求数列的通项公式
上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁
在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计
算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。但实际上有些数列并不是等
差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。而这些题目
往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列
的通项公式。对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的
类型的新数列。下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：
一．利用倒数关系构造数列。
11
4(nN),
求a
n
例如：
数列{a
n
}
中，若
a
1
2,
a
n1
a
n
1
,则b
n1
b
n
+4,
设b
n
a
n
即
b
n1
b
n
＝４，
{b
n
｝是等差数列。
可以通过等差数列的通项公式求出
b
n
,然再求后数列{ a
n
}的通项。
11
,(nN),
求a
n
练习：1)数列{ a
n
}中，a
n
≠0，且满足
a
1
,a
n1
1
2
3
a
n
2)数列{ a
n
}中，
a
1
1,a
n1
2a
n
,
求a
n
通项公式。
a
n
2
3)数列{ a
n
}中,
a
1
1,a
n
0,且a
n
2a
n
a
n1
a
n1
0(n2,nN),
求a
n
.
二．构造形如
b
n
a
n
的数列。
例：正数数列{ a
n
}中，若
a
1
5,a
n1
a
n
4(nN),求a
n
解：设
b
n
a
n
,则b
n1
b
n
4,即b
n1
b
n
4
2
22
2
数列{b
n
}是等差数列，公差是4，b
1
a
1
25
2
b
n
25(n1)(4)294n
即a
n
294n
a
n
294n,(1n7,nN)
2
练习：已知正数数列{ a
n
}中，
a
1
2,a
n
2a
n1
(n2,nN)
,
求数列{ a
n
}的通项公式。
三．构造形如
b
n
lga
n
的数列。
例：正数数列{ a
n
}中，若a
1
=10,且
lga
n
解：由题意得：
即
b
n
1
,
b
n1
2
1
lga
n1
,(n2,nN),
求a
n
.
2
lga
n
1
，可设b
n
lga
n
，
lga
n1
2
1
1
b
n
是等比数列，公比为，b
1
lg101
2
11
b
n
1()
n1
()
n1
,(nN)
.
22
()
n1
1
n1
即
lga
n
(),a
n
10
2
2
1
练习：（选自2002年高考上海卷）
2
数列{ a
n
}中，若a
1
=3,
a
n1
a
n
,n是正整数，求数列{ a
n
}的通项公式。
四．构造形如
b
n
a
n
m
的数列。
例：数列{ a
n
}中，若a
1
=6,a
n+1
=2a
n
+1, 求数列{ a
n
}的通项公式。
解：a
n+1
+1=2a
n
+2, 即a
n+1
+1=2（a
n
+1）
设 b
n
= a
n
+1, 则b
n
= 2 b
n-1
则数列{ b
n
}是等比数列，公比是2,首项b
１
= a
１
+1＝7,
b
n
72
n1
,即a
n
172
n1
a
n
72
n1
1
，
(nN)
构造此种数列，往往它的递推公式形如：
a
n1
ca
n
d,(c1)和S
n
a
n
n2的形式
。
如：a
n+1
＝c a
n
+d,设可化成a
n+1
+x=c(a
n
+x),
a
n+1
=c a
n
+(c-1)x
用待定系数法得： (c-1)x＝d
d
∴ x=.
c1
又如：Ｓ
n
+a
n
=n+2,
则 Ｓ
n-1
+a
n-1
=n+1,
二式相减得：Ｓ
n
－Ｓ
n-1
+a
n
－a
n-1
=１，即a
n
+a
n
－a
n-1
=１，
∴ 2 a
n
－a
n-1
=１，
11
a
n
=a
n-1
+.
22
1
如上提到b
n
= a
n
＋d = a
n
–1
c1
练习：1.数列{ a
n
}满足a
n+1
=3a
n
+2, 求a
n
2.数列{ a
n
}满足Ｓ
n
+a
n
=2n+1,求a
n
五．构造形如
b
n
a
n1
a
n
的数列。
例：数列{ a
n
}中，若a
1
=１，a
２
=3,a
n+2
+ 4 a
n+1
- 5a
n
=0 (n
N),求a
n
。
解： a
n+2
+ 4 a
n+1
- 5a
n
=0得： a
n+2
－ a
n+1
= - 5（a
n
＋１
－ a
n
）
设b
n
= a
n
＋１
－a
n
，
则数列{ b
n
}是等比数列，公比是-5,首项b
１
= a
2
- a
1
＝2,
∴a
n
＋１
－a
n
=2•(-5)
n-1
即a
２
－a
１
=2•(-5)
a
３
－a
２
=2•(-5)
２
a
４
－a
３
=2•(-5)
３
┄
a
n
－a
n
－１
=2•(-5)
n-2
以上各式相加得：a
n
－a
１
=2•［（-5）＋(-5)
２
＋(-5)
３
＋┄＋（-5）
n-1
］
2
n1
1（5）
即：a
n
－a
１
=2•
1(5)
4(5)
n1
1(5)
n1
a
n
1
，即
