中考数学模拟卷(含答案)

2024年1月16日发(作者：高新区联考数学试卷)

中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）﹣2的倒数是（ ）

A．﹣ B． C．2 D．﹣2

2．（3分）下列计算正确的是（ ）

A．2+＝2 B．a+a2＝a3 C．2a•3a＝6a D．x6÷x2＝x4

3．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如下表：

领口尺寸（cm）

件数

38

1

39

5

40

3

41

3

42

2

则这14件衬衫领口尺寸的众数和中位数分别是（ ）

A．39cm、40cm

C．39cm、39cm

B．39cm、39.5cm

D．40cm、40cm

5．（3分）如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

6．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）

A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）

7．（3分）用一个直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ）

第1页（共26页）

A．60πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．72πcm2

8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A’恰好在∠BCD的平分线上时，CA’的长为（ ）

A．3或4 B．3或4 C．3或4 D．4或3

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（3分）函数中自变量x的取值范围是 ．

10．（3分）写分解因式a2﹣8ab+16b2的结果 ．

11．（3分）长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700000米，将6700000用科学记数法表示应为 ．

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC＝100°，则∠D＝ 度．

13．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为 ．

14．（3分）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是

第2页（共26页）

cm．

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将两个全等的矩形OABC和OA\'B\'C\'按图示方式进行放置（其中OA在x轴正半轴上，点B\'在y轴正半轴上），OA\'与BC相交于点D，若点B坐标为（3，1），则经过点D的反比例函数解析式是 ．

16．（3分）如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O重叠部分的面积是 ．

三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：（﹣2）2﹣．

18．（6分）化简：

19．（6分）解不等式组：

20．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

第3页（共26页）

（1）接受问卷调查的学生共有 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 度；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．

21．（8分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．

（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．

（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）

22．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE＝DF．

（1）求证：AE＝AF；

（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

23．（10分）一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．

第4页（共26页）

24．（10分）某店代理某品牌商品的销售．已知该品牌商品进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天100元，每天还应支付其它费用150元．

（1）求日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）该店员工人共3人，若某天收支恰好平衡（收入＝支出），求当天的销售价是多少？

25．（12分）如图，A、F、B、C是⊙O上的四个点，连接OF交AB于点E，AO∥BC，AB∥OC，∠AOF＝30°，过点C作CD∥OF交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．

（1）判断四边形ABCO的形状并说明理由；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）若DH＝4，求EF的长．

第5页（共26页）

26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+m与坐标轴y轴交于点A，与x轴交于点B，过A，B两点的抛物线y＝x2+nx﹣8，点D为线段AB上一动点，过点D作CD垂直x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当DE＝12时，求四边形CAEB的面积；

（3）是否存在点D，使得△DEB和△DAC相似？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

27．（14分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

（1）操作发现：

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是 ；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 ．

（2）猜想论证：

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

第6页（共26页）

（3）拓展探究

已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．

第7页（共26页）

中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．（3分）﹣2的倒数是（ ）

A．﹣ B． C．2 D．﹣2

【解答】解：∵（﹣2）×（﹣）＝1，

∴﹣2的倒数是﹣．

故选：A．

2．（3分）下列计算正确的是（ ）

A．2+＝2 B．a+a2＝a3

和2C．2a•3a＝6a D．x6÷x2＝x4

【解答】解：A、2+不相等，故本选项不符合题意；

B、a和a2不能合并，故本选项不符合题意；

C、2a•3a＝6a2，故本选项不符合题意；

D、x6÷x2＝x4，故本选项符合题意；

故选：D．

3．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图是三角形的（ ）

A． B． C． D．

【解答】解：俯视图是三角形的是选项D，

故选：D．

4．（3分）商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如下表：

领口尺寸（cm）

件数

38

1

39

5

40

3

41

3

42

2

则这14件衬衫领口尺寸的众数和中位数分别是（ ）

A．39cm、40cm

C．39cm、39cm

B．39cm、39.5cm

D．40cm、40cm

第8页（共26页）

【解答】解：同一尺寸最多的是39cm，共有5件，

所以众数是39cm，

14件衬衫按照尺寸从小到大排列，第7，8件的尺寸都是40cm，

所以中位数是（40+40）＝40cm．

故选：A．

5．（3分）如图，过反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：∵点A是反比例函数y＝图象上一点，且AB⊥x轴于点B，

