1983-1988年高考数学试题全国卷

2024年4月10日发(作者：沈阳二中高考数学试卷)

1983年试题

(理工农医类)

一、本题共5个小题,每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一

个结论是正确的.把正确结论的代号写在题后的括号内.

(1)两条异面直线,指的是

(A)在空间内不相交的两条直线.

(B)分别位于两个不同平面内的两条直线.

(C)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.

(D)不在同一平面内的两条直线.

【 】

(A)两条相交直线. (B)两条平行直线.

(C)两条重合直线. (D)一个点.

【 】

(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是

(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.

(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零.

【 】

【 】

【 】

(2)在极坐标系内,方程ρ=5cosθ表示什么曲线?画出它的图形.

(2)一个小组共有10名同学,其中4名是女同学,6名是男同学.要从小组内选出3

名代表,其中至少有1名女同学,求一共有多少种选法.

四、计算行列式(要求结果最简):

六、如图,在三棱锥SˉABC中,S在底面上的射影N位于底面的高CD上;M是侧

棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC.求证SC垂直于截面

MAB.

八、已知数列{a

n

}的首项a

1

=b(b≠0),它的前n项的和S

n

=a

1

+a

2

+„+a

n

(n≥1),

并且S

1

,S

2

,„,S

n

,„是一个等比数列,其公比为p(p≠0且│p│<1).

(1)证明

a

2

,a

3

,„,a

n

„,

(即{a

n

}从第2项起)是一个等比数列.

九、(1)已知a,b为实数,并且eb

a

.

(2)如果正实数a,b满足ab=b

a

,且a<1,证明a=b.

1983年试题(理工农医类)答案

一、本题考查对一些基本概念和常用的词语的理解.

(1)D; (2)A; (3)D; (4)C; (5)C.

二、本题考查在直角坐标系内和极坐标系内画出图形的能力.

解:(1)图形如右所示.

交点坐标是:

O(0,0),

P(1,-1).

(2)曲线名称是:圆.

图形如下所示.

三、本题考查求初等函数微分的方法和解决简单的排列组合应用题的能力.

所以3名代表中至少有1名女同学的选法有

所以3名代表中至少有1名女同学的选法有

四、本题考查行列式的性质(或定义,或按一列展开)和三角公式的运用.

解法一:把第1列乘以sin加到第2列上,再把第3列乘以(-cos)加到第2列上,得

解法二:把行列式的第2列用三角公式展开,然后运用行列式的性质,得

解法三:把行列式按第2列展开,得

解法四:把行列式按定义展开,并运用三角公式,得

五、本题考查复数、不等式和三角函数的基础知识以及运用它们解题的能力.

显然r=│z│≠0.因为

这就是所求的实数t的取值范围.

以下同解法一的后半部分.

六、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.

证法一:因为SN是底面的垂线,NC是斜线SC在底面上的射影,AB⊥NC,所以AB

⊥SC(据三垂线定理).

连结DM.因为AB⊥DC,AB⊥SC,所以AB垂直于DC和SC所决定的平面.又因

DM在这平面内,所以AB⊥DM.

∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.

在△MDC和△NSC中,因为∠MDC=∠NSC,∠DCS是公共角,所以∠DMC=∠

SNC=90°从而DM⊥SC.

从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.

证法二:连结DS,DM(参见证法一中的图).

因为SN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DS(据三垂线定理).从而AB⊥平面

SDC.

因SC,DM都在平面SDC内,故AB⊥SC,AB⊥DM.

由AB⊥DM,AB⊥DC,可知∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,

∠MDC=∠NSC.

以下同证法一,故SC⊥截面MAB.

证法三:连结DM,DS.

因为M,N分别在△SDC的两边上,所以SN和DM都在平面内,且相交于一点P.

又因PN是底面的垂线,AB⊥DN,所以AB⊥DM(据三垂线定理).

∴∠MDC是截面与底面所成二面角的平面角,∠MDC=∠NSC.

又∠MDC=∠NSC,∠DCS是△DCM和△SCN的公共角,故∠DMC=∠

SNC=90°.从而DM⊥SC.

从AB⊥DM,AB⊥DC,可知AB⊥平面MDC.因为SC是平面MDC内的直线,所以

AB⊥SC.

从AB⊥SC,DM⊥SC,可知SC⊥截面MAB.

七、本题考查合理选择坐标系和灵活运用直线、椭圆性质解决问题的能力以及

简单三角方程的解法.

