2010年高考江苏理科数学试题

2024年4月3日发(作者：数学试卷怎么批改得分的)

2010年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）

一、填空题

1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a+4},A∩B={3}，则实数

a

=______ _____.

2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______ _____.

3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ __.

4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花

质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_

___根在棉花纤维的长度小于20mm。

5、设函数f(x)=x(e+ae)(x



R)是偶函数，则实数

a

=_______

_________

x-x

2

x

2

y

2

1

上一点M，6、在平面直角坐标系x-o-y中，双曲线

412

点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___ _______

7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______ _______

8、函数y=x(x>0)的图像在点(

a

k

,a

k

)处的切线与x轴交点的横坐标为

a

k+1

,k

为正整数，

a

1

=16，则

2

2

a

1

+a

3

+a

5

=____ _____

9、在平面直角坐标系x-O-y中，已知圆

xy4

上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则

实数c的取值范围是______ _____

10、定义在区间



0,

22











上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP

1

⊥x轴于点

2



P

1

，直线PP

1

与y=sinx的图像交于点P

2

,则线段P

1

P

2

的长为_______ _____。



x

2

1,x0

2

11、已知函数

f(x)



,则满足不等式

f(1x)f(2x)

的x的范围是__ ___。

x0



1,

x

2

x

3

12、设实数x,y满足3≤

xy

≤8，4≤≤9，则

4

的最大值是 。

yy

2

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为

a、b、c

，

batanCtanC

6cosC

，则



=____ _____。

abtanAtanB

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记

2

(梯形的周长）

S

,则S的最小值是____ ____。

梯形的面积

1

二、解答题

15、（本小题满分14分）

在平面直角坐标系x-O-y中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

(2)设实数t满足(

ABtOC

)·

OC

=0，求t的值。

16、（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90。

(1)求证：PC⊥BC；

(2)求点A到平面PBC的距离。

17、（14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位m），如示意图，垂直放置的标杆BC高度h=4m，仰

角∠ABE=α，∠ADE=β

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24,tanβ=1.20,,请据此算出H的值

(2)该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d（单位m），使α与β之差较大，

可以提高测量精确度，若电视塔实际高度为125m，问d为多少时，α-β最大

E

0

C

β

D

B

α

d

A

2

18、（本小题满分16分）

x

2

y

2

1

的左、在平面直角坐标系

xoy

中，如图，已知椭圆右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（

t,m

）

95

的直线TA、TB与椭圆分别交于点M

(x

1

,y

1

)

、

N(x

2

,y

2

)

，其中m>0,

y

1

0,y

2

0

。

（1）设动点P满足

PFPB4

,求点P的轨迹；

（2）设

x

1

2,x

2



22

1

，求点T的坐标；

3

（3）设

t9

,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

19、（本小题满分16分）

设各项均为正数的数列



a

n



的前n项和为

S

n

，已知

2a

2

a

1

a

3

，数列

（1）求数列



a

n



的通项公式（用

n,d

表示）；

（2）设

c

为实数，对满足

mn3k且mn

的任意正整数

m,n,k

，不等式

S

m

S

n

cS

k

都成立。求证：



S



是公差为

d

的等差数列。

n

9

c

的最大值为。

2

20、（本小题满分16分）

设

f(x)

是定义在区间

(1,)

上的函数，其导函数为

f\'(x)

。如果存在实数

a

和函数

h(x)

，其中

h(x)

2

对任意的

x(1,)

都有

h(x)

>0，使得

f\'(x)h(x)(xax1)

，则称函数

f(x)

具有性质

P(a)

。

(1)设函数

f(x)

lnx

b2

(x1)

，其中

b

为实数。

x1

(i)求证：函数

f(x)

具有性质

P(b)

； (ii)求函数

f(x)

的单调区间。

(2)已知函数

g(x)

具有性质

P(2)

。给定

x

1

,x

2

(1,),x

1

x

2

,

设

m

为实数，

3



mx

1

(1m)x

2

，



(1m)x

1

mx

2

，且



1,



1

，

若|

g(



)g(



)

|<|

g(x

1

)g(x

2

)

|，求

m

的取值范围。

数学Ⅱ（附加题）

21.[选做题] 选修4-1：几何证明选讲

（本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB

长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

选修4-4：坐标系与参数方程

（本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

选修4-5：不等式选讲

（本小题满分10分）

设a、b是非负实数，求证：

a

3

b

3

ab(a

2

b

2

)

。

22、（本小题满分10分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等

品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产

品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。

（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；

（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

23、（本小题满分10分）

已知△ABC的三边长都是有理数。

求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

4

A

O

B

C

D

延

2010年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题（理工农医类）参考解答及评分标准说明

1.[解析] 考查集合的运算推理。3



B，a+2=3, a=1.

