2024年4月16日发(作者：重庆巴蜀数学试卷初一)
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全国各省高考数学——数列试题及答案
一、选择题
1．（福建）已知等差数列
{a
n
}
中，
a
7
a
9
16,a
4
1
，则
a
12
的值是（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
2．（江苏）在各项都为正数的等比数列
a
n
中，首项
a
1
3
，前三项和为21，则
a
3
a
4
a
5
=
（ ）
A．33 B．72 C．84 D．189
3．（全国）如果
a
1
，
a
2
，…，
a
8
为各项都大于零的等差数列，公差
d0
，则（ ）
（A）
a
1
a
8
a
4
a
5
（B）
a
8
a
1
a
4
a
5
（C）
a
1
+
a
8
a
4
+
a
5
（D）
a
1
a
8
=
a
4
a
5
4．（江西理）将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概
率为（ ）
5
A．
．
11
11
B． C． D．
70336
56420
（05，广东，10）已知数列
{x
n
}满足x
2
A．
x
1
1
,x
n
(x
n1
x
n2
),n3,4,.若limx
n
2,则x
1
（ ）
n
22
C．4 D．5
3
B．3
2
6．（辽宁）一给定函数
yf(x)
的图象在下列图中，并且对任意
a
1
(0,1)
，由关系式
a
n1
f(a
n
)
得到的数列
{a
n
}
满足
a
n1
a
n
(nN
*
)
，则该函数的图象是（ ）
y
1
y
1
y
1
y
1
o
1
x
o
1
x
o
1
x
o
1
x
A B C D
二、填空题
n
1．（天津理）在数列{a
n
}中,a
1
=1,a
2
=2,且
a
n2
a
n
1(1) (nN)
则
S
100
=____．
2．（湖北理）设等比数列{
a
n
}的公比为q，前n项和为
S
n
，若
S
n1
，
S
n
，
S
n2
成等差数
列，则q的值为
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三、解答题
1．（北京文）
数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
,且
a
1
1,a
n1
（I）
a
2
,a
3
,a
4
的值及数列
{a
n
}
的通项公式；
（II）
a
2
a
4
a
6
2．（天津理）
nn1n22n1n
已知
u
n
aabab
abb (nN,a0,b0)
1
S
n
,
n=1,2,3….
求
3
a
2n
的值.
（Ⅰ）当
ab
时，求数列
u
n
的前n项和
S
n
（Ⅱ）求
lim
u
n
。
n
u
n1
3．（全国）已知
a
n
是各项均为正数的等差数列，
lga
1
、
lga
2
、
lga
4
成等差数列．又
b
n
1
，
n1,2,3,
…．
a
2
n
（Ⅰ）证明
b
n
为等比数列；
（Ⅱ）如果无穷等比数列
b
n
各项的和
S
1
，求数列
a
n
的首项
a
1
和公差
d
．
3
（注：无穷数列各项的和即当
n
时数列前项和的极限）
4．（北京理）设数列
a
n
1
a，n是偶
1
2
n
的首项
a
1
,且
a
n1
,记
1
4
a，n是奇
n
4
1
b
n
a
2n1
,n1,2,3
4
(Ⅰ)求
a
2
,a
3
;
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(Ⅱ)判断数列
b
n
是否为等比数列,并证明你的结论;
(Ⅲ)求
lim(b
1
b
2
b
n
)
n
5．（全国）
设等比数列
a
n
的公比为
q
，前n项和
S
n
0 (n1,2,)
（Ⅰ）求
q
的取值范围；
（Ⅱ）设
b
n
a
n2
3
a
n1
，记
b
n
的前n项和为
T
n
，试比较
S
n
与
T
n
的大小
2
（Ⅰ）
(1,0)(0,).
（Ⅱ）
又因为S
n
0,且1q0或q0,
6．（江西理）
已知数列
{a
n
}的各项都是正数,且满足:
a
0
1,a
n1
1
a
n
,(4a
n
),nN.
2
（1）证明
a
n
a
n1
2,nN;
（2）求数列
{a
n
}
的通项公式a
n
.
7．（全国）
在等差数列{a
n
}中，公差d≠0,且a
2
是a
1
和a
4
的等比中项,已知
a
1
,a
3
,
a
k
,a
k
,a
k
,
a
k
,
成等比数列，求数列k
1
,k
2
,k
3
,…,k
n
的通项k
n
123n
在等差数列{a
n
}中，公差d≠0,且a
2
是a
1
和a
4
的等比中项,已知a
1
,a
3
,
a
k
,a
k
,a
k
,
a
k
,
成
123n
等比数列，求数列k
1
,k
2
,k
3
,…,k
n
的通项k
n
8．（山东理）
已知数列
a
n
的首项
a
1
5,
前
n
项和为
S
n
，且
S
n1
S
n
n5(nN
*
)
（I）证明数列
a
n
1
是等比数列；
2
（II）令
f(x)a
1
xa
2
xa
n
x
n
，求函数
f(x)
在点
x1
处的导数
f
(1)
并比较
2f
(1)
与
23n
2
13n
的大小
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9．（福建理）
已知数列{a
n
}满足a
1
=a, a
n+1
=1+
的数列，如当a=1时
1
我们知道当a取不同的值时，得到不同
a
n
，得到无穷数列：
3511
1,2,,,;当a时,得到有穷数列:,1,0.