∴S△AOB＝|k|＝2，

解得：k＝±4．

∵反比例函数在第一象限有图象，

∴k＝4．

故选：C．

6．（3分）抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）

A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）

【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3）．

故选：B．

7．（3分）用一个直径为10cm的玻璃球和一个圆锥形的牛皮纸纸帽制作一个不倒翁玩具，不倒翁轴截面如图所示，圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，不倒翁的顶点A到桌面L的最大距离是18cm．若将圆锥形纸帽表面全涂上颜色，则涂色部分的面积为（ ）

第9页（共26页）

A．60πcm2 B．πcm2 C．πcm2 D．72πcm2

【解答】解：连接OB，作BH⊥OA于H，如图，

∵圆锥的母线AB与⊙O相切于点B，

∴OB⊥AB，

在Rt△AOB中，OA＝18﹣5＝13，OB＝5，

∴AB＝＝12，

∵OA•BH＝OB•AB，

∴BH＝＝，

，母线长为12，

π（cm2）．

∵圆锥形纸帽的底面圆的半径为BH＝∴形纸帽的表面＝×2π×故选：C．

×12＝

8．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝7，点E是AD上一个动点，把△BAE沿BE向矩形内部折叠，当点A的对应点A’恰好在∠BCD的平分线上时，CA’的长为（ ）

A．3或4 B．3或4 C．3或4 D．4或3

【解答】解：如图所示，过点A′作A′M⊥BC于点M．

∵点A的对应点A′恰落在∠BCD的平分线上，

第10页（共26页）

∴设CM＝A′M＝x，则BM＝7﹣x，

又由折叠的性质知AB＝A′B＝5，

∴在直角△A′MB中，由勾股定理得到：A′M2＝A′B2﹣BM2＝25﹣（7﹣x）2，

∴25﹣（7﹣x）2＝x2，

∴x＝3或x＝4，

∵在等腰Rt△A′CM中，CA′＝∴CA′＝3故选：B．

或4．

A′M，

二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

9．（3分）函数中自变量x的取值范围是 x≥﹣2 ．

【解答】解：根据题意得：4+2x≥0，

解得：x≥﹣2．

故答案为：x≥﹣2．

10．（3分）写分解因式a2﹣8ab+16b2的结果 （a﹣4b）2 ．

【解答】解：原式＝（a﹣4b）2，

故答案为：（a﹣4b）2．

11．（3分）长城是我国第一批成功入选世界遗产的文化古迹，长城总长约6700000米，将6700000用科学记数法表示应为 6.7×106 ．

【解答】解：6700000＝6.7×106．

故答案为：6.7×106．

12．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D是圆上两点，∠AOC＝100°，则∠D＝ 40

度．

第11页（共26页）

【解答】解：∵∠AOC＝100°，

∴∠BOC＝180°﹣100°＝80°，∴∠D＝40°．

13．（3分）如图，直线a∥b，点B在直线上b上，且AB⊥BC，∠1＝55°，则∠2的度数为 35° ．

【解答】解：∵AB⊥BC，∠1＝55°，

∴∠2＝90°﹣55°＝35°．

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝35°．

故答案为：35°．

14．（3分）钟表的轴心到分针针端的长为5cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是

cm．

【解答】解：圆心角的度数是：360°×弧长是＝cm．

＝240°，

15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将两个全等的矩形OABC和OA\'B\'C\'按图示方式进行放置（其中OA在x轴正半轴上，点B\'在y轴正半轴上），OA\'与BC相交于点D，若点B坐标为（3，1），则经过点D的反比例函数解析式是 y＝ ．

第12页（共26页）

【解答】解：∵点B坐标为（3，1），

∴AO＝3，AB＝CO＝1，

∵矩形OABC和OA′B′C′全等，

∴OA′＝OA＝3，A′B′＝AB＝1，

∵∠A′＝∠DCO＝90°，∠DOC＝∠B′OA′，

∴△CDO∽△A′B′O，

∴＝，即＝，

∴CD＝，

∴D（，1），

设经过点D的反比例函数解析式为y＝，

∴k＝×1＝，

∴经过点D的反比例函数解析式为：y＝故答案为：y＝．

，

16．（3分）如图，⊙O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为（5，0），顶点D在⊙O上运动，则正方形面积最大时，正方形与⊙O重叠部分的面积是

第13页（共26页）

+1 ．

【解答】解：如图所示，当点D运动到（﹣1，0）时，BD最长，

此时，正方形面积最大，∠CDO＝45°，

∴∠CDO＝45°，

又∵∠FDO＝45°，

∴CD经过点F，

同理可得，AD经过点E，

∴正方形与⊙O重叠部分的面积是△DEF的面积与半圆面积的和，

即×2×1+×π×12＝1+故答案为：+1．

，

三、解答题（本大题共11小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）计算：（﹣2）2﹣【解答】解：原式＝4﹣5﹣5＝﹣6．

