【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题12阿波罗尼斯(以阿波罗尼斯为背景的

2024年1月10日发(作者：合肥高三高考数学试卷答案)

【高中数学数学文化鉴赏与学习】

专题12 阿波罗尼斯

（以阿波罗尼斯为背景的高中数学考题题组训练）

一、单选题

1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德､欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（0，且1），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点C到A1,0,B1,0的距离之比为3，则点C到直线x2y80的距离的最小值为（

）

A．253 B．53 C．25 D．3

2．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数kk0且k1的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O0,0，A3,0，圆C:x2y2r2r0上有且仅有一个点P满足PA2PO，则r的取值为2（

）

A．1 B．5 C．1或5 D．不存在

3．阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A(1,0),B(1,0)，动点P满足PAPB2，当P、A、B不共线时，PAB面积的最大值是（

）

A．4 B．2 C．

234D．

34．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（0，且1）的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A4,0，B2,0，点P满足PAPB2，则点P的轨迹的圆心坐标为（

）

B．0,4 C．4,0 D．2,0 A．4,0

5．古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知O(0，0)，A(3，0)，动点P(x，y)满A．相交

PA2，则动点P轨迹与圆(x2)2y22的位置关系是（

）

POB．相离 C．内切 D．外切

6．阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足PAPB（0，且1）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足MP2MQ，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得MR的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（

）

A．2 B．4 C．8 D．16

7．公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆一个基本性质：过|PQ|2椭圆上任意一点P（不同于A，B）作长轴AB的垂线，垂足为Q，则为常数AQBQk，若k，则该椭圆的离心率为（

）

1A．

4B．

1214C．2

2D．3

28．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数k(k0,k1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足A．2 B．2

|PA|2，则△PAB面积的最大值是（

）

|PB|C．22 D．4

9．阿波罗尼斯研究圆锥曲线的光学性质得到：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点．设抛物线C：y2x，一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(6,2)，被抛物线反射后，又射到抛物线C上的Q点，则直线FQ的方程为（

）

A．8x15y20

C．4x15y20

B．4x15y20

D．8x15y20

10．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它

将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗x2y2尼斯圆.现有椭圆T:221(ab0),A,B为椭圆T长轴的端点，C,D为椭圆T短轴abME2,MAB面积的最大值的端点，E，F分别为椭圆T的左右焦点，动点M满足MF为46,MCD面积的最小值为2，则椭圆T的离心率为（

）

A．6

3B．3

3C．2

2D．3

211．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值(1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系xoy中，已知A4,2，B2,2，点P满足是(

)

PAPB2，设点P的轨迹为圆C，下列结论中正确的个数①圆C的方程是x4y216

①过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为60°

①过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为PD2

PE15

522①在直线y2上存在异于A，B的两点D，E，使得A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

12．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点M与两定点Q,P的距离之比MQMP(0,1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2y21，其中，定点Q为x轴上一点，定点P的坐1标为,0,3，若点B1,1，则3MPMB的最小值为（

）

3A．10 B．11 C．15

PAPBD．17

，当0且13．在平面上给定相异两点A,B，设P点在同一平面上且满足1时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我

x2y2们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线221(a0,b0)，A,B为双曲线的左、右ab顶点，C,D为双曲线的虚轴端点，动点P满足PAPB2，△PAB面积的最大值为64，3PCD面积的最小值为4，则双曲线的离心率为（

）

A．

二、多选题

14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值123B．

25C．

4D．2

1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A(2,1)，B(1,1)，点P满足PAPB2，设点P的轨迹为曲线C，则（

）

A．曲线C的方程为(x2)2(y1)24

B．过点A向曲线C引切线，两条切线的夹角为2π

3C．若点D在曲线C上，则线段AD的中点M的轨迹方程为x2(y1)21

D．N为直线xy30上一点，过点N向曲线C引切线NH，其中H为切点，则NH的最小值为214

15．阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262190年)的著作是古代《圆锥曲线论》世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k0且k1)的点的22轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有圆C：(xt)[y2t2]1和3，若圆C上存在点P，使点Q0，PQPO2(其中O为坐标原点)，则t的取值可以是（