解法一:以椭圆焦点F

1

为极点,以F

1

为起点并过F

2

的射线为极轴建立极坐标系.

解法二:以椭圆中心为原点,F

1

F

2

所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).

解方程组

以下同解法一.

解法三:以椭圆中心为原点,F

1

F

2

所在直线为x轴建立直角坐标系(如图).

解方程组

解得

以下同解法一.

解法四:

同理,设│F

1

N│=y,则│F

2

N│=6-y.

以下同解法一.

八、本题考查数列的基础知识和极限的计算方法.

(1)证明:由已知条件得S

1

=a

1

=b.

S

n

=S

1

p

n-1

=bp

n-1

>(n≥1).

因为当n≥2时,S

n

=a

1

+a

2

+„+a

n-1

+a

n

=S

n-1

+a

n

,所以a

n

=S

n

-S

n-1

=bp

n-1

-bp

n-2

=bP

n-2

(p-1)(n≥2).

因此a

2

,a

3

„,a

n

,„是一个公比为p的等比数列.

(2)解法一:当n≥2时,

且由已知条件可知P

2

<1,因此数列

于是

因此

九、本题考查对函数概念的理解,对幂函数、指数函数和对数函数性质的运用

及利用导数判断函数增减性从而比较函数值大小的方法.

在[a,b]上对f(x)运用中值定理,得

因为在(0,1)内f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)内是增函数.

同证法一,证得b<1.

因此a=b.

a=b.

因此

1984年试题

(理工农医类)

一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是

正确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

(1)数集X={(2n+1)π,n是整数}与数集Y={(4k±1)π,k是整数}之间的关系是

(C)X=Y (D)X≠Y

【 】

(2)如果圆x

2

+y

2

+Gx+Ey+F=0与x轴相切于原点,那么

(A)F=0,G≠0,E≠0 (B)E=0,F=0,G≠0

(C)G=0,F=0,E≠0 (D)G=0,E=0,F≠0

【 】

(A)一定是零 (B)一定是偶数

(C)是整数但不一定是偶数 (D)不一定是整数

【 】

(4)arccos(-x)大于arccosx的充要条件是

(A)x∈(0,1] (B)x∈(-1,0)

【 】

(A)是第一象限角

(B)是第三象限角

(C)可能是第一象限角,也可能是第三象限角

(D)是第二象限角

【 】

二、只要求直接写出结果.

(1)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形,求圆柱的体积.

(2)函数log

0.5

(x

2

+4x+4)在什么区间上是增函数?

(6)要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单,任何两个舞蹈节目

不得相邻,问有多少种不同的排法(只要求写出式子,不必计算).

三、本题只要求画出图形.

四、已知三个平面两两相交,有三条交线.求证这三条交线交于一点或互相平

行.

六、(1)设p≠0,实系数一元二次方程z

2

-2pz+q=0有两个虚数根z

1

,z

2

.再设z

1

,z

2

在

复平面内的对应点是z

1

,z

2

.求以z

1

,z

2

为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

九、附加题,不计入总分.

如图,已知圆心为O、半径为1的圆与直线l相切于点A,一动点P自切点A沿直线

l向右移动时,取弧的长为,直线PC与直线

1984年试题(理工农医类)答案

一、本题考查基本概念和基本运算.

(1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B.

二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.

(2)x<-2;

(4)-20;

(5)0;

三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力.

解:

四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力.

证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a.

∵ α∩β=c, α∩γ=b,

从而c与b或交于一点或互相平行.

(1)若c与b交于一点,设c∩b=P.由P∈c,且cβ,有P∈β;又由P∈b,且bγ,有P∈γ.

于是P∈β∩γ=a.

所以a,b,c交于一点(即P点).

(2)若c∥b,则由bγ,有c∥γ.又由cβ,且β∩γ=a,可知c∥a.

所以a,b,c互相平行.

五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.

解法一:由原对数方程得

cx

2

+d=1.

这个不等式仅在以下两种情形下成立:

①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;

②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.

解法二:原对数方程有解的充要条件是:

(1)x>0,

cx

2

+d=1.

因此,条件组(1)(4)可简化为以下的等价条件组:

(1)x>0,

(5)x≠1,

这个不等式仅在以下两种情形下成立:

①c>0,1-d>0,即c>0,d<1;

②c<0,1-d<0,即c<0,d>1.

