2023年12月5日发(作者：你说你的数学试卷好吗英文)

期中考试试卷

四川省成都七中2020-2021学年高二上学期

期中考试数学理科试卷

一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．抛物线y2＝-8x的准线方程是（ ）

A．y＝2 B．x＝4 C．x＝-2 D．x＝2

x2y22．椭圆1的短轴长为（ ）

2516A．241 B．10 C．8 D．6

3．以下直线中，将圆x2＋y2-4x-2y＋1＝0平分的是（ ）

A．x-y-1＝0 B．x-y＋1＝0 C．2x-y＝0 D．2x-y＋3＝0

x2y24．双曲线C:1的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上且|PF1|＝20，则|PF2|916等于（ ）

A．12或28 B．14或26 C．16或24 D．17或23

x2y25．已知椭圆221（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若△BF1F2为ab等边三角形，则该椭圆的离心率为（ ）

A．3231 B． C． D．

32226．圆：x2＋y2＝4与圆：（x-3）2＋（y-4）2＝9的位置关系是（ ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

x2y27．已知m∈R，则“m＞3”是“方程1表示双曲线”的（ ）

m1m3A．充分必要条件

C．必要不充分条件

B．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

x2y28．F为椭圆C:221（a＞b＞0）的右焦点，A为C的左顶点，B为第一象限内C上ab1的点，且BF垂直于x轴．若C的离心率为，则直线AB的斜率为（ ）

3124A． B． C．1 D．

3339．A，B是抛物线x2＝2y上的两点，O为坐标原点．若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为123， 1 期中考试试卷

则∠AOB＝（ ）

A．30° B．45° C．60° D．120°

10．如果实数x，y满足x2＋y2-6x＋4＝0，那么A．y的最大值是（ ）

x25552 B． C． D．

3253x2y211．双曲线C:221（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），过F2ab1作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A．若△AF1F2的面积为c2，则双曲线C的离心2率为（ ）

A．4 B．22 C．2 D．2

x2y212．已知椭圆C:1的下顶点为A，点B是C上异于点A的一点，若直线AB与以8411M（0，）为圆心的圆相切于点P，且APAB，则tan∠ABM＝（ ）

43A．5123 B． C． D．

3232二、填空题（本大题共4小题）

13．命题“若a＝-1，则a2＝1”的逆命题是________．

14．抛物线y2＝4x上到其焦点的距离等于6的点的横坐标为________．

15．已知点A（3，0），B（0，4），点P在圆x2＋y2＝1上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值为

________．

16．若A，B是曲线xy22上不同的两点，O为坐标原点，则OAOB的取值范围是_______．

三、解答题（本大题共6道小题，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．已知p：x∈R，|x|＋1≥m．q：x∈[0，（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；

（2）若p为真命题，p∨q也为真命题，求实数m的取值范围．

π]，tanx≥m．

3 2 期中考试试卷

18．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（2，0）．

（1）求p；

（2）斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．

19．圆M经过三点：A（-2，2），B（0，-2），C（4，0）．

（1）求圆M的方程；

（2）求圆M与圆N：（x-3）2＋y2＝25的公共弦的长．

20．已知A（-2，0），B（2，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是3．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点N（2，3）能否作一条直线m与轨迹C交于两点P，Q，且点N是线段PQ的中点？若能，求出直线m的方程；若不能，说明理由．

3 期中考试试卷

21．给定抛物线x2＝y上点P（2，4）．

（1）求过点P且与该抛物线相切的直线的方程；

（2）过点Q（-2，6）作动直线l与该抛物线交于A，B两点（都与P不重合），设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．