）

A．1 B．2 C．3 D．4

MQ11P,0QQm,0m16．已知两定点（），动点M与P、的距离比，MP22（0且1），那么点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为x2y24，则下列说法正确的是（

）

A．m8

B．2

C．若T1,2，则MQ4MT最小值为10

22D．若Ta,b满足点M的轨迹方程，则xbx223xax2xR

17．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A（－2，0），B（4，0），点P满足（ ）

A．轨迹C的方程为（x＋4）2＋y2＝9

B．在x轴上存在异于A，B的两点D，E使得PAPB＝2.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是1PDPE＝2

1C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是①APB的平分线

D．在C上存在点M，使得MO2MA

18．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值1的点的轨迹是圆”．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A1,0，B2,0，点P满足PAPB2．点P的轨迹为曲线C，下列结论正确的是（

）

22A．曲线C的方程为x4y218

B．曲线C被y轴截得的弦长为22

C．直线xy40与曲线C相切

D．P是曲线C上任意一点，当△ABP的面积最大时点P的坐标为2,32

19．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值1的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐示系xOy中，A1,0，B2,0，动点M满足MB2MA，直线l：xmy10，则以下说法正确的是（

）

A．动点M的轨迹方程为x2y24

B．直线l与动点M的轨迹一定相交

2

C．若直线l与动点M的轨迹交于P、Q两点，且PQ23，则m1

D．动点M到直线l距离的最大值为3

三、填空题

20．阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数kk0,k1的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点O0,0，A3,0，动点P满足POPA1，则点P的轨迹方程是___________．

221．阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k0且k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有1ABC，BC6,sinBsinC，当ABC的面积最大时，则AC的长为____________.

222．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA|PB（其中是正常数，且1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M(1,0)、N(2,1)，P是圆O:x2y23上的动点，则3PMPN的最小值为____________

23．古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius of Perga，约公元前262~190年）发现：平面上两定点A，B，则满足MA(1)的动点M的轨迹是一个圆，后人称这个圆为MB阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在直角坐标系xOy中，已知A(4,0),B(1,0),C(1,4)，动点M满足MA2，则△MAC面积的最大值为_________.

MB24．公元前三世纪，阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中明确给出了椭圆的一个基本性质：如图，过椭圆上任意一点P（不同于A，B）作长轴AB的垂线，垂足为Q，则PQ2AQBQ为常数k．若k，则该椭圆的离心率为______．

14

25．在平面上给定相异两点A，B，点P满足|PA|，则当0且1时，P点的|PB|x2y2轨迹是一个圆，我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知椭圆221(ab0)的离心率ab

e|PA|33，，A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点P满足|PB|2若△PAB的面积的最大值为3，则PCD面积的最小值为___________.

四、双空题

26．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（0且1）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A2,0，B2,0，点P满足PAPB3，则点P的轨迹方程为__________.（答案写成标准方程），PAPB的最小值为___________.

27．阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的数学三巨匠．“阿波罗尼斯圆”是他的代表成果之一：平面上动点P到两定点A，B的距离之比满足PAt(t0PB且t1，t为常数)，则P点的轨迹为圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A(3,0)，B(3,0)，动点P满足PAPB2，则P点的轨迹为圆，该圆方程为_________；过点A的直线交圆于两点C,D，且ACCD，则CD_________．

28．古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A，B的距离之比为常数0,1的点的轨迹是—个圆心在直线AB上的圆.该圆被称为阿氏圆，如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2AD2AA16，点E在棱AB上，BE2AE，动点P满足BP3PE，若点P在平面ABCD内运动，则点P对应的轨迹的面积是___________；F为C1D1的中点，则三棱锥PB1CF体积的最小值为___________.

29．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值1的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A2,1，

B2,4，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E:

y24x上的动点，Q在y轴上的射影为12H，则1PBPQQH的最小值为______.

230．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值1的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A2,1，B2,4，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为____；若点Q为抛物线E:y24x上的动点，Q在y轴上的射影为H，则PAPQQH的最小值为______．

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