2024年1月9日发(作者：2023福建高三质检数学试卷)

习题113

1 求下列幂级数的收敛域

(1)x2x23x3    nxn   

解

lim|nan1|limn11 故收敛半径为R1

annn 因为当x1时 幂级数成为n 是发散的

n1 当x1时 幂级数成为(1)nn 也是发散的

n1所以收敛域为(1 1)

2nxxn (2)1x2    (1)2   

2n12an1(n1)2n|limlim1 故收敛半径为R1 解

lim|nannn(n1)21n2 因为当x1时 幂级数成为(1)n12 是收敛的 当x1时 幂级数成为nn2112 也是收敛的 所以收敛域为[1 1]

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n1n23nxxxx       

 (3)22424624    (2n)nan12|limn1n!lim10 故收敛半径为R 收敛 解

lim|nann2(n1)!n2(n1)域为( )

23nxxxx (4)23    n   

132333n3nan1n31n1 故收敛半径为R3

|limlim 解

lim|nann(n1)3n1n3n131 / 4

因为当x3时 幂级数成为1 是发散的 当x3时 幂级数成为n1nn1(1)nn 也是收敛的 所以收敛域为[3 3)

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123n222223 (5)xxx    2xn   

2510n1n122an12n1n12 故收敛半径为1

|lim2lim 解

lim|Rnann(n1)212nn(n1)2121 因为当x时 幂级数成为21 是收敛的 当x1时 幂级数成为2n1n1n1,

1]

(1)nn21 也是收敛的 所以收敛域为[122n12n1x (6)(1)

2n1n12n1x 解 这里级数的一般项为un(1)

2n1n2n3un1x1|x2 由比值审敛法 当x21 即|x|1时

|lim|2n 因为lim|2nnunn2n3x1幂级数绝对收敛 当x21 即|x|1时 幂级数发散 故收敛半径为R1

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 因为当x1时 幂级数成为(1)n1 是收敛的 当x1时 幂级数成2n1n1为(1)n11 也是收敛的 所以收敛域为[1 1]

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2n1n11x2n2 (7)2nnn122 / 4

1x2n2 解 这里级数的一般项为un2nn2nun1(2n1)x2n21x2 由比值审敛法 当|lim|| 因为lim|nunn2n1(2n1)x2n221x21 即|x|2时 幂级数绝对收敛 当1x21 即|x|2时 幂级数发散

22故收敛半径为R2

因为当x2时 幂级数成为(2, 2)

2n1 是发散的 所以收敛域为n12(x5)n (8)

nn1 解

lim|nan1n1 故收敛半径为R1 即当1x51时级数收|limannn1敛 当|x5|1时级数发散

(1)n 因为当x51 即x4时 幂级数成为 是收敛的 当x51 即nn1x6时 幂级数成为1 是发散的 所以收敛域为[4 6)

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n1n 2 利用逐项求导或逐项积分 求下列级数的和函数

(1)nxn1

n1 解 设和函数为S(x) 即S(x)nxn1 则

n1xxx

S(x)[0S(x)dx][0nxn1n1dx][0nxn1dx]

n13 / 4

[xn][11]12 (1x1)

1x(1x)n14n1x (2)

4n1n1 解 设和函数为S(x) 即S(x)x 则

4n1n14n1x4nx]dx0xdx

S(x)S(0)0S(x)dx0[4n1n1n1xx4n1xx

0(141)dx0(1112112)dx

21x21x1x

1ln1x1arctanxx (1x1)

41x2 提示 由0S(x)dxS(x)S(0)得S(x)S(0)0S(x)dx

352n1xxx (3)x       

352n1 解 设和函数为S(x) 即

2n1352n1xxxxx       

S(x)2n1352n1n1xx]dx0x2n2dx 则

S(x)S(0)0S(x)dx0[xn12n1n1xx2n1xx

012dx1ln1x (1x1)

21x1x 提示 由0S(x)dxS(x)S(0)得S(x)S(0)0S(x)dx

xx4 / 4


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