再由条件(1),(5)及(6),可知c≠1-d.

六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的

求法.

(1)解法一:因为p,q为实数,p≠0,z

1

,z

2

为虚数,所以

(-2p)

2

-4q<0,q>p

2

>0.

由z

1

,z

2

为共轭虚数,知z

1

,z

2

关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过

原点,可知原点为椭圆短轴的一个端点.

根据椭圆的性质,复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系,可

得椭圆的

短轴长=2b=│z

1

+z

2

│=│2p│=2│p│,

解法二:同解法一,得q>p

2

>0.

根据实系数一元二次方程的求根公式,得

可知z

1

,z

2

关于x轴对称,所以椭圆短轴在x轴上.又由椭圆经过原点,可知原点为

椭圆短轴的一个端点.

根据椭圆的性质和复数的几何意义,可得椭圆的

注:也可利用椭圆长半轴的长等于短轴上的顶点到焦点的距离,直接得出

(2)解:因为椭圆经过点M(1,2),且以y轴为准线,所以椭圆在y轴右侧,长轴平行

于x轴.

即

这就是所求的轨迹方程.

七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.

a=6,b=8.

如图,设△ABC的内切圆圆心为O′,切点分别为D,E,F,则

如图建立坐标系,则内切圆方程为

(x-2)

2

+(y-2)

2

=4.

设圆上动点P的坐标为(x,y),则

因为P点在内切圆上,所以0≤x≤4.于是

S

最大值

=88-0=88,

S

最小值

=88-16=72.

解法二:同解法一,得△ABC是直角三角形,且r=2.

内切圆的参数方程为

所以圆上动点P的坐标为(2+2cosα,2+2sinα).从而

因为0≤α≤2π,所以

S

最大值

=80+8=88,

S

最小值

=80-8=72.

八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.

(1)证明:先证明x

n

>2(n=1,2,„).用数学归纳法.由条件α>2及x

1

=α知不等式当

n=1时成立.假设不等式当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,因为由条件及归纳假

设知

再由归纳假设知不等式(x

k-2

)

2

>0成立,所以不等式x

k+1

>2也成立.从而不等式

x

n

>2对于所有的正整数n成立.

数学归纳法的第二个步骤也可以这样证:

所以不等式x

n

>2(n=1,2,„)成立.

也可以这样证:对所有正整数n有

还可以这样证:由于对所有正整数n有

(2)证法一:用数学归纳法.由条件x

1

=α≤3知不等式当n=1时成立.假设不等式

当n=k(k≥1)时成立.当n=k+1时,由条件及x

k

>2知

证法二:用数学归纳法.证不等式当n=k+1时成立用以下证法.由条件知

再由x

k

>2及归纳假设可得

x

1

>x

2

>„>x

n

>x

n+1

≥3.

因此,由上面证明的结论及x

1

=α可得

若x

n

≤3,则由第(1)小题可知x

n+1

n

,从而有x

n+1

<3.

若x

n

>3,则由第(1)小题可知x

1

>x

2

>„>x

n

>3.由此式及上面证明的结论,可得

九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意

义解决实际问题的能力.

解得

1985年试题

(理工农医类)

一、本题每一个小题都给出代号为A,B,C,D的四个结论,其中只有一个结论是正

确的,把正确结论的代号写在题后的括号内.

(1)如果正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,那么四面体

A′-ABD的体积是

【 】

(A)必要条件 (B)充分条件

(C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要的条件

【 】

(A)y=x

2

(x∈R)

(B)y=│sinx│ (x∈R)

(C)y=cos2x (x∈R)

(D)y=e

sin2x

(x∈R)

【 】

(4)极坐标方程ρ=asinθ(a>0)的图象是

【 】

(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重

复数字的五位数,共有

(A)96个 (B)78个

(C)72个 (D)64个

【 】

二、只要求直接写出结果.

(2)设│a│≤1,求arccosa+arccos(-a)的值.

(3)求曲线y

2

=-16x+64的焦点.

(5)设函数f(x)的定义域是[0,1],求函数f(x

2

)的定义域.

三、(1)解方程 log

4

(3-x)+log

0.25

(3+x)=log

4

(1-x)+log

0.25

(2x+1).

四、如图,设平面AC和BD相交于BC,它们所成的一个二面角为

45°,P为面AC内的一点,Q为面BD内的一点.已知直线MQ是直线PQ在平面BD

内的射影,并且M在BC上.又设PQ与平面BD所成的角为β,∠CMQ=θ(0°<θ

<90°)线段PM的长为a.求线段PQ的长.

