周期函数与其导函数周期相同的一个条件

2024年3月29日发(作者：高三高考数学试卷下载)

周期函数与其导函数周期相同的一个条件

摘 要：周期函数与导函数的周期可以保持不变，但并非完全相同，须满足一定的条

件，它们才能够相同。

关键词：可微；原函数；导函数；周期性

命题：可微分的周期函数，其导函数仍为具有相同周期的周期函数。

我们讨论的周期相同，是指二者周期的集合相同（原函数的周期一定是导函数的周期；

反之，导函数的周期一定是原函数的周期），或者二者最小正周期相同。

文献1中给出的“证明”，是由f（x+T）=f（x）得f’（x+T）=f’（x）[1]，这只

能说明原函数的最小正周期T是导函数的一个周期，即对导函数的最小正周期T ‘而言，

有T=KT ‘（K为正整数）.至于T是否为导函数的一个周期，即：是否T=T ‘，并未得

证，尚需证T ‘一定也是原函数f（x）的一个周期：f（x+T ‘）=f（x），才有T=T ‘.

许多书上的证明多是如此。

本文将指出：可微周期函数与其导函数最小正周期并非一定相同；同时，给出一个周

期相同的一个充分条件。

1 现举一反例

我们约定J表示整数集合，R表示实数集合，E（x）表示不超过x的最大整数。

例1 设 ，考察定义在D上的函数f（x）=x-E（x） .

与正切函数类似，虽然f（x）在R上有可列间断点，但f（x）在其定义域D中每点连

续可微.

首先，1/2不会是f（x）的周期，这只要取x0=k+1/4，有x0∈D，f（x0）=1/4；

x0+1/2=k+3/4∈D，f（x0+1/2）=3/4，便有f（x0+1/2）≠f（x0）.

f（x）的导函数f ‘（x）=1，1/2是f ‘（x）的一个周期.因为，对任意x∈D，x+1/2

∈D，f’（x）= f ‘（x+1/2）=1.

这样，我们已经得到f（x）与f ‘（x）周期集合不同，自然，最小正周期就不会相同.

当然，我们也可以分别证明，f（x）最小正周期为1，f ‘（x）最小正周期为1/2.

通过f（x）与f ‘（x）的图像来对比，结论也是非常明显的（如图1）

图1

例2设D={x|x∈R-J}.考察定义在D中的函数

同样，f（x）的导函数f ‘（x）=2[x-E（x）],x∈D

可以例1一样，验证1是f ‘（x）的周期而不是f（x）的周期，从而二者周期不同.

不过，现在我们采用另外的办法，证明f（x）的最小正周期为2，而f ‘（x）的一个周期

为1，则f ‘（x）的最小正周期T ‘≤1，便有T ‘≤1≤2=T，即T ‘=T.