2024年4月17日发(作者：福建数学试卷的图片)
2023年高三年级试题
数
注意事项：
学
1
．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座
位号填写在答题卡上。用
2B
铅笔将试卷类型（
A
）填涂在答题卡相应位置上。将条形码
横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2
．作答选择题时，选出每小题答案后，用
2B
铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3
．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和
涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4
．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共
8
小题，每小题
5
分，共
40
分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1．设集合
A{xN|0≤lnx≤1}
，
B
{
x
|2
x
4}
，则
AB
A
．
{1}
A．
2
B
．
{x|1≤x2}
B．
5
C
．
{0}
C．
10
D
．
D．5
2．已知
34iz(1-2i)
，则
|z|
3．已知
tan(π
)2
，则
A．
3
cos2
1
sin2
1
3
C．
3
D．
B．
1
3
1
4．在
△ABC
中，
AD2DB
，点
P
在
CD
上，且
APmACAB
(
mR
)
，则
m
3
A．
1
5
B．
1
4
C．
5．已知函数
f(x)cosx
，
x
(,3π)
，若方程
f(x)m
有三个不同的实数根，且这三个
根成等比数列，则
m=
A．
π
2
1
3
D．
1
2
1
2
B．
1
2
C．
2
2
D．
2
2
数学试题第
1
页（共
6
页）
6．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的YongJunKLSpeedcubing比赛半决赛中，
来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”
吉尼斯世界纪录称号．
如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层转动了
45
之后，表
面积增加了
A．
54
B．
54362
C．
108722
D．
81722
x
2
y
2
7．已知椭圆
C
:
2
2
1(
a
b
0)
，过
C
中心的直线交
C
于
M
，
N
两点，点
P
在
x
轴
ab
上，其横坐标是点
M
横坐标的3倍，直线
NP
交
C
于点
Q
，若直线
QM
恰好是以
MN
为直径的圆的切线，则
C
的离心率为
A．
2
2
B．
6
3
C．
3
3
D．
3
2
8．已知
f(x)mxn
，
g(x)lnx
，对于
x(0,)
，
f(x)≥g(x)
恒成立，则
m2n
的
最小值为
A
．
ln2
B
．
1
C
．
ln4
D
．
2
二、选择题：本题共
4
小题，每小题
5
分，共
20
分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得
5
分，有选错的得
0
分，部分选对的得
2
分。
9．下列说法正确的是
A．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数
|r|
越接近于1
B．样本数据：
27, 30, 37, 39, 40, 50
的第30百分位数与第50百分位数之和为68
C．已知随机变量
X
服从正态分布
N(
,
2
)
，若
P(X≥1)P(X≥5)1
，则
2
D．将总体划分为2层，通过分层抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为
x
1
，
2
x
2
和
s
1
2
,s
2
，若
x
1
x
2
，则总体方差
s
2
1
22
(
s
1
s
2
)
2
数学试题第
2
页（共
6
页）
10．已知点
A
，
B
在圆
O:x
2
y
2
4
上，点
P
在直线
l:2xy50
上，则
A．直线
l
与圆
O
相离
B．当
AB23
时，
|PAPB|
的最大值是
252
C．当
PA
，
PB
为圆
O
的两条切线时，
(OAOB)OP
为定值
D．当
PA
，
PB
为圆
O
的两条切线时，直线
AB
过定点
(,)
11．在正三棱锥
ABCD
中，底面
△BCD
的边长为4，
E
为
AD
的中点，
ABCE
，则
A．该棱锥的体积为
63
55
82
3
B
．该棱锥外接球的体积为
86π
C．异面直线
CE
与
BD
所成角的正切值为
1
3
52
π
3
D．以
D
为球心，
AD
为半径的球截该棱锥各面所得交线长为
12．椭圆曲线
y
2
ayx
3
bx
2
cxd
是代数几何中一类重要的研究对象．关于椭圆曲线
:y
2
2yx
3
mx3
，下列结论正确的是
A．曲线
关于点
(0,3)
对称
B．曲线
关于直线
y1
对称
C．当
m3
时，曲线
上点的横坐标的取值范围为
[2,)
D．若曲线
上存在位于
y
轴左侧的点，则
m≤3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知
(4
x
1)(2
x
1)
n
的展开式中所有项的系数之和为
81
，则展开式中含
x
4
的项的系数
为________．
14．若数列
{
a
n
}
满足
a
i
a
n
i
1
C
i
n
(
i
1,2,3,
,
n
)
，则
{
a
n
}
的前
n
项和为________．
x
2
y
2
15．已知双曲线
C
:
2
2
1(
a
0,
b
0)
的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，过点
F
2
作斜率为
ab
15
的直线交
C
右支于M，N两点，且
MF
1
MN
．写出
C
的一条渐近线方程______．
16．定义在
R
上的函数
f(x)
满足
f(2x)f(2x)2x
，且函数
f(2x1)
的图象关于点
(0,1)
对称，则
f(1)
________，
f(2023)
________．
数学试题第
3
页（共
6
页）
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列
{
a
n
}
满足
a
2
a
n
1
，
a
n
1
．
2
a
n
1
3
（1）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
1
a
,
n
为奇数
,
n
（2）设
b
n
求数列
{
b
n
}
的前40项和．
a
log
n
1
,
n
为偶数
.
