2023年12月27日发(作者：大一上数学试卷及答案)

郑州轻工业学院

2013-2014学年第一学期 高等数学A 试卷A

试卷号：A20140100（1）

本题得分

1x

一、单项选择题(每题3分，共15分)

1．lime=（ D ）

x0（A）0 （B）+ （C）- （D）不存在

2．当x0时，下列与x不等价的无穷小是（ C ）

（A）tanx； （B）esinx1；

（C）1x1； （D）1x1x.

3．已知f(x)(xa)(xb)(xc)(xd),且f(x0)(ab)(ac)(ad)，

则（ Ａ ）．

（A）

x0a；

（B）

x0b；

（C）x0c；

（D）

x0d。

4．下列命题中，正确的是（ Ｂ ）

A 若函数yf(x)在点x0没有定义，则limf(x)一定不存在；

xx0 B 若函数yf(x)在点x0可导，则它在点x0必然连续；

C 即使函数yf(x)在点x0可导，它在点x0不一定可微；

D 若limf(x)存在，则函数f(x)在点x0一定连续

xx05．若f(x)dxg(x)dx,则必有 Ｃ 。

（A）f(x)g(x) （B）f(x)dxg(x)dx

（C）f(x)g(x)c （D）f(x)g(x)0

本题得分

二、填空题(每题3分，共15分)

1．设点(1,2)为曲线yax3bx2的拐点，则数组(a,b) （－１,３） ．

2．设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间a,b内可导，则在至少存在一点a,b，使得f()=

f(b)f(a)ba .

3. 极限lim(2x1)20(3x2)30x(3x5)50

(2203) .

4．设yxaax,则dy

(axa1axlna)dx

5．(6x55x1cos2x)dx

x5x6ln5tanxc

三、计算题 (每题6分，共36分)

本题得分

1．已知函数f(x)(x21)(x1)，求函数的单调区间

解：f(x)(x1)(3x1)

令f(x)0 得x1或x13

当x(,13)时

y0 ，yf(x)单增

当x(13,1)时

y0 ，yf(x)单减

当x(1,)时

y0 ，yf(x)单增

本题得分

2．求极限：lim2x

x(12x1)2x

解：lim(2x1x1x2x1)2xlim(1x222x1)222x12x

e2

3分

6分

4分

6分

本题得分

3．验证yexsinx满足关系式y\'\'2y\'2y0

解：

y\'exsinxexcosx,， 2分

y\'\'exsinx2excosxexsinx2excosx 4分

代入等式

左边y\'\'2y\'2y2excosx2(exsinxexcosx)2exsinx0右边。

本题得分

yx确定函数yy(x)，求dy

4．设方程xydx．

解：ylnxxlny，

ylnxyxlnyxyy

lnyy

yxy(xlnyy)

lnxxx(ylnxx)

y本题得分

5．求不定积分：

1

x(1x6)dx．

解：原式＝x5(1x6)x6dx116x6(1x6)dx6

＝16(1x611x6)dx

＝16(lnx6ln(1x6))c

；

本题得分

6．求不定积分：x2ln2xdx.

解：原式＝1x3ln2x1x32332xdx

＝13133xln2x9xc

6分

2分

4分

6分

4分

6分

4分

6分

本题得分

四、综合分析题（本题7分）

exb,x0设f(x)，确定a,b使f(x)在x0处可导，并求f(0)

sinax,x0解：f(x)在x0处可导f(x)在x0处连续 1分

x0limf(x)lim(exb)1b,limf(x)limsinax0 3分

x0x0x0f(0)1b ∴

1b0，即b1 4分

exb(1b)ex1lim1 5分 又

f(0)limx0x0xx

f(0)limx0sinax(1b)sinaxlima 6分

x0xx∴ 当a1,b1时，f(x)在x0处可导，且f(0)1 7分

本题得分

五、证明题（每题7分，共14分）

1．证明不等式 ：当x0时，ex1x。

证明：令f(x)e1x,， 2分

xf\'(x)ex10x0,f\'\'(0)10 4分

所以x0是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f(0)0。 6分

故当x0时，f(x)0，即e1x。 7分

x（可用单调性证明）

本题得分

2、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且0

证明有且仅有一点(0,1)，使f()。

证：设F(x)f(x)x，则F(x) 在

[0,1] 上连续 2分

∵0

∴由根的存在定理知，至少存在一点（0,1）使F()0，

即f()=， 4分

设有x1,x2(0,1)，使f(x1)x1,f(x2)x2

则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且F(x1)F(x2)

由罗尔定理至少存在一点1(x1,x2)(0,1)使F(1)f(x)10

因为F(x)f(x)10 矛盾

所以有且仅有一点(0,1)，使f()。 7分

六、应用题（本题8分）

某房地产公司有50套公寓要出租, 当租金定为每月2000元时, 公寓会全部租出去. 当租金每月增加100元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费200元的整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?最大收入是多少？

解：设月租金为x，则公司收入为

x2000

y(50)(x200)＝(700.01x)(x200) 2分

100本题得分

因为y0.01(x200)(700.01x)0.02x72

令y0 得唯一驻点

x03600 4分

又y0.020

所以x03600时函数取得极大值，同时也是最大值， 6分

即房租定为每月３６００元可获得最大收入，最大收入为y(7036)(3600200)115600元 8分

本题得分

七、解答题（本题满分5分）

（2）x1xarctanxdx

解： 设xt， 1分

2t2arctantarctantdt2arctantdt2dt 则原积分=221t1t2tarctant2t22dt2arctantdarctant2tarctantln(1t)(arctant)c

21t2xarctanxln(1x)(arctanx)2c 5分


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