2023年12月27日发(作者：宁夏中考数学试卷答案)

普通高等学校2013—2014学年第一学期

《高等数学A1》课程试卷A

题号

得分

一(18%)

二(20%)

三(30%)

四(20%)

五(12%)

总分

一、选择题(每题3分，共18分)

1.下列极限的运算，正确的是( )

3x2sinx1xIn(1x)0 0 (1)e 1 x0x0x0x3xxx1etanx,x0x2.设函数f(x)在x=0处连续，则a=( )

arcsin22xae,x0 A.2 B.-2 C.1 D.-1

3.设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f\'(0)存在，则函数g(x)f(x)( )

x A.在x=0处左极限不存在 B.有跳跃间断点x=0

C.在x=0处右极限不存在 D.有可去间断点x=0

4.函数f(x)Inxk (k0)在(0,+∞)内的零点个数为( )

A.3 B.2 C.1 D.0

5.设函数f(x)x0cost2dt,g(x)sin9x，则当x0时，f(x)是g(x)的( )

2x2xe A.等价无穷小 B.同阶但非等价无穷小

C.高阶无穷小 D.低阶无穷小

6.曲线ycostdt

x22x的弧长S为( )

2 A.4 B.2 C.1 D.2

1

二、填空题(每题4分，共20分)

1.设y(1sinx)x，则dyx .

2.不定积分sin23.定积分012x .

2xdx(2x)1x2 .

4.已知ekx1，则k .

25.对数螺线e，在点(,)e,处法线的直角坐标方程为 .

2三、计算题(每题要有必要的计算过程和步骤，每题5分，共30分)

12exsinx1.极限计算：lim

4x0x1ex

1x1dy2.已知f\'(x),yf，求.

xx1dx

3.已知xyyx，求dy.

2

4.求不定积分：32x1dx

5.求不定积分：xexex12dx

6.设20f(x)dx1，且f(2)12,f\'(2)0，求10x2f\'\'(2x)dx.

四、解答题(每题要有必要的计算过程和步骤，第1题8分，第2题6分，第题6分，共20分)

3

3

1.已知函数yx3x12，求

(1)函数的增减区间及极值.

(2)函数图形的凹凸区间及拐点.

2.试求xy4,y1,x0所夹图形绕y轴旋转所成的立体体积.

xex3.设F(x)是f(x)的一个原函数，且当x0时，f(x)F(x)，已知F(0)1，

2(1x)2F(x)0，求f(x).

五、证明题(每题要有必要的计算过程和步骤，每题6分，共12分)

1.设x1x20，证明：x1exx2ex(1)e(x1x2)，其中在x1与x2之间.

214

2.当x0时，证明：

x21Inxx12

5

考试范围

一、选择题(共18分)

1.极限的运算

2.函数的连续性判断

3.函数的极限、定义、间断点

4.函数的零点判断

5.积分上限函数以及极限的无穷小6.定积分的应用

二、填空题(共20分)

1.微分的计算

2.不定积分的计算

3.定积分的计算

4.广义定积分的综合应用

5.法线的计算

三、计算题(共30分)

1.极限计算

2.常规导数计算

3.隐函数确定的微分计算

4.计算不定积分

5.计算不定积分

6.定积分的计算

6

四、解答题(共20分)

1.函数的增减区间、极值、凹凸区间以及拐点。

2.定积分的应用

3.不定积分的应用

五、证明题(共12分)

1.微分中值定理的应用

2.由导数证明的证明题。

7

参考答案

一、选择题(每题3分，共18分)

题号

答案

1

C

2

B

3

D

4

B

5

C

6

A

二、填空题(每题4分，共20分)

题号

答案

1

dx

2

11xsinxC

223

44

-2

5

yxe2

三、计算题(每题要有必要的计算过程和步骤，每题5分，共30分)

134xxx2esinx2eesinx1.因limxlim1

44x00xx1exex1112exsinx2exsinxlimxlim1

44x00xx1ex1ex故原式=1

2.令u则x1,(x1)，

x1du2，

dx(x1)2dydydudu122f\'(u)所以

dxdudxdxu(x1)21x23.将xyyx化为eyInxexIny，两边求微分得

eyInx(Inxdyyxdx)exIny(Inydxdy).

xyyxInyyxy1dx 整理得：dyyx1xInxxy8

4.5.3132x1dx(2x1)3d(2x1)(2x1)3C

28141x1x1exexxxdxxddxdxxIne1C2xxxxxxxe1e1e1e1e1e1e1xex6.

10x2f\'\'(2x)dx1112121xdf\'(2x)xf\'(2x)2xf\'(2x)dx

0020211111121xdf(2x)xf(2x)0f(2x)dxf(2)f(t)dt0

0202220四、解答题(每题要有必要的计算过程和步骤，第1题8分，第2题6分，第3题6分，共20分)

1.由题意知所给函数的定义域为,11,

x2(x3)6x,y\'\'且有y\'.

34(x1)(x1)令y\'0，得驻点x0或x3，令y\'\'0，得x0

列表讨论如下：

x

y\'

,0

+

-

递增

0

0

0

拐点

0,1

+

+

递增

1,3

-

+

递减

3

0

+

极小值

3,

+

+

递增

y\'\'

y

由此可知：(1)函数的单调增加区间为,13,；单调减少区间为1,3，极小值为yx327.

4(2)函数图形在区间,0内是向上凸的，在区间0,11,内是向上凹的，拐点为(0,0)

9

2.由xy4，得交点(4,1)，

y1所以V1x2dy14ydy16

2xex3.因为f(x)F\'(x)，所以F\'(x)F(x)，

2(1x)2两边同时积分得

12xexF(x)dx

22(1x)2xexex(1x)2dx1xC，由F(0)1知C=0，

ex(F(x)0)，故

从而F(x)1xf(x)F\'(x)xex2(1x)3.

五、证明题(每题要有必要的计算过程和步骤，每题6分，共12分)

ex2ex1xx1(1)e 1.证明：将要证关系式变形为：211x2x1ex1从而令：f(x),g(x)，则f(x),g(x)在x1,x2上连续，在x1,x2内可导，且

xxg\'(x)0，由柯西中值定理知：

ex2ex1f(x2)f(x1)f\'()x2x1(1)e，

x1,x2，使，即11g(x2)g(x1)g\'()x2x1故x1exx2ex(1)e(x1x2).

212.证明：令(x)Inx

12x1，则\'(x)，故当x0时，\'(x)0，故(x)在x(x1)2x110

(0,)上单调递增.因为(1)0，所以当0x1时，(x)0，当x1时，(x)0.于是当x0时，(x21)(x)(x21)Inx(x1)20，

即x21Inxx12.

11


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