二重积分的几种计算方法

2024年3月29日发(作者：2023高考数学试卷答案山东)

二重积分的几种计算方法

二重积分是数学分析的重要组成部分，二重积分是定积分的推广，是二元函

数在一个平面的一个区域的积分。计算二重积分的一般原则是将二重积分化为二

次积分（即累次积分）加以计算。求积的困难主要来自两个方面：一是被积函数

的复杂性，二是积分区域的多样寻。不同顺序二次积分计算的难易程度往往是不

同的，又是错选积分顺序导致积分无法计算，有的二重积分必须通过换元才能求

出。计算二重积分的一般步骤如下：

1) 画出积分区域D的草图；

2) 求交点；

3) 选择直角坐标系下计算，或极坐标系下计算；

4) 选择积分次序；

5) 化二重积分为二次积分；

6) 计算。

一．二重积分的直接计算方法

所谓连续函数

f(x,y)

展步在有限封闭可求积二位域



内的二重积分乃是指数



f(x,y)dxdy



maxx0

i

maxy0

lim



f(x,y

i

j

j

)x

i

y

j

其中

x

i

x

i1

x

i

,y

j

y

j1

y

j

，而其和为对所有

i,j

，使

(x

i

,y

j

)

的那些值来求的。

若域



有下面的不等式所给出

axb,

y

1

(x)yy

2

(x)

其中

y

1

(x)

和

y

2

(x)

为闭区间



a,b



上的连续函数，则对应的二重积分可按下面的公式计算



f(x,y)dxdy



dx





a

by

2

(x)

y

1

(x)

f(x

i

,y

j

)dy

例1. 计算



D

xydxdy

，其中区域

D

是由直线

yx

与抛物线

yx

2

所围成的区域。

解: 积分区域

D

如图1所示，有定义

D

是简单区域，边界

yx

与yx

2

得交

点为

(0,0)

和

(1,1)

。

若选择先对

y

积分，则过

x

轴上

(0,1)

内的任一点

p

作

y

轴的平行线，该线的

与

D

下边界交点在

yx

2

上，与

D

上边界交点在

yx

上，所求积分为



y



xydxdydxxydyx



dx



0x

2

0





2



x

2

D

1x1

x

1

1

35

1





(xx)dx

2

0

24

若选择先对

x

积分，同理可得



xydxdy



dy



D

0

1y

y



1



xydx





x

2

y



0

2



y

1

y

1

1

3

1





(yy

5

)dx

2

0

24

图1

若求二重积分时，遇到复杂区域，应将复杂区域化成若干个简单区域，

然后根据



f(x,y)dxdy



f(x,y)



f(x,y),(DD

1

D

2

)

，来计算。

DD

1

D

2

例2. 计算



xydxdy

，其中

D

是由

xya

2

，

xy2a

2

，

xy

及

y2x

所围成

D

(x0,y0,a0)

。

解: 积分区域如图2所示，有定义可知

D

为复杂区域，

D

边界线的交点分别

为

A(a,2a),B(

a

,a),C(a,a),D(2a,2a)

。

a

若先对

x

积分则连接

BD

，

BD

将

D

分成两个简单区域

D1

，。

BD

的方程为

y2a

，所求积分为



xydxdy



xydxdy



xydxdy

DD1D2





2a

a

dy



a

2

xydx



y

2a2a

2a

dy



2a

2

y

y

2

xydy





2a

a

4

2a

2ay

3

a

4

y

3

()dy



()dy

2a

22yy8



y

4

a

4



4

y

4



Iny







2aIny









82y32



a



2a2a

2a

3

a

4

In2

4

图2 图3

若先对

y

积分，则连接

AC

,

AC

把区域

D

分成两个简单区域

D1

，

D2

。

AC

的方

程为

xa

，如图3所示，所求积分应为



xydxdy



xydxdy



xydxdy

DD1D2





a

dx



a

2

xydy



2

x

a2a2a

a

a

4

1

3

(2x)dx

x2

2a



1

4

a

4







xInx



2



2



a

a

2



4

x

4







2aInx



8



a



3

a

4

In2

4

在化二重积分为累次积分时还应注意：若先对

x

积分，则第一次积分是

x

是

积分变量，积分上下限应含有

y

的表达式或常数；若先对

y

积分，则第一次积分

时

y

时积分变量，积分上下限应该含有

x

的表达式或常数。

二．二重积分中的变量代换

若可微分的连续函数

xx(u,v),yy(u,v)

把平面

Oxy

上的有限域



单值惟一地映射为平面

Ouv

上的域



1

雅哥比式

I

D(x,y)

0

D(u,v)

则下之公式正确：



f(x,y)dxdy



f



x(u,v),y(u,v)



Idudv



1

特别是，根据公式

xrcos



,yrsin



，变换为极坐标

r

和



得情形有



f(x,y)dxdy



f(rcos



,rsin



)rdrd





1

例2



D

x

2

y

2

x

2

y

2

1

2



2

dxdy

，其积分区域

D

是由椭圆

2



2

1

所围的区域。

ab

ab

解： 作变化

xarcos



,ybrsin



，则域

D

变为域

D

1

{0r1,0



2



}

，

且

Iabr

。于是，



D

2



x

2

y

2

1

2



2

dxdy



d



ab1r

2

rdr

0

ab

1

2



ab



1r

2

rdr

0



例3 设

a0

是常数，计算积分

2



ab

3

x

2

y

2

ax

2

xy



dxdy

。

解： 设

{

a

xrcos



,

2

则

x

2

yrsin



,

y

2

ax

，变成

0r

a

,0



2



2

xyax

2

2

xy



dxdy

2

a

2

0



2



0r



a

(rcos



)r

2

sin

2



rdrd



2



a

2

0



2



0r



a

32

a

5

42

(rsin



rcos



sin



)drd







2128

三．小结

计算二重积分必须注意：能否快算，用何坐标，是否分区域，如何定限。计

算二重积分的主要方法有：几何意义化简，利用直角坐标或极坐标化为二次积分，

利用分域法，交换积分次序等。

参考文献：

[1] 吉米多维奇.数学分析习题集精选精解 [M]山东：山东科技出版社，2007

[2] 钱吉林.数学分析题解精粹 [M]湖北：湖北长江出版集团 2009

[3] 同济大学应用数学系.微积分（下册） [M]北京：高等教育出版社 2003