随机变量的数字特征(数学期望)

2023年12月27日发(作者：福州高三市考数学试卷)

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第十一讲 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的

数字特征

前面讨论了随机变量的分布函随机变量的概率特性：分布函数、密度函数以及分布律等，在描述随机变量时具有全面、完整、详细的特点，但分析过程比较复杂，且重点不够突出。

如, 在评价一批棉花的质量时, 人们关心的往往不是纤维长度的具体分布，而是纤维的平均长度和纤维长度与平均长度之间的偏离程度。平均长度较大, 偏离程度较小,质量就好。

1. 数学期望——描述随机变量的平均值

引例 一射手进行打靶练习，射手一次射击得分数X是一个随机变量。设X的分布律为

P{X=k}=pk,k=0,1,2.

现在射击N次，其中得0分的有a0次，得1分的有a1次，得2分的有a2次.

a0+a1+a2=

N. 他射击N次得分的总和为a00+a11+

a22。于是平均一次射击的得分数为

a00a11a222Nkak

k0N射击的平均得分数描述了射手的射击水平。

这里ak/N是事件｛X=k｝的频率。当N足够大时，ak/N在一定意义下接近于事件｛X=k｝的概率pk，也就是说，随机变量X的观察值的算术平均2k0kak/N在一定意义下接近于2k0kp我们称2k。k0kpk为随机变量X的数学期望或均值。

不得用于商业用途

数, 从中知道随机变量的分布函数能完整地描述随机变量的统计规律性.

但在许多实际问题中, 人们并不需要去全面考察随机变量的变化情况, 而只要知道它的某些数字特征即可.

例如, 在评价某地区粮食产量的水平时, 通常只要知道该地区粮食的平均产量;

又如, 在评价一批棉花的质量时, 既要注意纤维的平均长度, 又要注意纤维长度与平均长度之间的偏离程度, 平均长度较大, 偏离程度小, 则质量就较好. 等等

实际上, 描述随机变量的平均值和偏离程度的某些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义, 它们能更直接、更简洁更清晰和更实用地反映出随机变量的本质.

本章将要讨论的随机变量的常用数字特征包括: 数学期望、方差、相关系数、矩.

§1 数学期望

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定义 设离散型随机变量X的分布律为

P{Xxi}pi,i1,2,

若级数xipi绝对收敛, 则称级数xipi的i1i1

和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即

E(X)xipi. （1.1）

i1定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若积分

xf(x)dx



绝对收敛, 则称积分xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即

E(X)xf(x)dx. （1.2）

数学期望简称期望，又称为均值。若X服从某一分布，也称E(X)为这一分布的数学期望。

例１ 甲, 乙两人进行打靶, 所得分数分别记为X1,X2, 它们的分布律分别为

X1012X2012

,

pi00.20.8pi0.60.30.1试评定他们的成绩的好坏.

解：

EX10010.220.81.8(分)

EX200.610.320.10.5(分)

这就意味着，如果甲进行很多次的射击，那么，所得分数的算术平均就接近于1.8，而乙的算术平均接近于0.5分。

很明显，乙的成绩远不如甲的成绩。

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例２ 有2个相互独立工作的电子装置, 它们的寿命Xk(k1,2) 服从同一指数分布,其概率密度为

f(x)1ex/,x0,0.

0,x0若将这2个电子装置串联联接组成整机, 求整机寿命(以小时计)N的数学期望.

解：由题意知，整机寿命N=min(X1, X2).

（为求N的数学期望，先求N的概率密度）.

Xk(k1,2)的分布函数为

F(x)1ex/,x0

0,x0于是，N的分布函数为

F(x)1[1F(x)]21e2x/,x0min

0,x0因而，N的概率密度为

22x/fe,x0min(x)

0,x0于是N的数学期望为

E(N)xfx2xmin(x)dx20edx2.

例３ 按规定，某车站每天8:00~9:00和9:00~10:00之间都恰有一辆客车到站, 但到站的时刻是随机的, 且两者到站的时间相互独立. 其规律为

到站时刻

8:10 8:30 8:50

9:10 9:30 9:50

概率 1/6 3/6 2/6

一旅客8:20到车站, 求他候车时间的数学期望.