a
n
，（n
N)
3
3
当递推公式中，a
n
＋１
与a
n
的系数相同时，我们可构造b
n
= a
n
＋１
－a
n
，
然后用
叠加法得：b
1
+b
2
+b
3
+b
4
+┄+b
n
= a
n
-a
1
通过求出数列｛b
n
｝前n-1项和的方法，求出数列{ a
n
}的通项公式。
1) 当递推公式中形如:
a
n+1
=a
n
+an+b ; a
n+1
=a
n
+q
n
(q≠1) ; a
n+1
=a
n
+q
n
+an+b 等情形时，
可以构造b
n
= a
n
＋１
－a
n
,得: b
n
= an+b； b
n
= q
n
; b
n
=q
n
+an+b。
求出数列前n-1项的和T
n-1
,
a(n1)n
T
n-1
=
(n1)b
;
2
q(1q
n1
)
T
n-1
=；
1q
q(1q
n1
)
a(n1)n
T
n-1
=+
(n1)b
1q
2
a(n1)n
即： a
n
－a
１
=
(n1)b
;
2
q(1q
n1
)
a
n
－a
１
=;
1q
q(1q
n1
)
a(n1)n
a
n
－a
１
=
(n1)b
+
1q
2
a(n1)n
从而求出 a
n
=a
１
+
(n1)b
;
2
q(1q
n1
)
a
n
= a
１
+;
1q
q(1q
n1
)
a(n1)n
a
n
=a
１
+。
(n1)b
+
1q
2
2）当递推公式中形如:
1
11
a
n+1
=a
n
+；a
n+1
=a
n
+；a
n+1
=a
n
+等情形
（2n1）(2n1)
n(n1)
nn1
1
11
可以构造b
n
= a
n
＋１
－a
n
,得:：b
n
=；b
n
=；b
n
=
（2n1）(2n1)
n(n1)
nn1
11111
)
；b
n
=
n1n
即b
n
=
；b
n
=
(
nn122n12n1
从而求出求出数列前n-1项的和T
n-1
,
111
)
；T
n-1
=
n1
T
n-1
=
1
；T
n-1
=
(1
n22n1
1
即： a
n
－a
１
=
1
;
n
11
)
; a
n
－a
１
=
(1
22n1
3
a
n
－a
１
=
n1
1
从而求出 a
n
=a
１
+
1
;
n
11
a
n
= a
１
+
(1)
;
22n1
a
n
=a
１
+
n1
练习：1）数列{ a
n
}中，若a
1
=1，a
n+1
-a
n
=2n, 求通项a
n.
2）数列{ a
n
}中，若a
1
=1，a
n+1
-a
n
=2
n
, 求通项a
n.
3) 数列{ a
n
}中，若a
1
=2，
a
n1
a
n
2
n
n
，求通项a
n.
a
六．构造形如
b
n
n1
的形式。
a
n
例：数列{ a
n
}中，若a
1
=1，
(n1)a
n1
na
n
，求a
n.
a
n
解：由
(n1)a
n1
na
n
得：
n1
a
n
n1
aa
aa
123n1
∴
2
，
3
，
4
，…
n
a
1
2a
2
3a
3
4a
n1
n
a
1
用累乘法把以上各式相乘得：
n
a
1
n
1
∴
a
n
。
n
当递推公式形如：
a
n
q
n
a
n
；
(n1)a
n1
na
n
；
na
n1
(n1)a
n
等形式，
我们可以构造
b
n
a
n1
。
a
n
可得:
b
n
q
n
;
b
n
然后用叠乘法得：
b
1
b
2
b
3
b
n1
nn1
;
b
n
.
n1n
a
n
。
a
1
令数列{b
n
}的前n-1项的积为A
n-1
,则
n(n1)
11
A
n1
q
2
；
A
n1
;
A
n1
nn
n(n1)
a
n
aa
11
q
2
；
n
；
n
从而得到：
a
1
a
1
n
a
1
n
11
；
a
n
a
1
。
nn
练习：1）数列{ a
n
}中，若a
1
=2，
a
n
2
n
a
n
，求a
n.
七．构造形如
b
n
a
n1
ma
n
的形式。
a
n
a
1
q
n(n1)
2
；
a
n
a
1
例：数列{ a
n
}中，a
1
=2，S
n
=4a
n-1
+1，求a
n.
解：
S
n
=4a
n-1
+1，S
n-1
=4a
n-2
+1
二式相减：
S
n
-S
n-1
=4a
n-1
-4a
n-2
a
n
=4a
n-1
-4a
n-2
a
n
-2a
n-1
=2（a
n-1
-a
n-2
）
设b
n
=a
n+1
-2a
n
，
4
当递推公式形如 S
n+1
=4a
n
+2;a
n+2
=pa
n+1
+qa
n
(p+q=1) 等形式时，因
a
n
-2a
n+1
=2(a
n+1
-2a
n
);a
n+2
-a
n+1
=(p-1)(a
n+1
-a
n
),
我们构造b
n
=a
n+1
-2a
n
; b
n
=a
n+1
-a
n
,
由等比数列知识得b
n
=(a
2
-a
1
)·2
n-1
; b
n
=(a
2
-a
1
)·(p-1)
n-1
从而得到a
n+1
=2a
n
+(a
2
-a
1
)2
n-1
;a
n+1
=a
n
(a
2
-a
1
)(1-q)
n-1
由类型四求出a
n
。
总之 ，对于很多数列，我们都可以由递推公式构造新数列的方法求出他们
的通项公式。当然，在教学中我们应当充分调动学生的积极性，努力培养学生
的创造能力，让学生自己去构造，自己去探索，使学生亲尝到成功乐趣，激起
他们强烈的求知欲和创造欲。
5
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