3
a
n
1
18．（12分）
在
△ABC
中，角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，已知
b
，
a
，
c
成等比数列，
且
cos(
BC
)
cos
A
（1）求
B
；
（2）若
b4
，延长
BC
至
D
，使
△ABD
的面积为
53
，求
sinADC
．
3
．
2
数学试题第
4
页（共
6
页）
19．（12分）
5月25日是全国大、中学生心理健康日，“5.25”的谐音即为“我爱我”，意在提醒
孩子们“珍惜生命、关爱自己”．学校将举行心理健康知识竞赛．第一轮选拔共设有
A，B，C三个问题，规则如下：①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题
A，B，C分别加2分，4分，5分，答错任一题减2分；②每回答一题，计分器显示
累计分数，当累计分数小于
8
分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于
14
分时，答题结束，进入下一轮；当答完三题，若累计分数仍不足
14
分时，答题结束，
淘汰出局，若累计分数大于或等于
14
分时，答题结束，进入下一轮；③每位参加者
按问题A，B，C顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A，B，C回答正确的
概率依次为
3
2
1
，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
4
3
2
（
1
）求在甲同学进入下一轮的条件下，答了两题的概率；
（2）用
表示甲同学本轮答题结束时答对的个数，求
的分布列和数学期望
E(
)
．
20．（12分）
如图，在四棱锥
PABCD
中，侧棱
PA
平面
ABCD
，底面四边形
ABCD
是矩形，
PAAD4
，点
M
，
N
分别为棱
PB
，
PD
的中点，点
E
在棱
AD
上，
AD3AE
．
（1）求证：直线
AM//
平面
BNE
；
（
2
）从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立．
①平面
PAB
与平面
PCD
的交线
l
与直线
BE
所成角的余弦值为
②二面角
NBED
的余弦值为
310
；
10
11
．
11
P
注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分．
N
M
A
B
数学试题第
5
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6
页）
E
C
D
21．（12分）
y
2
x
2
已知抛物线
C
1
:x8y
的焦点
F
也是双曲线
C
2
:
2
2
1(
a
0,
b
0)
的一个焦点，
ab
2
C
1
与
C
2
公共弦的长为
46
．
（1）求
C
2
的方程；
（2）过
F
的直线
l
与
C
1
交于
A
，
B
两点，与
C
2
交于
C
，
D
两点，且
AC
与
BD
同向．
(ⅰ)若
ACBD
，求直线
l
的斜率；
(ⅱ)设
C
1
在点
A
处的切线与
x
轴交于点
M
，试判断点
F
与以
MD
为直径的圆的
位置关系．
22．（12分）
已知函数
f
(
x
)
1
2
x
3
ax
2ln
x
(
aR
)
．
2
21
x
f(x)
2(
1)
2
．
12
2
x
1
x
1
（1）讨论函数
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个极值点
x
1
,x
2
(x
1
x
2
)
，求证：
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