2024年3月21日发(作者：19年安徽省高考数学试卷)
椭
1．椭圆的定义：把平面内与两个定点
圆
F
1
F
2
）的点的
F
1
,F
2
的距离之和等于常数（大于
轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距
2.椭圆的标准方程：
y
M
F
1
cc
O
F
2
x
y
F
2
(设为2c).
c
O
c
F
1
M
x
x
a
2
2
y
b
2
2
1
（
a
＞
b
＞0）
y
a
2
2
x
b
2
2
1
（
a
＞
b
＞0）
mx+ny=1(m>0，
22
焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便，可设方程为
n>0)不必考虑焦点位置，求出方程
3.求轨迹方程的方法: 定义法、待定系数法、相关点法、直接法
例
1
如图
,
已知一个圆的圆心为坐标原点
,
半径为
2.
从这个圆上任意一点
P
向
x
轴作垂线
段
PP,
求线段
PP
中点
M
的轨迹
.
解:(相关点法)设点M(x, y),
则x＝x
0
, y
2
0
2
点P(x
0
, y
0
),
y
P
M
O
P
＝
y
0
2
2
得x
0
＝x， y
0
＝2y.
2
∵x＋y
0
＝4,
即
得x＋(2y)＝4,
x
4
y
2
1.
所以点M的轨迹是一个椭圆.
2222
x
4.范围. x
椭圆位于直线
≤a，y≤b，∴|x|≤a，|y|≤b．
x＝±a和y＝±b围成的矩形里．
5.椭圆的对称性
椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．
原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．
6.顶点只须令x＝0，得y＝±b，点B
1
(0,－b)、B
2
(0, b)是椭圆和y轴的两个交点；令
、B
1
(0, －b)、B
2
(0, b)．椭圆和它的对称轴的四个交点叫椭圆的顶点．
.
y
＝0，得x＝±a，点A
1
(－a,0)、A
2
(a,0)是椭圆和x轴的两个交点．椭圆有四个顶点：A
1
(－
a, 0)、A
2
(a, 0)
长轴的长等于
线段A
1
A
2
、B
1
B
2
分别叫做椭圆的长轴和短轴
2a. 短轴的长等于
长半轴长．b叫做椭圆的短半轴长．
|B
1
F
1
|＝|B
1
F
2
|＝|B
2
F
1
|＝|B
2
F
2
|＝a．
在Rt△OB
2
F
2
中，|OF
2
|＝|B
2
F
2
|－|OB
2
|，
即c＝a－b．
222
222
2b.a叫做椭圆的
y
B
2
a
b
A
1
A
2
x
F
1
O
c
F
2
B
1
1.若椭圆的连个焦点把长
A.
1
6
x
a
B.
1
3
y
b
2
2
轴分成三等份，则椭圆
D.无法确定
的离心率为（）
C.
2
3
2
2
2.
椭圆
1(ab0)
的左焦点为
F
1
(c,0)
，
A(a,0)
、
B(0,b)
是两个顶点，
b
7
，则椭圆的离心率
22
如果
F
1
到直线
AB
的距离为
e.
3.
求经过点
M(1,2)
，且与椭圆
xy
126
1
有相同的离心率的椭圆
22
的标准方程
.
y
(1)
当
e
越接近
1
时，
c
越接近
a
，从而
b
越小，因此椭圆越扁；
ac
O
x
(2)当e越接近0时，c越接近0，从而b越接近a，
因此椭圆越接近于圆；
(3)当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程成为x
2
y
2
a.
2
x
2.
已知
P
为椭圆
45
(1)
求
S
PFF
2
;
1
2
y
1
上的点，
F
1
，
F
2
为左右焦点，
PF
1
20
2
PF
2
，
(2)
求
P
点坐标
.
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