2023年12月27日发(作者：江苏无锡初一数学试卷)
2.4数学期望的定义与性质
一、 随机变量的数学期望
二、 随机变量函数的数学期望
三、 数学期望的性质
四、 小结
一、随机变量的数学期望
离散随机变量的分布列全面地描述了随机变量的 统计性规律，但这样“全面的描述”有时不方便， 或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比 较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成， 一般比较平均亩产。
引例某手表厂在出产产品中抽査了N=100只手 表的日走误差，数据如下：
日走误差（秒）
只数GVJ
-2 -10
3 1O 17
12
28 21
3
16
4
5
日走误差（秒）
2
—1 O 1 2
3 4
只数GVJ
这时抽査到的100只手表的品均日走时误差为:
4
工（一2）x3+ +4x5
N1—2 _（ Gxd +…+4XB_].22（秒/日）
4
平均工％
4
N
4
值二
匕k
N
=£财X.离散型随机变量的数学期望
定义:设离散型随机变量£的可能的取值为和匸）,
CO
其分布列为P{H，心1，2,….若2＞皿
/=|
敛，则称随机变量£存在数学期望吓
思考：1、为什么要绝对收敛？
2、若不绝对收敛会有什么结果?绝对收
关于定义的两点说明
(1) Eg是一个实数，而非变量，它是一种加 权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现 了随机变量歹取可能值的真正平均值，也称 均值.
(2)
级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变，之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机乙射手
击中环数
8 9 1O
变量取可能值 的平均值，它不应随可能值的排列次序而改变.
试问哪个射手技术较好?
解 设甲，乙射手击中的环数分别为歹,〃・
£^ = 8x0.3 + 9x0.1 + 10x0.6 = 9.3(环),
E” = 8x0.2+9x0.5 + 10x0.3 = 9.1（环）,
故甲射手的技术比较好.
例2二项分布
设随机变量歹服从参数为n.p二项分布， 其分布列为
/ 、
P{^ = k}=
； //(l — p)U(\"0,l,2,・・・‘),Ovpvl・
则有
I丿”
E(G = ±k・P< = k}
k=O
=»
n
jt=o
丁
nyyn — ±j. k-l(、_
_=y
合仏-------------
-DIKn-l—Q)]!
pk(i-p)n-k
np(n — 1)!
= np[p + (l-p)y^1
=np
则两点分布方(l,p)的数学期望为p.
例3泊松分布
占〜P(A),且分布律？
P{f二灯二一产，k\'・\"0,1,2,
・・・，久〉0・则有
s 2
k
00
E®也令
(k -1)!
*=1
若逐个检例4在某地区进行某种疾病普査，为此要检査
需要N次，有没有办法减少检验的工作量?
析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的 结果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而 每人只需检验1/k次；否则，对这k人逐一检验即
可，则这k人每人需检验(l+1/k)次，从而k个人需 要检验总次数可能是1或是(1+k)次，是一随机变量。
每一个人的血液，如果当地有N个人,
每人的检验结果是独立的，若每人的血液呈阳性的概率 为P，呈阴性的概率为q二1-P，则这k个人血液呈阴性的概率 是讥而呈阳性的概率为1寸・
令f表示检验时R个人一组每人所需验的次数，
其分布列为•• 1+1/1
& —
由此可求的每人所需的平均检验次数：
Eg
二
3屮]+。2卩2 =1\"/ +(1 + 1/切(1一『)
= ]_『
+1/E
每人检验一次，所以当l・\"+l/kvl时，即q>l/
需要分组，若q已知，还可以从Eg二l・『 +
l/k
选出最适合的整数匕
例5几何分布
设“纟的分布律为P苗=U=qf
g = 1 — “； R = 1,2,…；0 V
p < 1
8 00
则有臥q_\'p =
k= k=
= p±(^r = p(Z?Ar
*=\' /t=l
=p —(-^-y= qP
―=丄p
(IS
1.
一维离散型随机变量函数的数学期望
设离散型随机变量§的分布列为p（n，（心1,2,…）为x的单值函数，
如果£|g（d）p| <8,有Eg® =乞g（a“Pi
i=l
i=若gx）二、随机变量函数的数学期望,
（
证明 令〃=&（£）,则77仍是一个离散的随机 变量，设其可能取值为2,（丿=
1,2,…）
贝
Ij
p（rj = b）=工
P（g =用）
g（©
）=bj
6
由数学期望的定义有：Eg©二ESbjP®oO
二b）
>1
=Dj 工
P（§ = aj
J=1
=£ 22 g（e）p（e = q）
7=1
g（aj=bj
s
=O（q）P（§=Qi）
<=1
2.二维离散型随机变量函数的数学期望
定理2.3
若（§,〃）是二维随机变量，其联合分布列
又兀』）如果
为
P（g =乞,〃 =b）=卩丐,i.j = 1,2,...
