2024年4月18日发(作者：理科二模数学试卷)
开方公式的推导
一、问题的提出
在数学中，再也没有比开方更加自然的事了，当人类产生了自然数概念并且规定了四则
运算之后，人们发现，如果按照乘法性质，一个数自身相乘的逆行运算是一件不太容易的事
情。一个整数自身相乘以后是比较容易找到原来那个整数的，例如2自身相乘5次是32，
从32我们也容易找到2，但是，如果是31，30，呢，开5次方就不太容易了。自从牛顿发
现二项式定理以后，人们知道开方是依据二项式定理展开的。但是，毕竟太麻烦。有没有一
个简单的方式或者公式来开方呢？
二、一个意外
设A=
X
n
,
X
n
A
,我们想求X，即开方n次，当：
，
n-1
A
X
@
=
X
，
。（1）
我们把右下角标打上了（@）的
X
@
表示我们预设的那个X，把右下角没有@的X视
，
n-1
作A
X
@
以后得出的商。
，
有三种情况：
n-1
一，我们取的初始值
X
@
与等式右边的
X
，
，
一致时，问题就解决了，例如32/
2
4
=2；
，
n-1n-1
二，我们取的初始值
X
@
偏小，A/
X
@
>
X
@
，例如45/
2
4
=2.8125>2。（1）式
，，
，
，
n-1
A/
X
@
=
X
0
，
，于是
X
@
<
X
0
，
，
X
0
，
-
X
@
=E，例如;2.8125-2=0.8125,是一个正值，我们把
，
，，
这个正值分解E/n再加回去就可以调节原来取了偏小的初始值，使之变大；（因为A开n次
方，就是将X自乘n次的数值分解n次，所以也就自然而然地想到其误差E也要分解n份,
即E/n）。
n-1n-1
三，我们取的初始值
X
@
偏大，A/
X
@
<
X
@
例如30/
2
4
=1.875<2,（1）式
，，
，
，
n-1
A/
X
@
=
X
0
，
，于是，
X
@
>
X
0
，
，
X
0
，
-
X
@
= —E。例如1.875-2= —0.125，我们把这个
，
，
，
负值-E分解-E/n再加回去，就可以调节原来取得偏大的初始值，使之变小。
四，于是我们得到：
1
n-1
-）.，(2)
X
X
k1
，
=
X
k
，
+（A/
X
K
k
，
，
n
（K=0，1，2，3，4，…...。）
五，我们用（2）式来开方。
例如我们开平方，即n=2。
XA
,公式：
1
2-1
-）.，（3）
X
X
k1
，
=
X
k
，
+（A/
X
K
k
，
，
2
设A=5。
5
介于
2
2
至
3
2
之间，我们可以取初始值2.1，2.2，2.3，2.4，2.5，2.6，2.7，
，
，
2.8，2.9.。随便取一个值输入，得出来的都是正确的，一般要求取中间值2.5.
第一步：2.5+（5/2.5-2.5）/2=2.2;(用其它值也一样，例如2.8；2.8+（5/2.8-2.8）/2=2.2。
第二部：2.2+（5/2.2-2.2）/2=2.23。每一次多取一位数。
第三步：2.23+（5/2.23-2.23）/2=2.236.。即
2.2365
。
计算次数与计算精确度成为正比。
开3次方也一样，即n=3，
X
3
A
,公式：
1
2
-）.。（4）
X
X
k1
，
=
X
k
，
+（A/
X
Kk
，
，
3
设A=5，5介于
1
3
至
2
3
之间，我们可以取初始值1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，
，
，
1.8，1.9，都是一样。例如取1.9。
第一步：1.9+（5/
1.9
2
-1.9）/3=1.7。取其它值也是一样，例如取1.5；1.5+（5/
1.5
2
-1.5）
，
，
/3=1.7.。输入值大于输出值，负反馈；
第二步：1.7+（5/
1.7
2
-1.7）/3=1.71;输入值小于输出值，正反馈；
，
第三步：1.71+（5/
1.71
2
-1.71）/3=1.709;输入值大于输出值，负反馈；
，
第四步;1.709+(5/
1.709
2
-1.709)/3=1.7099.每一步多取一位数。要多精确都可以。
，
如果输入值与输出值一致：
289开平方，
289
介如10的平方至20平方之间，我们取20为初始值，于是：第一
步20+（289/20-20）/2=17；第二步17+（289/17-17）/2=17.说明17是个精确值。
以上方法是作者1980年发现的，找到江西师范大学数学系，一位教授看过之后，觉得
面熟，将这个公式反推回去，原来是牛顿切线法。但是，他不知道是怎么得出来的。原来这
可以用二项式定理推出。
牛顿先生
三，二项式定理与（2）式巧合
n
n-1n2
02
n
设A=
(XY)
n
=
C
0
Y
，
＋
C
n
Y
2
，
±…±
C
n
Y
n
，
（5）
n
，
X
，
±
C
n
，
X
，
X
，
，
，
n-1
X 是假定值，Y是误差值。
X
k1
，
=
(XY)
）=
X
k
，
+（A/
X
K
-）
，
X
k
，
，
1
.。（6）
n
由（6）式得：
n-1
±Y=（A/
X
K
-）
，
X
k
，
1
.。（7）
n
我们把（5）式等号右边按照（7）式程序进行：
n-1
(一)（7）式右端第一步是A/
X
K
,相当于（5）式中的：
，
nn1n22n
C
n
X
C
n
XY
C
n
XY...
C
n
Y
012n
X
=X±
n-1
1
2n
n2
n
2
Y
(C
n
±…±
C
n
)/
X
n-1
。（8）
YY
，
X
，
，
，
，
n
n-1
（二），（7）式右端第二步是减去X,即A/
X
K
-。
，
X
k
，
1
2n
n2
n
2
Y
(C
n
±…±
C
n
)/
X
n-1
。（9）
YY
，
X
，，
，
，
n
1
n-1
（三），（7）式右端第三步是除以n，即：（A/
X
K
-）。
X
k
，
，
n
（8）式右端减去X得：±
（9）式除以n得：
n2
n
2
±Y
(C
n
（10）
Y
2
±…±
C
n
Y
n
)/n
X
n-1
。
，
X
，
，
，
，
（10）式是由（5）式得来的，现在（7）式左端只剩下一个Y,而（10）式却是多出来
一个：
2n
n2n-1
2
n
±…±)/n。（11）
C
(C
n
YY
XX
n
，
，，
，
，
（11）式就是我们碰到的误差。我们在实际计算中把（11）式不要了。
当我们取X值偏大，A=(X-Y)；当我们取值偏小是A=X+Y。
四，为什么（2）式是牛顿切线法
我们把（2）式展开：
1
n-1
n
n-1
-）.=
X
k
，
-（
X
K
-A）/（n
X
K
）.，
X
X
k1
，
=
X
k
，
+（A/
X
K
k
，
，
，，
n
n
注意：f（x）=
X
K
-A；
，
n-1
f”（x）= n
X
K
。
，
即
X
k1
，
=
X
k
，
-
(f（x）)
n
n
（牛顿切线法，求X=
n
A
，A>0,
X
K
-A
X
K
-A=0.
，
，
（f（\'x）
牛顿
本文的公式作者已经发到(百度网站的)百度词条：开平方，开立方，立方根，。但是
没有公式的推导过程。作者希望把推导过程通过贵刊发表出来。
本文完全符合控制论中的自动控制原理.
更多推荐
作者,推导,公式,开方
发布评论