五、设O为复平面的原点,Z

1

和Z

2

为复平面内的两个动点,并且满足:

(2)△OZ

1

Z

2

的面积为定值S.

求△OZ

1

Z

2

的重心Z所对应的复数的模的最小值.

(1)证明不等式

对所有的正整数n都成立.

八、设a,b是两个实数,

A={(x,y)│x=n,y=na+b,n是整数},

B={(x,y)│x=,m,y=3m

2

+15,m是整数},

C={(x,y)│x

2

+y

2

≤144}

是平面XOY内的点集合.讨论是否存在a和b使得

(2)(a,b)∈C

同时成立.

九、(附加题,不计入总分)

已知曲线y=x

3

-6x

2

+11x-6.在它对应于x∈[0,2]的弧段上求一点P,使得曲线在该

点的切线在y轴上的截距为最小,并求出这个最小值.

1985年试题(理工农医类)答案

一、本题考查基本概念和基本运算.

(1)D; (2)A; (3)B; (4)C; (5)B.

二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.

(2)π;

(3)(0,0);

(4)64(或2

6

);

(5)[-1,1](或{x│-1≤x≤1},或-1≤x≤1).

三、本题考查对数方程、无理不等式的解法和分析问题的能力.

(1)解法一:由原对数方程得

因为log

0.25

a=-log

4

a,上式变成

由此得到

解这个方程,得到

x

1

=0,x

2

=7.

检验:把x=0代入原方程,左右两边都等于0;故x=0是原方程的根.但当x=7时,由于

3-x<0,1-x<0,它们的对数无意义;故x=7不是原方程的根,应舍去.

因此,原对数方程的根是x=0.

对原方程变形,同解法一,得 x

1

=0, x

2

=7.

2x+5>x

2

+2x+1,

x

2

<4,即-2

但由条件x≥-1,因此-1≤x<2也是原不等式的解.

综合(i),(ii),得出原不等式的解集是

四、本题考查三垂线定理、二面角、斜线与平面所成的角、解三角形、空间想

象能力和综合运用知识的能力.

解法一:自点P作平面BD的垂线,垂足为R,由于直线MQ是直线PQ在平面BD内

的射影,所以R在MQ上,过R作BC的垂线,设垂足为N,则PN⊥BC.(三垂线定理)

因此∠PNR是所给二面角的平面角,所以∠PNR=45°.

由于直线MQ是直线PQ在平面BD内的射影,所以∠PQR=β.

在Rt△PNR中,NR=PRctg45°,所以NR=PR.

又已知0°<θ<90°,所以

解法二:同解法一,得∠PQR=β.

设:∠PMR=α则在Rt△PMR中,MR=acosα,

PR=asinα,

在Rt△MNR中,NR=MRsinθ=acosα²sinθ.

又在Rt△PNR中,由于∠PNR=45°,所以PR=NR.

于是 asinα=acosα²sinθ,

tgα=sinθ,

在△PMQ中,应用正弦定理得

五、本题考查复数的概念、复数运算的几何意义、三角恒等式、不等式以及灵

活运用知识的能力.

解法一:设Z

1

、Z

2

和Z对应的复数分别为z

1

、z

2和

z

,其中

z

1

=r

1

(cosθ+isinθ),

z

2

=r

2

(cosθ-isinθ).

由于Z是△OZ

1

Z

2

的重心,根据复数加法的几何意义,则有3z=z

1

+z

2

=(r

1

+r

2

)cosθ

+(r

1

-r

2

)isinθ.

于是 │3z│

2

=(r

1

+r

2

)

2

cos

2

θ+(r

1

-r

2

)

2

sin

2

θ

=(r

1

-r

2

)

2

cos

2

θ+4r

1

r

2

cos

2

θ+(r

1

-r

2

)

2

sin

2

θ

=(r

1

-r

2

)

2

+4r

1

r

2

cos

2

θ.

解法二:同解法一,得3z=(r

1

+r

2

)cosθ+(r

1

-r

2

)isinθ.

于是│3z│

2

=(r

1

+r

2

)

2

cos

2

θ+(r

1

-r

2

)

2

sin

2

θ.