18．（6分）化简：

第14页（共26页）

．

【解答】解：原式＝＝＝•．

•

19．（6分）解不等式组：

【解答】解：解不等式①，得x≥﹣4，

解不等式②，得x＞﹣，

故不等式的解集为x＞﹣．

，

20．（8分）“校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：

（1）接受问卷调查的学生共有 60 人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为 90 度；

（2）请补全条形统计图；

（3）若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数．

【解答】解：（1）∵了解很少的有30人，占50%，

∴接受问卷调查的学生共有：30÷50%＝60（人）；

∴扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为：故答案为：60，90；

第15页（共26页）

×360°＝90°；

（2）60﹣15﹣30﹣10＝5；

补全条形统计图得：

（3）根据题意得：900×＝300（人），

则估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为300人．

21．（8分）小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用（使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项）．

（1）如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是 ．

（2）如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率．

（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．（直接写出答案）

【解答】解：（1）∵第一道单选题有3个选项，

∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：；

故答案为：；

（2）分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题的3个选项，

画树状图得：

第16页（共26页）

∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，

∴小明顺利通关的概率为：；

（3）∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为：；

∴建议小明在第一题使用“求助”．

22．（10分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，BE＝DF．

（1）求证：AE＝AF；

（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠B＝∠D，

又∵BE＝DF，

∴△ABE≌△ADF，

∴AE＝AF；

（2）连接AC，

∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，

∴AB＝AC＝AD．

∵AB＝BC＝CD＝DA，

∴△ABC和△ACD都是等边三角形．

∴∠CAE＝∠BAE＝30°，∠CAF＝∠DAF＝30°．

第17页（共26页）

∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝60°

又∵AE＝AF，

∴△AEF是等边三角形．

23．（10分）一艘小船从码头A出发，沿北偏东53°方向航行，航行一段时间到达小岛B处后，又沿着北偏西22°方向航行了10海里到达C处，这时从码头测得小船在码头北偏东23°的方向上，求此时小船与码头之间的距离（≈1.4，≈1.7，结果保留整数）．

【解答】解：∵∠BAC＝53°﹣23°＝30°，

∴∠C＝23°+22°＝45°．

过点B作BD⊥AC，垂足为D，则CD＝BD．

∵BC＝10，

∴CD＝BC•cos45°＝10×∴AD＝＝5÷＝5≈7.0，

×＝5×≈5×1.4×1.7≈11.9．

∴AC＝AD+CD＝11.9+7.0＝18.9≈19．

答：小船到码头的距离约为19海里．

第18页（共26页）

24．（10分）某店代理某品牌商品的销售．已知该品牌商品进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），付员工的工资每人每天100元，每天还应支付其它费用150元．

（1）求日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；

（2）该店员工人共3人，若某天收支恰好平衡（收入＝支出），求当天的销售价是多少？

【解答】解：（1）当40≤x≤58时，设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），

将（40，60），（58，24）代入y＝kx+b，得：

，解得：，

∴当40≤x≤58时，y与x之间的函数关系式为y＝2x+140；

当理可得，当58＜x≤71时，y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+82．

综上所述：y与x之间的函数关系式为y＝（2）设当天的销售价为x元时，可出现收支平衡．

当40≤x≤58时，依题意，得：

（x﹣40）（﹣2x+140）＝100×3+150，

解得：x1＝x2＝55；

第19页（共26页）

．

当57＜x≤71时，依题意，得：

（x﹣40）（﹣x+82）＝100×3+150，

此方程无解．

答：当天的销售价为55元时，可出现收支平衡．

25．（12分）如图，A、F、B、C是⊙O上的四个点，连接OF交AB于点E，AO∥BC，AB∥OC，∠AOF＝30°，过点C作CD∥OF交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H．

（1）判断四边形ABCO的形状并说明理由；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）若DH＝4，求EF的长．

