2024年4月16日发(作者：夺冠小状元数学试卷)
山东省高中数学竞赛试题（备选题）
一、选择题
1 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
OP
=
OA
+λ
（
AB
ABsinB
AC
ACsinC
），λ∈
0,
，则P点的轨迹一定通过△ABC的（ ）．
（A）外心 （B）内心 （C）垂心 （D）重心
解 （D）
因为
AB
sinB=
AC
sinC，故可设
AB
sinB=
AC
sinC=μ，则
OP
=
OA
+λ（
AB
ABsinB
AC
ACsinC
）=
OA
+
ABAC
，（
0,
）
设t=
，则有
AP
=t
ABAC
=2t·
AM
（t
0,
），其中M为BC边的中
点，所以A、P、M三点共线，故P点的轨迹是从A 点出发经过M点的射线，
因此，P点的轨迹一定通过△ABC的重心．
2 已知平面上三点A、B、C满足
AB
=a ，
BC
=b ，
CA
=c ，
ABBCBCCACAAB(
（A）
)
．
11
222222
（a+b+c） （B）—（a+b+c）
22
222
（C） a+b+c （D）0
解 （B）
ABBCBCCACAAB
1
ABBCBCCABCCACAABABBC
2
1
=
BCCBCAACABBA
2
11
222222
=（—a－b－c）=－（a+b+c）． 故选（B）．
22
=
山东省高中数学竞赛试题（备选题）
二、解答题
1 已知n（n≥4）个正数，排列成n×n矩阵：
2
a
1
1
a
1
2
a
1
3
a
1
4
a
1
n
a
aaaa
2
2
2
3
2
4
2
n
2
1
a
3
a
3
2
a
3
3
a
3
4
a
3
n
1
a
n
1
a
n
2
a
n
3
a
n
4
a
n
n
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，且满足：
a
2
4
=1 ，a
4
2
=
1
3
，a
4
3
= ，试求：a
1
1
+ a
2
2
+a
3
3
+ … + a
n
n
的值．
8
16
解 由题设知：a
4
2
、a
4
3
、a
4
4
成等差数列，则 2 a
4
3
= a
4
2
+ a
4
4
，
又a
4
2
=
11
31
，a
4
3
= ，所以a
4
4
=，且公差为d= a
4
3
— a
4
2
=．
84
1616
2
又n×n矩阵中的每一列的数成等比数列，所以有
a
4
4
= a
2
4
·q．（设q为公比）
11
，因各数都是正数，因此q＞0 ，且q=．
42
k
由第四行的数成等差数列，得：a
4
k
= a
4
2
+ （k —2）d = ．
16
又a
2
4
=1 ，故q=
2
又第k列的数成等比数列，所以
a
k
k
= a
4
k
·q
4k
k
1
= ·
16
2
K4
1
= K·
．（k=1，2，3…，n）
2
K
不妨记 a
1
1
+ a
2
2
+a
3
3
+ … + a
n
n
= S
n
，
由两式错位相减可得：S
n
=2 —
n2
．
n
2
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