2024年4月6日发(作者：福建龙岩中考数学试卷下载)
余数问题
例 1、例 1 甲乙两数的和是 1088,甲数除以乙数商
解答：
甲+乙=11……32
甲＋乙 =1088
乙：
(
1088-32) + ( 11 + 1) =88
甲： 11x88＋ 32=1000
练习 1、 有两个自然数相除, 商是 17, 余数是 13, 被除数、
那么被除数是多少？
解答：
被+除=商……余数
17
17 13
除：
(
2113-13-17-13) + (17+1) =115
被： 115x17＋ 13=1968
例题 2、11121314A19981999 除以 9 的余数是多少？
分析：复习 9 的整除特征： 1 、各个数位上数字之和是 9 的倍数,此数能被 9 整除
9 的倍数, 此
9 的余数
13
被＋除＋商＋余 =2113
除数、 商与余数之和为 2113,
11 余 32,求甲乙两数
任意 9 个连续自然数之和为 9 的倍数, 因此任意连续 9 个自然数的数字和也是
即可.
解答：
1999 + 9 余 1
练习2、11121314••…20212021除以9的余数是多少？
分析：任意连续 9 个自然数的数字和也是
的倍数,看余几个数,只用计算余下来的数除以
解答：
2021 + 9 余 7
9 的倍数,此题可
题可 9 个自然数为一组, 刚好是 9 的倍数, 看余几个数, 只用计算余下来的数除以
9 个自然数为一组,刚好是 9
9 的余数即可.
例题 3、将自然数 1— 50 从左至右依次排列成一个 91 位数,求这个数被 11 除的余数？
11 的倍数. 分析：复习被 11 整除数的特征：奇位上数字之和和偶位上数字之和的差是
该题需要找规律,把这串数罗列出来：
1112 .............. 4647484950
奇位和：1+3+5+7+9+ (1+2+3+4+5+6+7+8+9) X 4=205
偶位和：2+4+6+8+ (1+2+3+4) X 10+5=125
(205-125) + 11 余 3
练习3、
(
16755+28696) +11的余数是几？
余数具有可加性特征,由于数比拟大,所以可以分开求出除以
再除以 11 即可
解答：
16755+ 11 余 2
28696 + 11 余 3
(2+3) + 11 余 5
例题4、
(
1) (16755x28696) +4的余数是几？ ( 2) 71427和19的积被7除,余数是几？
分析 :利用余数的可乘性,只用分别计算
断两个数除以 4 的余数只用看末 2 位.
【解答】：16755+4余3
28696 + 4 余 0
(3X0) + 3余 0
(2) 71427 +7 余 6
19+7 余 5
(6X5) + 7余 2
练习 4、(12345X 23456+34567X 45678+56789 +9 的余数是？
解答：
12345 + 9 余 6
23456 + 9 余 2
34567 + 9 余 7
45678 + 9 余 3
56789 + 9 余 8
(6X2+7X3+8) + 9 余 5
例题 5、 2021 的 2021 次方除以 5 的余数是多少？
【分析】 ：此题用余数的可乘性找规律可求解,
【解答】：2021 + 5余2
次方 1
余数 2
2
4
3
3
4
1
5
2
6 ••
4 ••
2021 的 2021 次方相当于 2 的 2021 次方,
16755 和 28696 除以 4 的余数,再将余数相乘.判
11 的余数,然后将余数相加
每一次算出的余数X 2再除以5的余数即为下一次的余数
4个一组 2021 + 4余0 ,答案为1.
练习 5、 1997 的 100 次方除以 7,余数是几？
解答：
1997+7 余 2
3 个一组,余数分别为
100+3余1,答案为2.
例题 6、有一串数,第一个是
之和,请问第
【解答】 ：
个数：1 2 3 4 5 6
数： 2 3 5 8 13 21 34
余数：2 3 5 1 6 06654261
16个一组 1994+ 16余10 ,答案为 4.
练习6、有一串数1,2,4,7,11,16,22,29 •这串数的组成规律是第 2个数比第一个数多1,第3
1992 个数除以 5 的余数是多少？
0 1 1 2 3 5 -
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 …
2,第二个是 3,从第三个数起每一个数都等于它前面两个数
2、 4、 1
1994 个数被 7 除的余数是？
个数比第 2 个数多 2,以此类推,这串数左起第
解答：
找规律余数分别为1、2、4、2、1、1、2、4 --
5个一组,1992+5余2,答案为2.
