2024年4月13日发(作者：包头中考一模数学试卷答案)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二解析

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合

题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

．．．

(1) 下列反常积分收敛的是 ( )

(A)



2

1

dx

(B)

x



2

lnx

dx

x

(C)



2

1

dx

xlnx

(D)



2

x

dx

x

e

【答案】(D)

【解析】



x

x

x

，则

(1)dxxe

dx(x1)e

x

x

x

2

e

e



2

3e

2

lim(x1)e

x

3e

2

.

x

(2) 函数

f

x

lim(1

t0

x

2

sin

t

t

)

x

在

(,)

内( )

(A) 连续

(B) 有可去间断点

(C) 有跳跃间断点

(D) 有无穷间断点

【答案】(B)

sintx

lim

sint

x

t

t0

xt

)ee

x

，

x0

，故

f(x)

有可去间断点

x0

. 【解析】

f(x)lim(1

t0

x

22

1

xcos,x0

x

(

0,

0)

,若

f

\'

x

在

x0

处连续则:( ) (3) 设函数

f

x

0,x0

(A)

＞1

(C)

2

【答案】(A)

【解析】

x0

时，

f

x

0f

0

0

(B)

0

1

(D)

0

2

f

0

lim

x0

x

cos

1

0

1

1

x

coslimx

x0

xx

x0

时，

f

x

x

1

cos

x

1

cos

111

1xsin





x

x

x

1

11

1

xsin



xx

数学(二)试题 第1页 (共12页)

1

xcos

f

x

在

x0

处连续则：

f

0

f

0

lim

x0

1

0

得

10

x

=0

11

1

1

f

0

limfx=limxcosxsin





x0

+

x0

+

x

x

得：

10

，答案选择A

(4)设函数

f(x)

在

,

内连续，其中二阶导数

f



(x)

的图形如图所示，则曲线

yf(x)

的拐点的个数为( )

(A)

0

(B)

1

(C)

2

(D)

3

【答案】(C)

【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数

为2个.

(5) 设函数

f

u,v

满足

f

xy,

x

2

y

2

，则

x



y

f

u

(A)

u1

与

v1

f

v

u1

v1

依次是 ( )

11

,0

(B)

0,

22

(C)

1

,0

2

(D)

0,

1

2

【答案】(D)

【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.

令

uxy,v

yyuuv

，则

x

，从而

f(xy,)x

2

y

2

变为

,y

x1v1vx

22

2

2u

2

f2u(1v)f

u



uv

u(1v)

,

.故，

f(u,v)





2

1vv(1v)u

1v

1v



1v

因而

f

u

u1

0,

v1

f

v

1



.故选（D）.

u1

2

v1

(6)设

D

是第一象限由曲线

2xy1

，

4xy1

与直线

yx

，

y

数

f

x,y

在

D

上连续，则

3x

围成的平面区域，函



f

x,y

dxdy

(

D

)

(A)

d

3

4

1

sin2

1

2sin2

f

rcos

,rsin

rdr

数学(二)试题 第2页 (共12页)

(B)

d

3

4

1

sin2

1

2sin2

1

sin2

1

2sin2

f

rcos

,rsin

rdr

f

rcos

,rsin

dr

(C)

d

3

4

(D)

d

3

4

1

sin2

1

2sin2

f

rcos

,rsin

dr

【答案】(B)

【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为



11

D

(r,

)

,r

43

2sin2sin2





所以



f(x,y)dxdy

d

3

D

4

1

sin2

1

2sin2

f(rcos

,rsin

)rdr

故选

B.

1

111





(7) 设矩阵

A

12a

,

b

d

.若集合



1,2

，则线性方程组

Axb

有无穷多



14a

2

d

2





解的充分必要条件为 ( )

(A)

a,d

(C)

a,d

【答案】(D)

(B)

a,d

(D)

a,d

111

【解析】

(A,b)12a

14a

2

11



11



01a1d1



2



d



00(a1)(a2)(d1)(d2)

，

1

d

由

r(A)r(A,b)3

，故

a1

或

a2

，同时

d1

或

d2

.故选（D）

222

(8) 设二次型

f

x

1

,x

2

,x

3

在正交变换

xPy

下的标准形为

2y

1

，其中

y

2

y

3

P(e

1

,e

2

,e

3

)

，若

Q(e

1

,e

3

,e

2

)

则

f(x

1

,x

2

,x

3

)

在正交变换

xQy

下的标准形

为( )

222

(B)

2y

1

y

2

y

3

222

(A)

2y

1

y

2

y

3

数学(二)试题 第3页 (共12页)

222

(C)

2y

1

y

2

y

3

222

(D)

2y

1

y

2

y

3

【答案】(A)

222

【解析】由

xPy

，故

fx

T

Axy

T

(P

T

AP)y2y

1

.

y

2

y

3

200



T

且

PAP

010

.