不得用于商业用途

Fxxf(x)dxxx10edx

xxxe1e0Fminx1[1F(x)]21e2x

x求积分2x0e2dx.令t2x,则dt2dx或dx2dt原积分20tetdt不定积分的分部积分公式：

uvdxuvuvdx

定积分的分部积分公式：

bbaudvuvabavdu

设I0tetdt，则Itetdttd(et00)tett00edttlimttet00edt

etdtet001

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解：设旅客的候车时间为X(以分计).X的分布律为

X 10 30 50 70 90

pk32111

6

6

66

636

1626

候车时间的数学期望为

E(X)10321113630650667066　　　　901266　　　27.22（分）

例４ 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式. 记使用寿命为X(以年计), 规定:

X1,一台付款1500元;1X2,一台付款2000元;2X3,一台付款2500元;

X3,一台付款3000元.设寿命X服从指数分布, 概率密度为

fx1ex/10,x100

0,x0.试求该商店一台电器收费Y的数学期望.

解：先求寿命X落在各个时间区间的概率，即一台收费Y的分布律.

xP{Y1500}P{X1}1110010edx1

xe1011e100.09520P{Y2000}P{1X2}21x110e10dx2ex

10e110e2100.08611不得用于商业用途

以Y1表示“第一班车的到站时刻”，以Y2表示事件“第二班车的到站时刻”，

则“顾客候车时间为10分钟”相当于P{Y1=8:30}，

而“顾客候车时间为50分钟”相当于P{Y1=8:10，Y2=9:10}.

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P{Y2500}P{2X3}0.0779P{Y3000}P{x3}0.7408

一台收费Y的分布律为

Y 1500 2000 2500 3000

pk

0.0952 0.0861 0.0779 0.7408

Y的数学期望

E(Y)15000.095220000.086125000.077930000.7408

2732.15(元).即平均一台收费2732.15元。

例５ 设X~(),求E(X).

解：X的分布律为

P{xk}kek!,k0,1,2,,0.

X的数学期望为

E(X)kkek1k0k!ek1(k1)!

ee.即E(X)=.

例６ 设X~U(a,b),求E(X).

解：X的概率密度为

1f(x)ba,axb

0,其它.X的数学期望为

E(X)bxxf(x)dxabadx1x22(b2a2ab

ba)ba2(ba)2即数学期望位于区间(a,b)的中点。

不得用于商业用途

kkek0k!

ekk1k0k!k1k1(k1)!212!nn!e该级数的收敛半径为R=.

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（课间休息）

2. 随机变量的函数的数学期望

定理1 设Y是随机变量X的函数: Y=g(x)（g

是连续函数）.

(i) X是离散型随机变量，它的分布律为

P{X=xk}=pk, k=1,2,...,若k1g(xk)pk绝对收敛，则有

E(Y)Eg(X)g(xk)pk （1.3）

k1

(ii)X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x).若g(x)f(x)dx绝对收敛，则有

E(Y)Eg(X)g(x)f(x)dx （1.4）

注: (i)定理的重要性在于:求E[g(X)]时, 不必知道g(X)的分布, 只需知道X的分布即可.

这给求随机变量函数的数学期望带来很大方便;

(ii) 上述定理可推广到二维以上的情形,

即有

定理2 设(X,Y)是二维随机向量,

Zg(X,Y), 且E(Z)存在, 则

（1）若(X,Y)为离散型随机向量, 其概率分布为P{Xxi,Yyj}pij(i,j1,2,)

则Z的数学期望为E(Z)E[g(X,Y)]g(xi,yj)pij,

j1i1（2） 若(X,Y)为连续型随机向量, 其概率密度为f(x,y)则Z的数学期望为

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E(Z)E[g(X,Y)]g(x,y)f(x,y)dx.

例７ 设风速V在（0，a）上服从均匀分布，即具有概率密度

1f(v)a,0va

0,其它.又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数，WkV2(k>0,常数)，求W的数学期望。

解：

E(W)kv2f(v)akv2dv0advak3av31

ka203例８ 设随机变量(X,Y)的概率密度

31f(x,y),2x3y2xyx,x1,

0,其它.求数学期望E(Y),E1XY.