【解答】（1）解：四边形ABCO是菱形，

理由如下：∵AO∥BC，AB∥OC，

∴四边形ABCO是平行四边形，

∵OA＝OC，

∴平行四边形ABCO是菱形；

（2）证明：连接OB，

∵四边形ABCO是菱形，

∴OC＝BC，

∵OB＝OC，

∴OB＝OC＝BC，

∴△BOC为等边三角形，

同理，△BOA为等边三角形，

∴∠AOB＝60°，∠BOC＝60°，

∴∠AOC＝120°，

第20页（共26页）

∵∠AOF＝30°，

∴∠COF＝90°，

∵CD∥OF，

∴∠OCD＝180°﹣90°＝90°，

∴CD是⊙O的切线；

（3）解：∵CD∥OF，AB∥OC，∠OCD＝90°，

∴四边形OCDE为矩形，

∴DE＝OC，∠AEO＝90°，

∵∠AOF＝30°，

∴AE＝OA＝OC＝DE，

∵CD∥OF，

∴＝＝，

∴EF＝．

26．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+m与坐标轴y轴交于点A，与x轴交于点B，过A，B两点的抛物线y＝x2+nx﹣8，点D为线段AB上一动点，过点D作CD垂直x轴于点C，交抛物线于点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当DE＝12时，求四边形CAEB的面积；

（3）是否存在点D，使得△DEB和△DAC相似？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由．

第21页（共26页）

【解答】解：（1）∵直线y＝x+m与抛物线y＝x2+nx﹣8都经过A点，

∴m＝﹣8，

∵直线y＝x+m经过x轴上的B点，∴点B（8，0），

又∵抛物线y＝x2+nx﹣8经过B点，

∴n＝﹣7，

∴抛物线为：y＝x2﹣7x﹣8；

（2）设点C为：（x，0），则点D为（x，x﹣8），点E为（x，x2﹣7x﹣8），

∵DE＝12，∴（x﹣8）﹣（x2﹣7x﹣8）＝12，

解得：x1＝2，x2＝6，

当x＝2时，x2﹣7x﹣8＝﹣18，

∴CE＝18，四边形CAEB的面积＝OB×CE＝72，

当x＝6时，x2﹣7x﹣8＝﹣14，

∴CE＝14，四边形CAEB的面积＝OB×CE＝56；

（3）存在，当AC∥BE时，△DEB∽△DCA，

过点A作AF⊥CE于点F，

＝即＝∴x2+x﹣8＝0，

第22页（共26页）

，

，

解得：x1＝当＝，x2＝（舍去），

＝， 时，△DEB∽△DAC，即∴x2﹣6x＝0，

解得：x1＝6，x2＝0（舍去），

综上所述：当x＝则x﹣8＝或x＝6时，△DEB和△DAC相似，

或﹣2，

，）或（6，﹣2）． 此时点D的坐标为：（

27．（14分）如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°．

（1）操作发现：

如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是 DE∥AC ；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 S1＝S2 ．

（2）猜想论证：

当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．

（3）拓展探究

已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝6，DE∥AB交BC于点E（如图4），若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请求出相应的BF的长．

第23页（共26页）

【解答】解：（1）①如图1中，

由旋转可知：CA＝CD，

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，

∴∠CAD＝60°，

∴△ADC是等边三角形，

∴∠DCA＝60°，

∵∠ECD＝90°，∠DEC＝30°，

∴∠CDE＝60°，

∴∠EDC＝∠DCA，

∴DE∥AC，

②∵AB＝2AC，AD＝AC，

∴AD＝BD，

∴S△BDC＝S△ADC，

∵DE∥AC，

第24页（共26页）

∴S△ADC＝S△ACE，

∴S1＝S2．

故答案为：DE∥AC，S1＝S2．

（2）如图3中，

∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，

∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，

在△ACN和△DCM中，

，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN＝DM，

∴S△BDC＝S△AEC．

（3）如图4中，作DF∥BC交AB于F．延长CD交AB于H．

∵DF∥BE，DE∥BF，

第25页（共26页）

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴S△BDF＝S△BDE，S△BDF＝S△DFC，

∴S△DFC＝S△BDE，

∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBE＝30°，

∵DF∥BE，

∴∠FDB＝30°，

∴∠FBD＝∠FDB＝30°，

∴FB＝FD，

∴四边形DEBF是菱形，

∵BD＝CD＝6，

∴∠DBC＝∠DCB＝30°，

∵∠DEC＝∠ABC＝60°，

∴∠CDE＝90°，

∴DE＝CD•tan30°＝6×∴BF＝DE＝2∵DE∥AB，

∴∠BHC＝∠EDC＝90°，

∴CH⊥AB，作点F关于CH的对称点F′，连接DF′，易知S△DFC＝S△DF′C，

在Rt△DFH中，FH＝HF′＝DF•sin30°＝∴BF′＝4，

或4．

，

，

＝2，

综上所述，满足条件的BF的值为2第26页（共26页）