2024年3月19日发(作者：合肥一模文科数学试卷答案)

题型总结

第一章 极限与连续

题型一 极限的概念

1）无穷一定无界，无界不一定无穷。

2）极限存在或连续》》左右极限存在且相等

题型二 不定型极限的计算

1）0比0型，考虑等价无穷小、马克劳林公式、罗必达

2）遇到ln 用ln（1+a)~a等等

3）遇到,tanx,arctanx,arcsinx任意两个相减时，用马克劳林

题型三 连加或连成的式子求极限

1）拆项

2）使用夹逼

3）利用公式。（常常需要先夹逼后用公式）

题型四 极限存在性问题

1）存在》》1、有界（夹逼等方法求解）2、单调（用导数或前项-后项证）

题型五 中值定理法求极限

当看到两项相减，且各项的结构相同时（即可由一个函数表示出来），此 时用中

值定理：构造一个函数，原题即可表示为f(a)-f(b)=f`(§)(a-b)

题型六 含变积分限的函数极限

1)换元2）再利用罗必达去积分号

题型七 间断点及其分类

1）0点的连续》》f(0+0)=f(0-0)

题型八 闭区间上的连续函数

看到【 】闭区间的函数证明题，考虑介值定理：m<=f(§)<=M

第二章 导数与微分

题型一 导数

1）可导》》f`+=f`-

2)绝对值不影响函数的连续性，但是可能导数，在f(a)=0处受影响

3）可导等价于可微，注意两者表示公式，易考选择题

4）判断某点处的可导3条件：保两侧都趋于0导数公式分子第二项必为f(a) 

导数公式的分子分母必须为同阶无穷小

题型二 基本求导类型

1）显函数求导2）隐函数求导3参数方程函数求导4）分段函数求导

题型三 高阶导数

1）公式法2）归纳法3）泰勒公式法

第三章 一元函数微分学的应用

题型一 证明f``(§)=0

1)证f`(§)=0，先由介值定理或零点定理找到两个相等点，再用罗尔证。

2)证f``(§)=0,先用两次拉格朗日定理找出两个点，再用罗尔。

题型二 待证结论中出了§没有其他字母

1）还原法，即找出辅助函数（原函数）：将结论中§变成x、去分母、移项，整理

成g（x)=0,再还原是哪个函数的导数。

2）分组构造法，即“还原法”，两项和为一项，方法与1一样；

题型三 结论中含§，还含有a,b

1)将a,b与§分离，根据a,b的式子采用拉格朗日或柯西中值定理；

2）不能分离时，利用题型二的还原法

题型四 结论中含两个或两个以上中值的问题

情形一：只含两个简单中值：找出函数3个点，用两次拉格朗日证；

情形二：只含两个中值，但是两项的复杂程度不同：取出复杂项单独研究，若是乘积

形式，则找原函数用拉格朗日证即可；若是商形式，则找原函数用柯西。

情形三：结论中含两个以上中值，且每个中值对应项完全对等：就一个§构造函数，

还原，找三点，用两次拉格朗日。

题型五 两种情形下考虑拉格朗日中值定理

1）结论中出现函数之差

2）可找出函数的三个点

题型六 二阶导数保号性问题

1）若题中有f``(x)>0,则f`(x)单调增加

2）若f``(x)>0,则有f(x)>=f(x0)+f`(x0)(x-x0)

题型七 不等式常见证明方法

1）利用中值证明：具备中值性质时用；

2）利用单调性证明：无已知或极简单已知时，移项、构造函数。

3）利用凹凸性证明

题型八 函数的零点或方程根的个数

有两种情况：

1）讨论有几个根：移项、构造函数、求导数、令为0，分情况讨论。

2）证有且有1个根：先利用已知特殊性找出一个根，然后用单调证。

题型九 渐近线

1）同正无穷或同负无穷时，有水平渐近线就没有斜渐近线；

2）x=a为f(x)的铅直渐近线，则x=a为f(x)的间断点，反之不对；

3）f(a+0),f(a-0)只有一个为无穷大时，x=a也是f(x)的铅直渐近线。

题型十：弧微分、曲率、曲率半径

1）

(ds)

2

(dx)

2

(dy)

2

有三种方式：f(x)、参数方程、极坐标方程

2）曲率：

k

|y\'\'|

(1y\')

2

3

2

第四章 不定积分

题型一 换元积分法 一类是正常移到d后面，另一类的三角替换。

题型二 分部积分法

题型三 有理函数与三角函数的不定积分

有理函数：

1）分母可因数分解，拆分成部分和的形式；

2）分母不可因式分解，将分母分解，再用积分；

三角函数：

1）注意一些技巧：如出现1+cosx，cosx+sinx,sinx的平方、角度不统一时

题型四 分段函数的积分：分段积分，但是常数C要统一，利用分段点求C.

第五章 定积分及其应用


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