又已知△OZ

1

Z

2

的面积为S,且r

1

为三角形边长,r

1

>0,以及sin2>θ(因

六、本题考查直线方程、两点间的距离公式、参数方程以及轨迹方程的求法.

2.当a≠0时,直线PA与QB相交,设交点为M(x,y),由(2)式得

将上述两式代入(1)式,得

整理得 x

2

-y

2

+2x-2y+8=0, (*)

当a=-2或a=-1时,直线PA和QB仍然相交,并且交点坐标也满足(*)式.

所以(*)式即为所求动点的轨迹方程.

解法二:设直线PA和QB的交点为M(x,y).

当点M与点P及点Q都不重合时,直线PM的方程是

(x+2)(Y-2)=(y-2)(X+2),

直线QM的方程是

x(Y-2)=(y-2)X.

由方程组

解得直线PM和直线l的交点A的坐标为

由方程组

解得直线QM和直线l的交点B的坐标为

根据题意,线段AB两端点A,B的横坐标有如下关系:

从而得 x

2

-y

2

+2x-2y+8=0,(*)

即

又因点M与点P或点Q重合时,M点的坐标也满足(*)式.所以(*)式即为所求动点

M的轨迹方程.

七、本题考查数列和极限的基础知识,证明不等式的基本方法.

(1)证法一:用数学归纳法.

假设当n=k(k≥1)时不等式成立,即

当n=k+1时,可得

即

也成立.

从而不等式对所有的正整数n都成立.

证法二:直接证明.

由于不等式

对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到

又因

以及

因此不等式

对所有的正整数n都成立.

(2)由(1)及b

n

的定义知

于是

八、本题考查集合的基本知识,不等式的证明以及分析问题的能力.

解法一:如果实数a和b使得(1)成立,于是存在整数m和n使得

(n,na+b)=(m,3m

2

+15),

即

由此得出,存在整数n使得

na+b=3n

2

+15,

或写成

na+b-(3n

2

+15)=0.

这个等式表明点P(a,b)在直线l:nx+y-(3n

2

+15)=0上,记从原点到直线l的距离为d,

于是

当且仅当

时上式中等号才成立.由于n是整数,因此n

2

≠3,所以上式中等号不可能成立.即

d>12.

所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.

解法二:如果实数a和b使得(1),(2)同时成立.同解法一,由于(1)成立,知存在整数n

使得na+b=3n

2

+15,即

b=3n

2

+15-an. (*)

由(2)成立,得

a

2

+b

2

≤144.

把(*)式代入上式,得关于a的不等式

(1+n

2

)a

2

-2n(3n

2

+15)a+(3n

2

+15)

2

-144≤0.(**)

它的判别式

Δ=4n

2

(3n

2

+15)

2

-4(1+n)

2

[(3n

2

+15)

2

-144]

=-36(n

2

-3)

2

.

但n是整数,n

2

-3≠0,因而Δ<0.

又因1+n

2

>0,故(**)式不可能有实数解a,这就表明,不存在实数a和b使得(1)、(2)

同时成立.

解法三:如果实数a和b使(1)、(2)同时成立.同解法一,由(1)成立知,必存在整数n

使得

3n

2

-an-(b-15)=0.(*)

于是,它的判别式非负,即

Δ=a

2

+12b-180≥0,(**)

由(**)得 12b-180≥-a

2

.

由(2)成立知 a

2

+b

2

≤144,(***)

即 -a

2

≥b

2

-144.

因此,12b-180≥b

2

-144,

即 (b-6)

2

≤0,

由此得出b=6.

把b=6代入判别式(**),得出a

2

≥108,但把b=6代入(***),得出a

2

≤108,因而必有

a

2

=108.

此时,从(*)式可解出

所以,不存在实数a和b使得(1),(2)同时成立.

九、(本题分数不计入总分)本题考查导数的几何意义,利用导数解决函数的最大

值、最小值问题的能力.

解:已知曲线方程是y=x

3

-6x

2

+11x-6,因此y′=3x

2

-12x+11.

在曲线上任取一点P(x

0

,y

0

),则点P处切线的斜率是

点P处切线方程是

设这切线与y轴的截距为r,则

根据题意,要求r(它是以x

0

为自变量的函数)在区间[0,2]上的最小值.因为

当0

0

<2时r′>0,因此r是增函数,故r在区间[0,2]的左端点x

0

=0处取到最小值.即

在点P(0,-6)处切线在y轴上的截距最小.

这个最小值是

r

最小值

=-6.