用近似公式开平方

2024年4月18日发(作者：2018数学试卷答案初三)

用近似公式开平方

我上初中的时候，计算器还没普及，那时每个学生一本《中学数学用表》，

可以查到一个数平方根的4位有效数字。课本里有笔算开平方的方法，但要列竖

式，感觉麻烦，没多久就忘了。高中的时候，知道有近似公式，但不知道怎么用。

最近一个偶然的机会，发现一种简单的近似算法可以很方便地算出一个数平方根

的4位有效数字，误差最大不会超过最后一位有效数字的一个点，在没有电脑、

计算器的情况下，倒可以一用，我的感觉，比列竖式简单。

一、近似公式

1.如果C=a²±b，且b≤a，那么√C≈a±b/2a

一般使用这个公式即可达到四位有效数字的要求。这个公式计算出的结果比

真实值略大，如果需要更精确的近似值，可以用下面的公式

2.如果C=a²±b，且b≤a，那么√C≈a±b/2a-b²/8a³

这个公式比第一个公式多减了b²/8a³，稍麻烦，但精确度可达六七位有效

数字，在百度百科里，我称之为“精确开方公式”，一般只在需要更精确数值或

某些特殊情况下使用。

下面介绍具体怎么用。

二、公式用法

1.四位数的平方根。也就是1000---9999的平方根

首先估计一下最接近方根的两位数。个位数是0的两位数的平方根容易很算

出来，如70²=4900，80²=6400；个位数是５的两位数也很容易心算出来，如果

十位上的数字是ｍ，那么把ｍ＊（ｍ＋１），后面再加25就行了，例如85的平

方，十位数字是8，那么8*9=72，后面加25，即 7225就是85的平方。

现在算√2882=？

50²=2500，而55²=3025,所以√2882在50---55之间，我们估算一下53²

=2809，2882=53²+73，73﹥53，不合要求，而2882=54²-34，符合公式要求，所

以√2882≈54-34/（54*2）≈54-0.3148=53.6852≈53.69，用计算器验算√

2882=53.6842621≈53.68，误差非常微小，只是在保留四位有效数字时增大了误

差。

再例如√5656=？

5656=75²+31，所以√5656≈75+31/150=75+0.207=75.21，实际√

5656=75.206≈75.21，四位有效数字完全一样。

2.三位数的平方根。即100----999的平方根

基本与四位数的算法一样。例如√620=？

620=25²-5，所以√620=√（25²-5）≈25-5/50=25-0.1=2４.90。

需要注意：当Ｃ﹤600，且a=b时，计算得到的第三四位有效数字一定为50，

应改为49，也可以用第二个公式计算以减小误差，这时公式变为√c≈a±b/2a-b

²/8a³=a±b/2a-1/8a。例如用第一个公式计算出√240=√（15²+15）≈

15+15/30=15.50，用第二个公式计算则为

√240=√（15²+15）≈15+15/30-1/120=实际√

240=，显然第二个公式更接近真实值。

再如用第一个公式计算√132≈11.50，用第二个公式计算则为

√132=11+11/22-1/88=实际√132=第二个公式更接

近真实值。

3.两位数的平方根。即10----99的平方根

一般是把两位数×100，变成一个四位数开平方，然后把开方结果÷10即可。

例如√62

先计算√6200≈78.74，因此√62≈7.874

不这样做的话，误差有时会比较大，除非是某数恰好很接近一个自然数的平

方数。例如50=7²+1，1与7相比很小，可以直接用本文的第一个公式算。√50=

√（7²+1）≈7+1/14=7.071

4.一位数的平方根。即2----8的平方根

直接用近似公式误差太大，一律×100变成一个三位数，开平方后把结果再

÷10即可。例如√3=？

√300=√（17²+11）≈17+11/34=17.32，所以√3≈1.732。

5.小数的开平方

一般都是通过小数点移位，变成一个三位数或四位数，开平方后再移位还原。