例题7、例1 11121314••…20212021除以9的余数是多少？
11121314 ……20212021
-(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 + ……+2021+2021)
f[(1+2021)X 2021+2]
―2021X 1008
―2021X 0
-0
所以余数为 0
练习7、11121314••…9991000除以9的余数是多少？
11121314 ……9991000
- (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 + ……+999+1000)
.( (1 + 1000)X 1000+2]
― 1001 X 500
f2X5
-1
所以余数为 1
例题 8、将 1 、 2、 3、 4 依次写下去组成一个数： 1112 ,如果写到某个自
然数时,所组成的多位数恰好第一次能被 72 整除,这个自然数是？
1112 ....
- (1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 + ....... +k)
—(1+k)x k+2(mod 9)
所以当k=8, 9, 17, 18, 26, 27……时可以被 9整除
由于原式可以被 8 整除,所以 k 是偶数
k=8 末三位678不能被8整除
k= 18末三位718不能被8整除
k=26末三位 526不能被8整除
k=36末三位536可以被8整除
所以答案为 36
例题 9、有一个整数用它去除 300, 262, 205 得到的余数相同.这个数是多少？
300-262,同理可以整除 300-205, 262-205.因 300 与 262 的余数相同,所以这个数可以整除
此只要找到三个数的公约数即可.
300-262=38
300-205=95
262-205=57
38、 95、 57 的最大公约数为 19, 19 为质数.所以这个数为 19.
练习 9、 392、 798、 1291 分别除以某个大于 1 的整数,所得余数相同.这个数是多少？
1291 -392= 406
1291 － 798=493
798－ 392=899
406、 493、 899 的最大公约数为 29,是质数.所以这个数是
例题 10、有一个整数,用它去除
由于29+3~9.3,所以这个数大于 9.
假设这个数大于 70,那么 70 的余数为 70 大于 29,所以这个数不大于
70+98+143- 29= 282=2 X 3 X 47
对于 282,大于 9 且不大于 70 的因子只有 47,所以这个数为 47.
练习 10、有一个整数,用它去除
50+3~16.7所以这个数大于16
假设这个数大于 70,那么去除 70 的余数为 70,大于 50.所以这个数不大于 70
70+ 110+ 160 —50=290=2X 5X 29
290 中大于 16 且不大于 70 的因子只有 29, 58.
进行验算, 29 符合, 58 不符合.所以答案是 29.
70, 110, 160 所得 3 个余数之和是 50.求这个数.
70.
29.
29,求这个数. 70, 98, 143 得到的三个余数之和是
例题11、六张卡片上分别标上 1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取 3张, 乙取2
张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另一个人的
那么丙手中卡片上的数是 .
2倍,
1193 1258 1842 1866 1912 2494
对3余数 2 10 0 11
只有1193对3的余数为2,所以丙数为1193
练习11、15、16、18、19、20、31千克,两个顾客买走了其中的五箱.其中一个顾客 购置的货物重
量是另一个的 2倍,那么商店剩下的货物重量是多少千克？
15 16 18 19 20 31
对3余数 0 10 12 1
只有20对3的余数为2 ,所以剩下的货物重量为 20千克.
例题12、有三个数相乘的积是一个五位数,积的后 4位数是1031,第一位数的各位数字之 和是10,第
二位数的各位数字之和是 8,求这两个三位数的和.
x
,
O31-
(
x+1+0+3+1)-(x+5)
义 181— 10X8-8
所以x+5=8, 8+9……
由于x< 9,所以x= 3
31031=7X 11 x 13X 31
一 7X2X4X4
一 7X4X2X4
一 10X 8
所以这两个数为 7X 13和11 x 31或者7X 31和11 x 13
经验算7 X 13=91为两位数不符,217和143符合
所以两个数的和为 217+ 143= 360
练习12、设的各位数之和为 A,A的各位数之和为 B,B的各位数之和为 C,C的各位数之和为 D,那么
D=?
(1)求D的范围
2021
3
®
OT
<9999X
10000
2005
<9999999 .... 9999 (2021
个
9)
得到 A<9X 2021<99999
得到 B<9X 5=45<99
得至U C<9X 2=18,C=1,2,3……16,17
得到 DW 9
(2)求D的性质
2OO9
2021
— 2
2021
- 5
2OO9
2021
f A- B - C - D
由于DW9,所以D=5
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