2024年3月10日发(作者：丰台初三数学试卷和答案)
高中数学必修二第
9
章：复数
-
知识点
1
、形如
a+bi (a,b
∈
R)
的数叫做复数，其中，
i
叫做
虚数
单位，规定
i
²
= -1
，
a
和
b
分别叫做复数的实部
（记作
Rez
）和虚部
（记作
Imz
），实数部分为
a
，
虚数部分为
bi
，如果两个复数相等，则它们的实部和虚部分别
对应相等
。
2
、复数的分类：①
b=0
时，
z
是实数；②
b
≠
0
但
a =0
时，
z
是纯虚数；③
b
≠
0
且
a
≠
0
时，
z
是非纯虚数。
3
、共轭复数：实部
相等
而虚部
互为相反数
的两个复数，复数
z
的共轭复数用
z
表示，当
z=a+bi
时，
z
= a-bi
。
4
、复数的运算：①加法，
(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i
，②减法，
(a+bi)-(c+di) =
(a-c)+(b-d)i
，
(a+bi)
×
(c+di) = (ac-bd)+(bc+ad)i
，
③乘法，复数的乘法满足交换
律，
结合
律和
分配
律。④乘方，
z
m
·
z
n
= z
m+n
，
(z
m
)
n
= z
mn
，
(z
1
·
z
2
)
m
= z
1
m
·
z
2
m
。⑤除
(abi)(cdi)
acbdbcad
abi
2
i
222
(cdi)(cdi)
cdcd
cdi
= =
，除法运算的关键在于分母实数化
，法，
即将分子分母同时乘以分母的共轭复数
。
5
、熟记：①
i
n
的规律，
i
4n+1
= i
，
i
4n+2
= -1
，
i
4n+3
= -i
，
i
4n
= 1
。②
(1+i)
2
= 2i
，
(1-i)
2
=
-2i
1
，③
i
= -i
1i
，
1-i
= i
1i
，
1i
= -i
。
6
、在复平面内，
x
轴叫做
实
轴，
y
轴叫做
虚
轴，点
Z (a,b)
以及向量
OZ
(a,b)
与
复数
z=a+bi
具有
一一对应
关系。实轴上的点表示
实
数，虚轴上的点（
原点
除
外）表示纯
虚
数。
7
、复数的运算，可以
转化
为复平面内
向量
的运算。复数加减的几何意义就
是复平面内
向量
的加减。复数加法满足加法
交换
律和加法
结合
律。
8
、复数
z=a+bi
的模即复平面上位置
向量
OZ
的模，
z
=
abi
=
（a-c）,(bd)i
= 9
、已知
z
1
=a+bi
，
z
2
=c+di
，
z
1
z
2
=
a
2
b
2
。
(a-c)
2
(b-d)
2
。
z
1
z
2
表示两
点
Z
1
和
Z
2
之间的距离。
10
、若
zz
1
=
zz
2
，则点
Z
在
线段
Z
1
Z
2
的
中垂线
上。
1
11
、若
zz
0
=r
，则点
Z
在以
Z
0
为圆心，
r
为半径的圆上，假设
点
Z
1
是圆外一点，则
Z
1
Z
的最小值为
Z
1
Z
0
-r
，最大值为
Z
1
Z
0
+r
。
典例：复数
z
满足
z22i2
，求
z
的取值范围。解答：由题
意可知，点
Z
的轨迹是
以点
Z
0
（
2
，
-2
）为圆心，
2
为半径
的圆，则
z
OZ
0
-
2
=
2
,
z
max
= OZ
0
+
2
=3
2
min
=
，所以
z
的取值范围是
[
2
，
3
2
]
。
12
、复数的平方根：如果
a+bi
是
c+di
的一个平方根，则另一个平方根是
-a-bi
。
13
、对于一元二次方程
ax
²
+bx+c=0
，当△＜
0
时，方程有两个
不相等
的
虚数
b4acb
2
i
2a2a
。两个根互为
共轭
复数。根与系数的关系，即
韦达根，
x =
定理，在复数根的情况下依然成立，即
x
1
+x
2
=
b
a
，
x
1
x
2
=
c
a
。
14
、复数范围内分解因式：
ax
²
+bx+c= a(x-x
1
)(x-x
2
)
。以
x
1
,x
2
为根的实系数一元二
次方程为
x
²
+
（
x
1
+x
2
）
x+x
1
x
2
=0
。
15
、
★
复数的辐角：复平面内，以
x
轴正半轴
为始边，以复数
z
对应的向量
OZ
为终边的角θ，记作
Argz
。辐角
不唯一
，
满足
0
≤θ≤
2
π
的辐角称为
z
的辐角主值，记作
argz
，辐角
主值是
唯一
的。任意一个复数都可以表示为三角形是：
z= r
（
cos
θ
+ i sin
θ）。
2
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