数学史上的著名猜想之(一)

2024年3月19日发(作者：泉州统考数学试卷类型分布)

数学文化 中学数学文摘 2006年第3期

数学史上的著名猜想之（一）

—―被否定的数学猜想

过伯祥

数学史上，长时期未能解决的数学猜想特别多！并且很多都是世界级的难题，其中数论

方面的问题又占多数.它们表面上是那么的浅显，好像不难解决似的，其实，若无深厚的数

学功底，即使想接近它也十分困难。本章特作较多的介绍，使数学爱好者有一个初步了解.

如果你有志要攻克这些猜想，就必须作好长期艰苦跋涉的思想准备.

1．被否定的数学猜想

（1）试证第五公设的漫长历程

几何是从制造器皿、测量容器、丈量土地等实际问题中产生和发展起来的.

几何学的发展历程中，有两个重大的历史性转折.其一是,大约从公元前7世纪到公元前

3世纪，希腊数学从素材到框架，已经为几何学的理论大厦的建造准备了足够的条件.欧几

里得在前人毕达哥拉斯、希波克拉底和欧多克斯等人的工作基础上，一举完成了统治几何学

近2000年的极其伟大的经典著作《几何原本》.它使几何学发展成为一门独立的理论学科，

是几何学史上的一个里程碑.

其二，也正是由于《几何原本》的问世，才带来了一个使无数人困惑和兴奋的著名问题

--欧几里得第五公设问题.

在《几何原本》的第一卷中，规定了五条公设和五条公理.著名的欧几里得第五公设：

“若两条直线被第三条直线所截，如有两个同侧内角之和小于两直角，则将这两直线向该侧

适当延长后必定相交.”就是这五条公设中的最后一条.由于它在《几何原本》中引用得很少

（直到证明关键性的第29个定理时才用到它）；而且，它的辞句冗长，远不如前四条公设那

样简单明了.于是给后人的印象是：似乎欧几里得本人也想尽量避免应用第五公设.

于是，一代又一代的数学家猜测:大概不用花费很多力气就能证明欧几里得第五公设.就

这样，数学家们开始了试证第五公设的历程.

这是个始料未及的漫长历程！真正是前赴后继，几乎每个时代的大数学家都做过这一件

工作.

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然而，满以为非常简单，只不过是举手之劳的一件事，谁料历时两千年仍未解决.

第五公设问题几乎成了“几何原理中的家丑”（达朗贝尔）.

直至19世纪，人们才逐渐意识到“欧氏第五公设可以证明”是一个错误的猜想,但它却

引导数学家们得到了有意义的结果.所以说：错误的猜想有时也是极有意义的！

“在我们试图证明某个猜想的时候，如果使尽各种招数仍无进展，就应去查一查这个猜

想本身有没有毛病.”

（2）引出一个大胆猜想

第五公设的一个又一个试证，总是发生“偷用”某个与第五公设等价的“假设”去代替

的毛病，这逐渐地使几位思想较开阔而又有远见的数学家高斯、亚诺什•鲍耶、罗巴契夫斯

基意识到:“欧几里得第五公设是不能从《几何原本》的其余公设、公理中导出.”也即与其

它公设公理不相依赖，并且提出了一个新的大胆猜想：“欧几里得几何不是惟一的几何;任何

一组假设如果彼此之间不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何.”

罗巴契夫斯基、鲍耶正是在此想法的基础上开展了一系列工作，才发现了非欧几何的.

虽然，他们的工作约有30年之久被人们所忽视；非欧几何的相容性问题在其后的40年中仍

然悬而未决，然而，从某数学家的头脑中首先形成这大胆的猜想——与第五公设相矛盾的公

理，也许仍可建立逻辑上相容的新几何——的那一刻起，就注定了即将发生几何学发展的又

一次历史性的大转折：将迎来的是，几何学思想的大解放，几何学大发展的新时代.

可以说，在19世纪所有复杂的技术创造中间，最深刻的一个——非欧几何的创造，就

是起源于两千年试证第五公设的失败而日渐形成的大胆的猜想，非欧几何是在欧几里得几何

领域中，一系列的长期努力所达到的一个新顶点。我们可以把这段历史发展画成如下的简明

框图：

(3）费尔马猜想

我们知道：

引来了几何思想的大解放，

几何学的大发展

两千年的试证，

以失败而告终

提出新的猜想，欧氏几

何不是唯一的几何

形成欧几里得

第五公设问题

猜想可以用其他

公理公设证明它

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