工工|g（q“）|為 V8,有E gGCl =为为g（a「bj）pi J i j
『
三、数学期望的性质
1
•若°5£5伉贝I」砖存在，Ra Op 证明 由于c < cii兰6 E（歹）=12 a4 OO QO 贝 Ua=»ap < 左（歹）<，bp = h i=l i=l 2•设二维离散随机变量（£,\"）,若Eg, E”存在 则对任意实数 k],l<2 则有 ECk^+k^） = .k1E^ + k2E；7 3 •又若& 〃相互独立的，则碼〃存在, E 命= 证明（2） E*伙|£ +处77）= ££伙“ +&2巧）卩口 1=1 j= CO S =X X gPi j + S S 工 X k2bJ）Po 1=1 J=1 OO /=1 J=1 QO 呐工卩Pi.+k?工％j /=! j= /? 川 性质2可推广: Z=1 jOO 8 i= ⑶砖〃=工工 i%冃 8 i=l J= =Eg・ Er/ 例6 —民航送客车载有20位旅客自机场开出 旅客有10个车站可以下车如到达一个车站没 并设各旅客是否下车桩独立引入随机变量X ). 有旅客下车就不停车以X表示停车的次数求 E(X)(设每位旅客在各个车站F车是等可£ =1,2, ,10. 能的 Jo,在第i站没有人下车 /= 11,在第,站有人下车, 则 X = X1 + X2 + -.-+X10. 则有P{X,=O 得 E(X) = E(X. + X2 + …+ X10) 由此E(Xi) = =E(XJ + E(X2)+ ・・・ + E(X]O) =8.784(次). 小结 数学期望是一个实数，而非变量,它是一种加权 平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现了 随机变量X取可能值的真正的平均值. 2.数学期望的性质 1° E(C) = C; 2° E(Cg) = CE©; V 3° E(kg + K?/?) = Eg + Eq; 4°的独立亠砖77 =作业：磅励. 27； 31；； 32 33 3・常见离散型随机变量的数学期望 分布 分布律 E(X) P (0・1)分布 X 〜B(5 二项分布 ^=0,1 P{X=k}=C^p(l^p)- np £ k,lkX~Bg p) 泊松分布 X 〜P(2) 几何分布 P{X=k}^-e-^ kl Ar=0,l,2,・・・ klP{X=k}=(l- P)~ P £=1,2,・・・ 2 1 P 备份题 例1你知道自己该交多少保险费吗？ 根据生命表知，某年龄段保险者里，一年中 每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人 参加人寿保险，若在死亡时家属可从保险公司领 取2000元赔偿金•问每人一年须交保险费多少 元？ EV V plOOOOy E(X) = \"000、 (0.002/(1-0.002) 1OOOO-/1 k1年中死亡人数为X ,则X〜b(l 000Q0.002) 解 设 =20(A). 被保险人所得赔偿金的期望值应为 20x2000=40000(元). 若设每人一年须交保险费为。元, 由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的 赔偿金的期望值相等知 lOOOftz = 40000=> a = 4(元)， 故每人1年应向保险公司交保险费4元. 例2设 X P —2 O 1 3 1/3 12 1/12 1/12 求：E(2Q+5)・ 解 E(2Q+5) = 2E(X3) + E(5) = 2E(X3) + 5, 又 E(X) = (-2)x- + 0x- + lx —+ 3x —= -|, 3 33333 12 故 E(2X3 + 5) = 2E(X3) + 5 = 2x 12 .13 23, 例3 按规定，某车站每天8 : 00〜9 : 00, 9:00- 的，且两者到站的时间相场虫立•其规律为到站 . 概率都恰有一辆客车到站但到站的时刻是随机 8:00(i) 10: 00一旅客9:10到车站，求他候车时间的数学鯉6 30 时刻 8:10 8:30 3 8:50 (ii) 一旅客8 : 20到车站，求他候车时间的数学鯉. 解设旅客的候车时间为x(以分计). (i) X的分布律为 X 10 1 6 13 30 50 3 2 6 6 2 Pk 候车时间的数学期望为 E(X) = 10x- + 30x- + 50x- 6 6 6 =33.33(分). (ii) X的分布律为 X 10 3 Pk 6 < K 30 2 6 50 70 1 1 1 3 —x - —x 6 6 6 6 90 1 2 X 6 6 候车时间的数学期望为 E(X) = 10x- + 30x? + 50X2X2 + 70XLX- + 90X2X? 6 6 6 6 6 6 6 6 =27.22(分).
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数学,期望,检验,分布,旅客
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