2322
（Ⅰ）求当a为何值时a
4
=0；
（Ⅱ）设数列{b
n
}满足b
1
=－1, b
n+1
=
1
(nN
)
，求证a取数列{b
n
}中的任一个
b
n
1
数，都可以得到一个有穷数列{a
n
}；
（Ⅲ）若
3
a
n
2(n4)
，求a的取值范围.
2
1
我们知道当a取不同的值时，得到不同的数列，
a
n
已知数列{a
n
}满足a
1
=a, a
n+1
=1+
如当a=1时，得到无穷数列：
1,2,
3511
,,;当a时,得到有穷数列:,1,0.
2322
1
(nN
)
，求证a取数列{b
n
}中的任一个
b
n
1
（Ⅰ）求当a为何值时a
4
=0；
（Ⅱ）设数列{b
n
}满足b
1
=－1, b
n+1
=
数，都可以得到一个有穷数列{a
n
}；
（Ⅲ）若
3
a
n
2(n4)
，求a的取值范围.
2
本题主要考查数列不等式的基础知识，考察逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力
参考答案
一、A C B A B A
二、2600 -2
1
三、（1）
解：（I）由
a
1
=1，
a
n1
S
n
，n=1，2，3，……，得
3
111114
a
2
S
1
a
1
a
3
S
2
(a
1
a
2
)
，
333339
1116
a
4
S
3
(a
1
a
2
a
3
)
，
3327
，
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114
，得
a
n1
a
n
（n≥2），
(S
n
S
n1
)a
n
（n≥2）
333
14
n2
1
又
a
2
=，所以
a
n
=
()
(n≥2),
3
33
由
a
n1
a
n
1
∴ 数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
14
n2
()
33
（II）由（I）可知
a
2
,a
4
,
n1
n≥2
；
,a
2n
是首项为
4
1
，公比为
()
2
项数为n的等比数列，∴
3
3
a
2
a
4
a
6
4
1()
2n
1
3
3
[(
4
)
2n
1]
a
2n
=
3
1(
4
)
2
73
3
n
（2）
解：（Ⅰ）当
ab
时，
u
n
(n1)a
．这时数列
{u
n
}
的前
n
项和
S
n
2a3a
2
4a
3
na
n1
(n1)a
n
． ①
234nn1
①式两边同乘以
a
，得
aS
n
2a3a4ana(n1)a
②
23nn1
①式减去②式，得
(1a)S
n
2aaaa(n1)a
若
a1
，
a(1a
n
)
(1a)S
n
(n1)a
n1
a
1a
a(1a
n
)a(n1)a
n1
(n1)a
n2
(n2)a
n1
a
2
2a
S
n
22
1a
(1a)(1a)
若
a1
，
S
n
23
n(n1)
，
n(n3)
2
n
（Ⅱ）由（Ⅰ），当
ab
时，
u
n
(n1)a
，
u
n
(n1)a
n
a(n1)
则
limlimlima
．
n1
n
u
nn
n
na
n1
当
ab
时，
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b
1()
n1
bbb1
a
u
n
a
n
a
n1
bab
n1
b
n
a
n
[1()
2
()
n
a
n
(a
n1
b
n1
)
b
aaaab
1
a
u
n
a
n1
b
n1
此时，．
n
u
n1
ab
n
若
ab0
，
lim
u
n
ab
lim
n
u
n
a
n
b
n
n1
n1n1
b
ab()
n
a
a
．
lim
n
b
1()
n
a
若
ba0
，
lim
u
n
n
u
n1
a
a()
n
b
lim
b
b
．
n
a
n
()1
b
（3）
答案：
a
1
d3
11
11
1
（4）
解：（I）
a
2
＝
a
1
+=
a
+，
a
3
=
a
2
=
a
+；
44228
1
1
313
1
（II）∵
a
4
=
a
3
+=
a
+, 所以
a
5
=
a
4
=
a
+,
4282416
111
1
1111
所以
b
1
=
a
1
－=
a
－,
b
2
=
a
3
－=(
a
－),
b
3
=
a
5
－=(
a
－),
44424444
1
猜想：{
b
n
}是公比为的等比数列·
2
证明如下：
1
1
1
1
1
1
=
a
2
n
－=(
a
2
n
－1
－)=
b
n
, (
n
∈
N
*)
424242
1
1
所以{
b
n
}是首项为
a
－, 公比为的等比数列
42
1
b
1
(1
n
)
2
b
1
2(a
1
)
. （III）
lim(b
1
b
2
b
n
)lim
nn
11
4
11
22
1
（5）
所以,当1q或q2时,T
n
S
n
0,即T
n
S
n
;
2
1
当q2且q0时,T
n
S
n
0,即T
n
S
n
;
2
因为
b
n
+1
＝
a
2
n
+1
－
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1
当q,或q2时,T
n
S
n
0,即T
n
S
n
.