x2y2322．已知椭圆C:221（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1）．

2ab（1）求椭圆C的方程；

（2）直线y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．

①求|AB|（用实数k，m表示）；

②O为坐标原点，若OAAB0，且

ABOA3，求△OAB的面积．

2 4 期中考试试卷

——★ 参*考*答*案 ★——

一、选择题

1．D 2．C 3．A 4．B 5．A 6．C

7．B 8．B 9．C 10．D 11．D 12．B

二、填空题

13．若a2＝1，则a＝-1．

15．17

三、解答题

17．解：（1）∵x∈R，m≤|x|＋1，∴m≤（|x|＋1）min．

又∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴x＝0时，（|x|＋1）min＝1．

∴m≤1，即p为真命题时，m的取值范围是（-∞，1]．

（2）∵p是真命题，∴p为假命题，∴由（1）得m＞1．

又∵p∨q为真命题，∴q为真命题．

由x∈[0，ππ]，m≤tanx，∴m(tanx)maxtan3．

33

14．5

16．[2，＋∞）

综上，1m3，即m的取值范围是（1，3]．

18解：（1）∵p2，∴p＝4．

2（2）直线方程为y＝x-2，联立y2＝8x，得（x-2）2＝8x，

∴x2-12x＋4＝0．∴Δ＞0．

设A（x1，y1），B（x2，y2），∴x1＋x2＝12．

∴焦点弦弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16．

19．解：（1）设圆M方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0．

∵圆M过A（-2，2），B（0，-2），C（4，0），

442D2EF0∴42EF0，解得D＝-2，E＝-2，F＝-8，

164DF0∴圆M方程为：x2＋y2-2x-2y-8＝0．

（2）圆N的一般方程为：x2＋y2-6x-16＝0，

两圆方程相减，得相交弦所在直线为：4x-2y＋8＝0．

5 期中考试试卷

4384(2)22∴N（3，0）到直线距离d25，

∴相交弦长2R2d2252(25)225．

20．解：（1）设M（x，y），∴kAM∴kAMkBMyy，kBM，其中x≠±2，

x2x2yyy2x2y2．

3，整理得轨迹C的方程为：1（x≠±2）x2x2x244122222x12y12x2y2x12x2y12y2（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴1，1，作差得0，

412412412yy212(x1x2)124(yy2)(y1y2)(x1x2)(x1x2)∴1，∴kPQ12．

x1x24(y1y2)46124∴直线m方程为：y-3＝2（x-2），即y＝2x-1．

联立3x2-y2＝12，∴3x2-（2x-1）2＝12，整理得x2-4x＋13＝0，

∴Δ＝（-4）2-4×13＝-36＜0，∴直线m不存在．

21．解：（1）由题，切线斜率存在，设切线方程为y-4＝k（x-2），

联立x2＝y，得x2＝kx＋4-2k，∴x2-kx＋2k-4＝0，∴Δ＝k2-4（2k-4）＝0，

∴（k-4）2＝0，∴k＝4，∴切线方程为y＝4x-4．

（2）由题，l斜率存在，设l方程为y-6＝k（x＋2），

联立x2＝y，得x2＝kx＋6＋2k，

∴x2-kx-2k-6＝0，Δ＝k2-4（-2k-6）＝（k＋4）2＋8＞0成立．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝k，x1x2＝-2k-6．

2y14y14x124x24(x12)(x22)x1x22(x1x2)4

∴k1k2x12x12x12x12＝-2k-6＋2k＋4＝-2，∴k1·k2为定值-2，得证．

22．解：（1）∵C过（0，1），∴b＝1．

c3，联立a2＝b2＋c2，解得a＝2，

a2x2∴C的方程为：y21

4又e（2）①联立y＝kx＋m与x2＋4y2＝4，得x2＋4（kx＋m）2＝4，

∴（4k2＋1）x2＋8kmx＋4m2-4＝0．

∴Δ＝（8km）2-4（4k2＋1）（4m2-4）＝16（4k2＋1-m2）＞0，∴4k2＋1＞m2．

4m248km设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x22，x1x2．

24k14k1 6 期中考试试卷

41k24k21m2∴AB1k．

4k214k2121②∵OAAB0，∴OA⊥AB，则k≠0，直线OA为：yx．

k联立y＝kx＋m，得y＝k（-ky）＋m，∴y12121mkm，．

xky11k21k214(k21)2km2m22代入x4y4，∴(2)4(2)4，∴m．

k24k1k14(k21)2(4k21)(k24)4(k21)29k2∴4k1m4k1，

222k4k4k42222216(1k)(4k1m)144(1k)k2∴AB．

(4k21)2(4k21)2(k24)222m2m24(k21)又∵OA(ky1)y(k1)(2)2，

2k1k1k42221236k291∴，得16k2＝（4k2＋1）2，∴（4k2-1）2＝0，∴k2．

222(4k1)44OA4(k21)225此时m4k212，∴Δ＞0成立．

2k4172AB214(1)14(k1)202由OA2，∴△OAB的面积SOAAB

41k4172442133152OAOAOA．

22417 7


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