001



100



由已知可得

QP

001

PC

010



200



TTT

故

QAQC(PAP)C

010

001



222

所以

fx

T

Axy

T

(Q

T

AQ)y2y

1

.选（A）

y

2

y

3

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.

．．．

xarctant

d

2

y

(9)

则

3

dx

2

y3tt

【答案】48

t1

dy

33t

2

dy

dt

3(1t

2

)

2

【解析】

dx

1

dx

dt

1t

2

d[3(1t

2

)

2

]

12t(1t

2

)

d

2

yd

22

dt

12t(1t

2

)

2

[3(1t)]

2

dx

1

dxdx

dt

1t

2

d

2

y

48

.

dx

2

t1

(10)函数

f(x)x2

在

x0

处的

n

阶导数

f(0)

_________

【答案】

n

n1



ln2

n2

2xn

【解析】根据莱布尼茨公式得：

f

n

0

C

n

2

2

2

x

(n2)

x0

n(n1)

n2n2

2

ln2

n(n1)

ln2

2

x

2

0

(11) 设

f

x

连续，

x

【答案】

2

xf

t

dt

，若

1

1,

1

5

，则

f

1

数学(二)试题 第4页 (共12页)

【解析】 已知

(x)x

x

2

0

f(t)dt

，求导得

(x)

x

2

0

f(t)dt2x

2

f(x

2

)

，故有

(1)

f(t)dt1,

0

1

(1)

1

2f(1)

5,

则

f(1)2

.

(12)设函数

yy

x

是微分方程

yy2y0

的解，且在

x0

处

yx

取得极值3，则

\'\'\'



y

x

=

【答案】

e

2x

2e

x

.

【解析】由题意知：

y

0

3

，

y

0

0

，由特征方程：

2

20

解得

1

1,

2

2

所以微分方程的通解为：

yC

1

e

x

C

2

e

2x

代入

y

0

3

，

y

0

0

解得：

C

1

2C

2

1

解得：

y2ee

x2x

(13)若函数

Zz

x,y

由方程

e

【答案】

x2y3z

xyz1

确定，则

dz

0,0

= .

1

dx2dy

3

【解析】当

x0,y0

时

z0

，则对该式两边求偏导可得

(3e

x2y3z

xy)

z

yze

x2y3z

x

(3e

x2y3z

xy)

z

xz2e

x2y3z

.将（0,0,0）点值代入即有

y

1z2z

,.

3y

(0,0)

3x

(0,0)

则可得

dz|

(0,0)

dx

1

3

21

dy

dx2dy

.

33

(14)

若

3

阶矩阵

A

的特征值为

2,2,1

，

BA

2

AE

，其中

E

为

3

阶单位阵，则行列式

B

.

【答案】21

【解析】

A

的所有特征值为

2,2,1.

B

的所有特征值为

3,7,1.

所以

|B|37121

.

三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、

．．．

数学(二)试题 第5页 (共12页)

证明过程或演算步骤.

(15) (本题满分10分）

3

设函数

f(x)xaln(1x)bxsinx

，

g(x)kx

.若

f(x)

与

g(x)

在

x0

时是等价无

穷小，求

a,b,k

的值.

【答案】

a1,k,b

【解析】

方法一：

1

3

1

2

x

3

x

2

x

3

3

o(x)

，

sinxxo(x

3

)

， 因为

ln(1x)x

3!

23

那么，

aa

(1

a

)

x

(

b

)

x

2

x

3

o

(

x

3

)

f

(

x

)

xa

ln(1

x

)

bx

sin

x

23

1

lim

lim

lim

，

33

x

0

g(x)

x

0

x

0

kxkx



a1

1a0

1

a

可得：

b0

，所以，

b

．

2

2

1

a

k

1

3

3k

方法二：

由题意得

1lim

x0

f(x)xaln(1x)bxsinx

lim

lim

x0

g(x)

x0

kx

3

2

x0

x0

1

a

bsinxbxcosx

1x

3kx

2

由分母

lim3kx0

，得分子

lim(1

a

bsinxbxcosx)

lim(1a)0

，求得c；

x0

1x

于是

1

lim

x

0

f

(

x

)

lim

g

(

x

)

x0

1

1

bsinxbxcosx

1x

3

kx

2

xb(1x)sinxbx(1x)cosx

2

x0

3kx（1x）

1s)i(1xc)osxbx(xnbxx

lim

x0

3kx

2

lim

数学(二)试题 第6页 (共12页)


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