2
（6）
解：（1）方法一 用数学归纳法证明：
13
1°当n=1时，
a
0
1,a
1
a
0
(4a
0
),
22
∴
a
0
a
1
2
，命题正确.
2°假设n=k时有
a
k1
a
k
2.
11
a
k1
(4a
k1
)a
k
(4a
k
)
22
11
2(a
k1
a
k
)(a
k1
a
k
)(a
k1
a
k
)(a
k1
a
k
)(4a
k1
a
k
).
22
则
nk1时,a
k
a
k1
而
a
k1
a
k
0.
又
a
k1
4a
k1
a
k
0,a
k
a
k1
0.
11
a
k
(4a
k
)[4(a
k
2)
2
]2.
22
∴
nk1
时命题正确.
由1°、2°知，对一切n∈N时有
a
n
a
n1
2.
方法二：用数学归纳法证明：
1°当n=1时，
a
0
1,a
1
13
a
0
(4a
0
),
∴
0a
0
a
1
2
；
22
2°假设n=k时有
a
k1
a
k
2
成立，
1
x(4x)
，
f(x)
在[0，2]上单调递增，所以由假设
2
111
有：
f(a
k1
)f(a
k
)f(2),
即
a
k1
(4a
k1
)a
k
(4a
k
)2(42),
222
令
f(x)
也即当n=k+1时
a
k
a
k1
2
成立，所以对一切
nN,有a
k
a
k1
2
（2）下面来求数列的通项：
a
n1
2
所以
2(a
n1
2)(a
n
2)
11
a
n
(4a
n
)[(a
n
2)
2
4],
22
1
2
11
22
11
22
2
1
12
2
n1
2
n
令
b
n
a
n
2,
则
b
n
b
n
(b)()b
()b
n
,
1n2n1
222222
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又b
n
=－1，所以
b
n
()
2
1
2
n
1
1
n
,即a
n
2b
n
2()
21
2
2
a
1
a
4
……………1分
（7）
解：由题意得：
a
2
即
(a
1
d)a
1
(a
1
3d)
…………3分
又
d0,
a
1
d
…………4分
又
a
1
,a
3
,a
k
1
,a
k
2
,,a
k
n
,
成等比数列,
∴该数列的公比为
q
2
a
3
3d
3
，………6分
a
1
d
所以
a
k
n
a
1
3
n1
………8分
又
a
k
n
a
1
(k
n
1)dk
n
a
1
……………………………………10分
k
n
3
n1
所以数列
{k
n
}
的通项为
k
n
3
n1
……………………………12分
（8）
解：由已知
S
n1
S
n
n5(nN
*
)
可得
n2,S
n
2S
n1
n4
两式相减得
S
n1
S
n
2
S
n
S
n1
1
即
a
n1
2a
n
1
从而
a
n1
12
a
n
1
当
n1
时
S
2
2S
1
15
所以
a
2
a
1
2a
1
6
又
a
1
5
所以
a
2
11
从而
a
2
12
a
1
1
*
故总有
a
n1
12(a
n
1)
，
nN
又
a
1
5,a
1
10
从而
a
n1
1
2
即数列
a
n
1
是
a
n
1
等比数列；
n
（II）由（I）知
a
n
321
2
因为
f(x)a
1
xa
2
xa
n
x
n
所以
f
(x)a
1
2a
2
xna
n
x
n1
从而
f
(1)a
1
2a
2
=
3222
na
n
=
321
232
2
1
n(32
n
1)
n(n1)
6
2
2
n2
n
-
12n
=
3
n1
2
n1
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由上
2f
(1)23n
2
13n12
n1
2
n
-
122n
2
n1
=
n
2
12
n1
2
n
12
n1
(2n1)
=12
(n1)
(2n1)
①
当
n1
时，①式=0所以
2f
(1)23n13n
；
当
n2
时，①式=-12
0
所以
2f
(1)23n13n
当
n3
时，
n10
又
2
11
C
n
C
n
n01
n
n1n
C
n
C
n
2n22n1
2
2
2
n
23n13n
所以
n1
即①从而
2f(1)
22n10
0
（9）
（I）解法1：
a
n1
1
解
1112
,a
n
,a
4
0,a
3
1,a
2
,aa
1
;
a
n
a
n1
123
法2：
a
1
a,a
n1
1
（II）
1a12a13a22
,a
2
.a
3
,a
4
,a
4
0,a
a
n
aa1a13
b
n1
11
,b
n
1,若a取数列{b
n
}的一个数b
n
,即ab
n
,
b
n
1b
n1
1111
1b
n1
,a
3
11b
n2
,
a
1
b
n
a
2
b
n1
1
0
a
n1
n项为有穷数列
则a
2
1,
a
n1
b
1
1,a
n
1
所以数列{
a
n
}
只能有（III）
1
3
12
1a
n1
2
a
n1
33
2
a
n
2
n4
n5
n5
a
n1
2
n5
所以
3
22
3
a2
2
a
n1
2
n1
2
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2233a2
a
n
2
n4
a
4
22a0
3322a1
这就是所求的取值范围
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