2024年3月18日发(作者：贵阳市中考数学试卷视频讲解)

高考数学复习总结归纳点拨

实部与虚部是关键

因为复数

zabi

(a,bR)

的

a

叫实部、

b

叫虚部，所以凡是复数问题都与

实部、虚部有关，并且实部、虚部是解决复数问题的关键.

一、复数的概念问题

复数的有关概念，如虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数和复数的模等概念，其本质都

是实部与虚部.

例1若复数

z(m2)(m1)i

为纯虚数（

i

为虚数单位），其中

mR

，则

z .

m20

解 ∵复数

z(m2)(m1)i

为纯虚数，∴

，解得

m2

，从而

m10

z3i

，故z3.

点拨：纯虚数

zbi

的本质是实部为零、虚部不为零；复数的模

z

就是实部与虚部的平方和再开方.

二、复数的运算问题

复数的加减乘除等运算，也都是围绕着实部、虚部而展开的，其运算的结果还是复数，

即实部加上虚部与虚数单位

i

的积.

a

2

b

2

例2 设

x,y

为实数，且

解 由条件得

xy5

，则

xy

.



1i12i13i

x(1i)y(12i)5(13i)



，从而

(1i)(1i)(12i)(12i)(13i)(13i)

x(1i)y(12i)5(13i)



，即

(5x2y)(5x4y)i515i

，根据复数相等的

2510

5x2y5

x1

定义得

，解得

，∴

xy4

.

5x4y15y5



点拨：复数的除法运算就是分子分母同乘以分母的共轭复数，而互为共轭复

数的两个复数实部相等、虚部互为相反数.

1

高考数学复习总结归纳点拨

三、复数的几何意义

复数

zabi

的几何意义是复平面内的点

Z(a,b)

，即点的横坐标、纵坐标分别为实

部

a

、虚部

b

.

例3在复平面内，复数

1i

对应的点位于( )

i

(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

解 ∵

即复数

1i(1i)(i)

1i

，∴在复平面内复数

1i

对应的点为

Z(1,1)

，

ii(i)

1i

对应的点位于第四象限，故选(D).

i

点拨：从所给复数的实部即横坐标的正负号、虚部即纵坐标的正负号，判定对应点所在

的象限.

四、复数的方程问题

一般设未知复数为

zxyi

(x,yR)

，经运算后再根据复数相等的定义，即用实部

与实部相等、虚部与虚部相等求解.

例4 若复数

z

同时满足

zz2i

，

ziz

（

i

为虚数单位），则

z

.

解 设

zxyi

(x,yR)

，把

ziz

代入

zz2i

得

(1i)z2i

，从而

xy0

即

(xy)(xy)i2i

，根据复数相等的定义得

，

(1i)(xyi)2i

，

xy2

x1

解得

，∴

z1i

.

y1

点拨：设未知复数为

zxyi

(x,yR)

后，即可与已知复数同等地进行加减乘除运

算，从而把解复数方程转化为复数运算.

例5若复数

z

满足方程

z

2

20

，则

z

3

( )

(A)

22

(B)

22

(C)

22

i

(D)

22

i

解 设

zxyi

(x,yR)

，则由方程

z

2

20

得

(xyi)

2

20

，得

2

高考数学复习总结归纳点拨

x

2

y

2

20

x0

(xy2)2xyi0

，根据复数相等的定义得

，解得

，

2xy0

y2

22

∴

z2i

，

z

3

(2i)

3

22i

，

故选(D).

2

点拨：若利用条件

z20

，则可知

z

必为纯虚数，从而设未知复数为

zyi

(yR,y0)

，即可简化运算.

3


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