开平方时小数点每右移两位，开平方后的结果左移一位即是正确结果。例如√

0.50，右移两位小数点后是50，开平方后7.071，再左移一位0.7071即是√0.50

类似的，√3.862可以先算√

三、公式的原理

我们通常遇到的需要开方的数Ｃ，其平方根大多是一个无理数，即无限不循

环小数，没有一个精确值，只能取前几位有效数字。我们可以先预估一个尽可能

接近平方根的数字，然后采用某种方法减小误差，去逼近真实值。这里就是先取

一个接近平方根的数a，真实的平方根√Ｃ与a的差值k=√Ｃ-a（k可以为负），

那么√Ｃ=a+k，即

Ｃ=（a+k）²=a²+2ak+k² 这里2ak+k²就是近似公式里的b，所以2ak+k²=

Ｃ-a²=b，由于Ｃ和a都是已知数，b也就可以算出来。

2ak+k²=b，可以推出

k+k²/2a=b/2a

k=b/2a-k²/2a

如果∣b∣≤a，那么k﹤0.5，k²﹤0.25，k²/2a就更小了，我们把k²/2a

舍去，得到k≈b/2a，即

√Ｃ=a+k≈a+b/2a （开方公式）

这就是第一个近似公式。因为少减了k²/2a，所以得到的计算结果总比真实

值略大些。

√Ｃ=a+k≈a+b/2a=a+（C-a²）/2a=a+（C/a-a）/2

可见，除了使用的字母不同，表述形式与网上的开方公式，是完全一样的。

计算结果的误差大小主要由k²/2a决定，b相对于a越小，k就越小，k²/2a

也就越小，误差也越小。

为了进一步减少误差，我们可以把第一个开方公式里没减去的k²/2a再减

去，其中的k就用b/2a代入，它虽然是一个有误差的数值，但与真实值相差不

大，可以使用。于是公式就变成了

√Ｃ=a+k≈a+b/2a-b²/8a³ （精确开方公式）

这就是第二个近似公式。虽然仍有误差，但比第一个公式大为减小。

在给四位数开平方时，用第一个公式足够，给三位数开平方时，一般用第一

个公式也足够，但若需要更精确数值或遇到某些特殊的数字附近，计算并不麻烦

的时候，可以用第二个公式。主要是b²/8a³可以通过约分化简的时候。

四、误差大小

用第一个公式计算，结果的误差大小主要由k²/2a决定，即由b²/8a³决定，

b越小，a越大，误差就越小。由于一位和两位数是必须先移位变成三四位数再

开平方的，三位数里的110就成为平方根计算误差最大的，这时a=b=10，误差

接近b²/8a³≈1/80=0.0125，也只是在第四位有效数字错了1而已；四位数里误

差最大的是1056，a=b=32，误差接近b²/8a³≈1/256=0.0039，只是在第五位有

效数字错了4而已。

用第二个公式计算√9999是误差最小的，这时√9999≈99.994999875

9999的真实平方根值是精确到取12位有效数字完全相

同！

如果需要更精确数值，可以把得到的结果作为a代入，用第一个公式再算一

次，精确度足以达到十几位有效数字。

五、初估方根的技巧

（m+1）²=m²+2m+1

（m+2）²=m²+4m+4

（m+3）²=m²+6m+9

可见在m比较大时，比m²大2m的数很接近（m+1）²，比m²大4m的数很接

近（m+2）²，比m²大6m的数很接近（m+3）²，这有利于大致估算与方根最接近

的数。例如√2882，由于55²=3025,而2882比3025小143，55的两倍是110，

所以√2882应该非常接近54。再如√5301,由于5301比70²大401，而401接近

70的6倍，所以√5301的平方根应该在73附近，比73略小。

六、除法计算中的小技巧

在用第一个公式开平方时，需要做简单的除法运算，而这些除法运算，很多

是不用列竖式的。例如

34/108≈31/100=0.31

31/150≈20.67/100=0.21

41/158≈27/105≈26/100=0.26

11/34=33/102≈32/100=0.32

......

也就是，把分母先估算到100，同时把分子也按同样的比例增减到一个数字，

就可以估算出一个两位的小数，熟练后是不用列竖式的。