解：E(Y)yf(x,y)dxdy

E(1XY)1xyf(x,y)dxdy

以上两式中的被积函数取非零值的区域由以下三条曲线决定：x=1, y=x, y=1/x.结合图形知

E(Y)yf(x,y)dxdyx13dy1y32dxx2xy

3211xlnyxlnx31dx3x1x3dx3lnxd(112x2)不得用于商业用途

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3lnx2x231112x2d(lnx)lim3lnxx2x23211x3dxlim3

x31x4x2311x3dx22x2134.E(1XY)1xyf(x,y)dxdy

x31143dydx3.x2xy53.数学期望的性质

（1）设C是常数，则有E(C)C;

（2）设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)CE(X);

（3）设X,Y是两个随机变量，则有

E(XY)E(X)E(Y);

这一性质可推广到任意有限个随机变量之和的情况.

（4）设X,Y是相互独立的随机变量, 则有

E(XY)E(X)E(Y).

这一性质可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况.

性质3和性质4的证明：

以连续型随机变量为例。设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)，其边缘概率密度为fX(x)，fY(y)，则

不得用于商业用途

特注：若已知E(XY)E(X)E(Y)，并不能够断定X和Y相互独立。

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E(XY)----(xy)f(x,y)dxdy--xf(x,y)dxdy

yf(x,y)dxdyE(X)E(Y).

又设X和Y相互独立，

E(XY)----xyf(x,y)dxdyxyfX(x)fY(y)dxdy

xfX(x)dxyfY(y)dy--E(X)E(Y).

例９ 一民航送客车载有20位旅客自机场开出, 旅客有10个车站可以下车. 如到达一个车站没有旅客下车就不停车. 以X表示停车的次数, 求E(X) (设每位旅客在各个车站下车是等可能的, 并设各旅客是否下车相互独立).

解：引入随机变量

0,在第i站没有人下车，Xii1,2,,10

1,在第i站有人下车，则XX1X2X10,且

E(X)E(X1)E(X2)E(X10)

又第i个旅客在第i站下车的概率为下车的概率为1，不109，20个旅客在第i站都不下10920车的概率为，因此，Xi的分布律为

（）1099P{Xi0}()20，P{Xi1}1-()20

1010

i1,2,,10

因此，

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202099E(Xi)011101091,i1,2,,101092020

E(X)10E(Xi)101108.784(次)例１０ 设一电路中电流I(A)与电阻R()是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

r2g(i)2i，0i1,，0r3,0,其它,h(r)

90,其它,试求电压V=IR的均值。

解：E(V)E(IR)E(I)E(R)

ig(i)dirh(r)dr123r302idi09dr13

2128133i3036r42(V).0336

选讲例题 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量。他们估计出售一件产品可获利ｍ元，而积压一件产品导致ｎ元的损失。再者他们预测销售量Y(件)服从指数分布，其概率密度为

1fey/,y0Yy，0，

0,y0.问若要获得利润的数学期望最大，应生产多少件产品（m, n,

均为已知）？

解：假设实际生产x件（x0）。随机变量Y可以理解为市场的需求量，则能够获得的利润与Y的函数关系如下：

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获得利润的数学期望为

EQ(Y)Q(y)fY(y)dy

因y0时，fY(y)0，因此，

EQ(Y)0Q(y)fY(y)dy

又Q(y)为分段函数，因此以上积

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mx,Q(Y)mYn(xY),获得利润的数学期望为

YxYx，

分化为

EQ(Y)myn(xy)fY(y)dy0xEQ(Y)Q(y)fY(y)dy0mxfY(y)dyx

myn(xy)e0x1y/(mn)(mn)eex/nxdymxex1即

y/dy

x1EQ(Y)myn(xy)ey/dy0d令EQ(Y)(mn)ex/n0

dxn得xln.

mn1mxey/dyx



d2(mn)x/e0 而2EQ(Y)dxn故知当xln.时E(Q)取得极大值，mn且可知这也是最大值。

附录 （洛必达法则）

定理 设

（1） 当xa时，函数f(x)及F(x)都趋于零；

（2） 在点a的某取心领域内，f(x)及F(x)都存在且F(x)0;

（3）

limxaf(x)存在（或为无穷大）；

F(x)那末

f(x)f(x).

limlimF(x)F(x)xaxa特别声明，对于x时的未定式，以及对于xa或x时的未定式，洛必达法则同样成立。

不得用于商业用途

00

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коммерческих целях.

以下无正文

不得用于商业用途