2.[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。

3.[解析]考查古典概型知识。2

4.[解析]考查频率分布直方图的知识。

100×（0.001+0.001+0.004）×5=30

5.[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e+ae为奇函数，由g(0)=0，得

a

=－1。

6.[解析]考查双曲线的定义。

x-x

MF4

e2

，

d

为点M到右准线

x1

的距离，

d

=2，MF=4。

d2

25

7.[解析]考查流程图理解。

122

2

2

4

3133,

输出

S122263

。

8.[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

2

在点(

a

k

,a

k

)处的切线方程为：

ya

k

2

2a

k

(xa

k

),

当

y0

时，解得

x

所以

a

k1



a

k

，

2

a

k

,a

1

a

3

a

5

164121

。

2

|c|

1

，

c

的取值范围是（-13，13）。

13

9.[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，

圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，

10.[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P

1

P

2

的长即为sinx的值，

且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=

22

。线段P

1

P

2

的长为

33

2



1x2x

11.[解析] 考查分段函数的单调性。



x(1,21)



2



1x0



12.[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

111

x

2

2

x

3

x

2

2

1

x

3

()[16,81]

，

2

[,]

，

4

()

2

[2,27]

，

4

的最大值是27。

xy83

y

yyyxy

13.[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。

当A=B或a=b时满足题意，此时有：

cosC

11cosC1

C2

2

C



，

tan

，

tan

，

321cosC2

22

tanAtanB

1

tan

C

2

2

，

tanCtanC



= 4。

tanAtanB

ba

a

2

b

2

c

2

3c

2

22

2222

ab,ab

（方法二）

6cosC6abcosCab

，

6ab

ab

2ab2

5

tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin(AB)1sin

2

C

由正弦定理，



tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB

1c

2

c

2

c

2

4

得：上式=



cosCab

1

(a

2

b

2

)

13c

2



6

62

14.[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。

22

(3x)4(3x)

设剪成的小正三角形的边长为

x

，则：

S(0x1)

2

133

1x

(x1)(1x)

22

（方法一）利用导数求函数最小值。

4(3x)

2

4(2x6)(1x

2

)(3x)

2

(2x)

，

S



(x)

S(x)

222

1x(1x)

33

4(2x6)(1x

2

)(3x)

2

(2x)42(3x1)(x3)



2222

(1x)(1x)

33

1

S



(x)0,0x1,x

，

3

11

当

x(0,]

时，

S



(x)0,

递减；当

x[,1)

时，

S



(x)0,

递增；

33

故当

x

1

323

时，S的最小值是。

3

3

（方法二）利用函数的方法求最小值。

4t

2

41

111



2



令

3xt,t(2,3),(,)

，则：

S

86

t32

3

t6t8

3

1

t

2

t

故当



1

t

31

323

,x

时，S的最小值是。

83

3

15.[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。



（1）（方法一）由题设知

AB(3,5),AC(1,1)

，则



ABAC(2,6),ABAC(4,4).

所以

|ABAC|210,|ABAC|42.

故所求的两条对角线的长分别为

42

、

210

。

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:

E为B、C的中点，E（0，1）,又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）

6

故所求的两条对角线的长分别为BC=

42

、AD=

210

；





（2）由题设知：

OC

=(－2,－1)，

ABtOC(32t,5t)

。

由(

ABtOC

)·

OC

=0，得：

(32t,5t)(2,1)0

，

从而

5t11,

所以

t

11

。

5

|OC|

2

5





2



OC11

或者：

AB·OC tOC

，

AB(3,5),

t

AB





16.[解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、

推理论证能力和运算能力。满分14分。

（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC



平面ABCD，所以PD⊥BC。

由∠BCD=90，得CD⊥BC，又PD



DC=D，PD、DC



平面PCD，

0

所以BC⊥平面PCD。因为PC



平面PCD，故PC⊥BC。

（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：

易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。

又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。

由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，

因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。

易知DF=

2

，故点A到平面PBC的距离等于

2

。

2

00

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。

因为AB∥DC，∠BCD=90，所以∠ABC=90。

从而AB=2，BC=1，得

ABC

的面积

S

ABC

1

。

由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积

V

因为PD⊥平面ABCD，DC



平面ABCD，所以PD⊥DC。

又PD=DC=1，所以

PC

11

S

ABC

PD

。

33

PD

2

DC

2

2

。

11

2

。由

V

APBC

V

PABC

，

S



PBC

hV

，得

h2

，

33

2

由PC⊥BC，BC=1，得

PBC

的面积

S

PBC



故点A到平面PBC的距离等于

2

。

分析：此题关键要找出C点的位置，清楚α-β最大时tan(α-β)也最大

解：（1）因为：

tan





AEAEBC

,tan





，

AEH

BADADB

7